Matemática 2 resumo geral

O que preciso saber: Matemática 2

Legenda
• "∈" pertence
• "∉" não pertence
• "⊂" está contido
• "⊄" não está contido
• "∅" ou { } conjunto vazio
• "⊅" não contém
• "∪" união
• "∩" intersecção
• "∀" para todo e qualquer
• "→" implica
• "↔" implica e a recíproca é equivalente
• "∃" existe pelo menos um
• "∄" não existe
• Observação: Quando um número está com ^ do seu lado, significa que ele está sendo elevado. Exemplo: 2^2 = 2²

01) Apostila 1
-> Teoria dos conjuntos
- se x é elemento do conjunto A, x ∈ A
- se x não é elemento de A, x ∉ A
-> Indicação de um conjunto: pode ser indicado por seus elementos, por uma condição ou por diagrama de Euler-Venn (círculos)
-> Conjunto unitário: apenas um elemento, exemplo: A = {2}, n(A) = 1 neste caso
-> Conjunto vazio: nenhum elemento, exemplo: A = {x | x é par e ímpar|
-> Igualdade de conjuntos: um conjunto A só é igual a um conjunto B se seus elementos forem iguais ou se ambos forem vazio (ordem dos elementos não importa)
-> Subconjunto
- Se B tem todos os elementos de A, então A ⊂ B
- Se B não tem todos os elementos de A, então A ⊄ B
- OBS, isso sempre acontece: A ⊂ A; A ⊂ ∅
-> Se A tiver m elementos, A tem 2^m subconjuntos
-> Conjunto união
- A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} (ou seja, x deve estar ou em A ou B)
- n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) (ou seja, número de elementos da união de A e B é a soma dos números de elementos de A e B menos o número de elementos da intersecção entre eles)
-> Conjunto intersecção
- A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} (ou seja, x deve estar tanto em A como em B)
-> Conjunto diferença
- A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B} (ou seja, x deve estar apenas em A)
-> Conjuntos numéricos
- Naturais N (positivos inteiros), caso seja N* devemos excluir o 0
- Inteiros Z (inteiros tanto negativos como positivos)
- Racionais Q (agora entram as frações, decimais exatas ou periódicas)
- Irracionais R - Q (apenas os números que não podem ser escritos na forma de fração)
- Reais (união dos racionais e irracionais)
-> Intervalos (muito fácil, ver na apostila se quiser ver melhor)
- Bola aberta: não pertence ao intervalo
- Bola fechada: pertence ao intervalo

02) Apostila 2
-> Pares cartesianos
- A x B = {(x;y) | x ∈ A e y ∈ B}
- É quando pegamos um conjunto (A) para ser x e outro conjunto (B) para ser y, formando pares de (x,y)
- OBS: ∄ propriedade comutativa; A x ∅ = ∅; A^2 = A x A
- Função: função de A em B toda a relação em que para cada x existe um único y, tal que y = f(x)
- Neste exemplo: domínio seria A, contra-domínio seria B, imagem seria y
-> Domínio de f, D(f): valores de x
-> Conjunto imagem, Im(f): valores de y
- OBS: Im(f) ⊂ contra-domínio
-> Função par: quando f(x) = f(-x) (normalmente são termos ao quadrado)
-> Função ímpar: quando f(-x) = -f(x)
-> Função injetora: é quando todos os elementos de um conjunto A têm apenas uma imagem em B
-> Função sobrejetora: é quando todos os elementos de um conjunto B são imagem dos elementos de A
-> Função Bijetora: é quando a função for sobrejetora e injetora
-> Função inversa: uma função possui inversa somente se esta função for bijetora
-> Cálculo da inversa:
a) Primeiro passo: na sentença y = f(x), trocar x por y e y por x
b) Segundo passo: isolar y, obtendo assim a sentença da inversa, no fim trocando y por f^-1(x)

03) Apostila 3
-> Função composta: Sendo f:A -> B e g:B -> C duas funções, temos que gof:A -> C, tal que (gof)(x) = g(f(x))
- Ou seja, resolvemos essa função de dentro para fora, primeiro resolvendo f(x), depois aplicando o resultando na função g
-> Função constante: toda função em que f(x) = k
- Ou seja, f(x) sempre será um valor definido, independente do valor de x
-> Função do primeiro grau:
- f(x) = mx + n, onde m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear da reta (lembrando que m = tgθ, ler resumo de matemática 3 para ver melhor sobre m), OBS: m ≠ 0
-> Função polinomial do segundo grau:
- f(x) = ax² + bx + c, OBS: a ≠ 0
- função tem como gráfico uma curva chamada parábola, se a > 0 -> concavidade para cima; se a < 0, concavidade para baixo
-> Eixo das abscissas: quando y = 0; f(x) = 0, ou seja, onde a parábola corta o eixo x
- Bhaskara: x = -b ± √Δ/2a
- Δ = b² - 4.a.c
- OBS: se Δ > 0, eixo x irá ser cortado em 2 pontos (ou seja, haverá x1 e x2)
       se Δ = 0, eixo x irá ser tangenciado em 1 ponto (ou seja, apenas haverá x1)
       se Δ < 0, eixo x não será interseccionado (ou seja, a parábola será voadora)
-> Eixo das ordenadas: quando x = 0 (ou seja, irá sobrar apenas o termo c da função ax² + bx + c)
-> Observações importantes sobre o vértice:
- Quando a parábola tiver concavidade voltada para cima, ela terá valor mínimo (vértice)
- Quando a parábola tiver concavidade voltada para baixo, ela terá valor máximo (vértice)
-> Y vértice e X vértice
- yv = -Δ/4a
- xv = -b/2a

04) Apostila 4
-> Função módulo: é a função de R em R que associa cada número real x ao número |x|
- f(x) = |x|
- Im(f) = R+, exemplos:
a) f(6) = |6| = 6
   f(-6) = |-6| = 6
...
b) |2x - 1| = 3
   2x - 1 = 3, x1 = 2
   -2x + 1 = 3, x2 = -1

-> Estudo do sinal das funções do 1° e 2°: precisa fazer gráficos, ver na apostila
-> Função exponencial: é a função de R em R que associa cada número real a um expoente de uma base "a"
- f(x) = a^x, exemplos
a) f(2) = 5², f(x) = 25
- Se 0 < a < 1, a função é decrescente
- Se a > 1, a função é crescente
-> Equações exponenciais
- Se 3^x = 3^3, podemos garantir que x = 3
-> Inequações exponenciais
- Se 3^x > 3^3, podemos garantir que x > 3 (regra para a > 1)
- Se 1/3^x > 3^3, podemos garantir que x < 3 (regra para 0 < a < 1)

05) Apostila 5 - Ficou bem curto resumo dessa apostila, explicação está logo abaixo
-> Logarítimo (aqui não tem como fazer certinho um log, então é bom olhar a apostila para entender melhor - módulos 17, 18, 19 e 20)
- log de a na base b = x ↔ b^x = a
- a > 0
- b > 0 e b ≠ 1
- colog de a na base b = - log de a na base b

06) Apostila 6
-> Polinômios
- f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... anx^n
- onde: a0; a1; a2; ...; an denominados coeficientes do polinômio
        a0; a1x; a2x^2 ...; anx^n denominados temos do polinômio
- quando um polinômio adota um valor a onde f(a) = 0, a é uma raiz do polinômio
-> Polinômio identicamente nulo: quando todos os coeficientes forem nulos, f(x) ≡ 0 ↔ f(x) = 0
-> Identidade: dois polinômios f e g são idênticos quando têm valores iguais para todo x, f(x) ≡ g(x) ↔ f(x) = g(x), ou seja, coeficientes de termos de mesmo grau devem ser iguais
-> Grau (gr) de um polinômio identicamente nulo: o grau de uma função f é dado pelo maior expoente da variável de coeficiente não nulo (ou seja, em f(x) = x^3 + x^2 + x, o grau é 3)
- Se o grau de f é n, então an é chamado de coeficiente dominante, se a = 1 então f é chamado de polinômio unitário
- Operações: gr[f(x) + g(x)] -> maior grau prevalece
             gr[f(x).g(x)] -> m + n
-> Divisão: ver apostila porque não da pra escrever aqui também