m/n暗号

・中央サーバは存在しない
・自分一人だけで復号できては困る
・自分の知らないパスワードがなければならない
・友人パスワードは任意の個数発行できる。発行した後は変えられない。
・友人パスワードのうち、復号に必要な数は最初に設定する。
 - 5人分パスワードを発行して、そのうち3人のパスワードが必要であるようにしたい
・復号化の時、友人は自分にパスワードを見せてくれるのではなく、自分が提示した(任意の?)文をそのパスワードでハッシュ化したものを返す。その任意の文と生成されたハッシュを用いて、鍵とする。
・友人は自分にパスワードを見せる必要がない。

例)
アルゴリズム作成に必要なもの: 自分のパスワード(p[-1])、パスワードを発行する人数(0≤n)、復号化に最低限必要な人数(0≤m≤n) -> n個のパスワードが生成される(p[0],...,p[n-1])、使い捨てシード(同じアルゴリズムを2つ生成しないようにするため)
暗号化に必要なもの: 自分のパスワード(p[-1])
復号化に必要なもの: 自分のパスワード(p[-1])、任意のm個の文(s[0],s[1],...,s[m-1])、n人のうち誰でもいいので最低m人のパスワード(p[i_0],...,p[i_m-1])を用いてそれらをハッシュ化した文(h(p[i_0], s[0]),...,h(p[i_m-1], s[m-1]))。

擬似的に、中央サーバを使って実現できる。
サーバはまず、n,mをうけとる。また、全てのパスワードを保持しておく。
暗号化: p[-1]が正しければ平文を受け取り保存する。
復号化: p[-1]が正しいか確かめる。文とパスワードによるハッシュが正しいかどうか、全てのパスワードについて調べ、そのうち少なくともm個合致していれば平文を送信する。

問題:
任意のn,mについて上を成立させるアルゴリズムを作れ。