"анализ на многообразиях"
Письмо коллегам насчет программы анализа на многообразиях.

* * *

По поводу "анализа на многообразиях",
тут есть три разные предмета:

1. та часть анализа,
которая размещается в учебниках анализа (дифференциальные
формы, интегрирование, теорема Стокса, лемма Пуанкаре,
когомологии де Рама),

2. та часть анализа, которая размещается в учебниках
топологии (лемма Сарда, степень отображения, вычисление когомологий,
индекс Хопфа векторного поля)

3. та часть анализа, которая размещается в учебниках
дифференциальной геометрии (векторные расслоения,
тензорные поля, теорема Фробениуса, римановы формы).

* * *

По-хорошему, на третью часть у нас времени не хватит, поэтому
можно на нее забить, оставить римановы формы (потому что
на группах Ли нужны метрики Киллинга) и векторные расслоения
(потому что без них нельзя дифференциальные формы).

Вторую часть тоже не надо, потому что топологию на факультете
более-менее отменили, оставив минимум в объеме одного
семестра НМУ. Без первой части, однако, нельзя, потому что
в комплексном анализе и в физике нужны дифференциальные
формы и теорема Стокса.

Версия, которую прислал Саша Эстеров, является таким
минимумом: по сути там нет ничего, кроме теоремы Стокса,
но по крайней мере остается надежда, что теорему Стокса
студенты освоят.

К сожалению, никакого толка в этом нет, потому что
комплексный анализ зачем-то поставили до анализа
на многообразиях, так что и стараться особо незачем.

* * *

На самом деле, студенты перегружены исключительно из-за
того, что программа факультета составлена по-дурацки. Мы читаем
студентам интеграл не меньше трех раз (учитывая то, что интеграл
Лебега приходится повторять на вероятности и функциональном
анализе, то и больше). Мы рассказываем про несобственные интегралы,
кратные интегралы и предельный переход под знаком интеграла
дважды, а то и трижды, сначала на обычном анализе, потом
на теории меры (Lebesgue dominated convergence theorem
и ее друзья), потом на функциональном анализе. Причем
все эти вещи обыкновенно феноменально скучные, и студенты
их ненавидят.

Если бы порядок курсов определялся с умом, ничего
такого не произошло бы. Например, различные сходимости
надо отнести в функциональный анализ и рассказывать после
(и в тесной связи) с общей топологией. "Кратный интеграл"
и интеграл Римана с суммами Дарбу вообще не надо упоминать,
хватит наивного ("Коши") от непрерывных функций и Лебега
с теоремой Фубини. Весь анализ, который можно рассказать на
многообразиях (то есть весь после первого семестра) надо рассказывать
сразу на многообразиях, при этом экономится куча времени, потому
что при таком подходе выписывать вещи явно и в координатах
не потребуется (и не получится).

Наши попытки реформировать программу напоминают (в лучшем случае)
отрубание кошке хвоста по кускам: мы добавили формулу Стокса, ок,
но тем же движением перенесли комплексный анализ на семестр назад,
так что теперь формула Стокса особо и не нужна.

В худшем случае, одна команда товарищей вдумчиво отрубает
кошке куски хвоста, и одновременно другая пришивает несколько
новых хвостов с противоположной стороны; именно так
произошло, когда в ответ на жалобы студентов о
перегруженности программы анализом, из программы
удалили алгебраическую топологию и теорию Галуа.

Вместо этого надо произвести ревизию программы
и удалить все элементы, которые безнадежно устарели.
Если пользоваться современным языком, их материал
можно рассказать на пальцах. По моим оценкам, того,
что можно удалить из нашей программы (унаследованной
из МГУ), где-то две трети.

Если же ничего не удалять и вместо этого
добавлять поверх архаичных напластований
современную математику, получается то, что
получается: перегруженные неизвестно чем
студенты и полная концептуальная неразбериха в
обучении.

* * *

Что до преподавания анализа на многообразиях в конце
второго курса, я немало общался с нашими первокурсниками.
Некоторые из них на первом курсе знают эту программу много
лучше, чем они знают программу нашего анализа; на втором
курсе им все это будет скучно. По моим оценкам, таких студентов
процентов 10. Другие этого не знают, но к концу
второго курса большинство этих студентов ничего не
хочет и ничем не интересуется. Никакого общения между
этими двумя группами студентов по нашему курсу не будет,
потому что первые туда просто не пойдут. Соответственно,
шансов, что студенты, ничего не знающие, неожиданно
переместятся в первую группу, тоже нет.

То есть мы планируем сейчас курс лекций для
студентов, которые будут учиться из-под палки.
Это обидно и неприятно.

По уму, есть две ключевые концепции, без которых
заниматься геометрией невозможно: многообразие и
векторное расслоение. Первый курс анализа на многообразиях
должен быть посвящен исключительно ознакомлению студента с
этими концепциями. Поэтому теорема Уитни там более чем уместна,
и аналогичная ей теорема о векторных расслоениях (теорема Серра-Суона),
утверждающая, что векторное расслоение является прямым
слагаемым тривиального. Если мы не расскажем студентам,
что есть векторное расслоение, они не поймут наших
объяснений про дифференциальные формы.

С другой стороны, программа в том виде, в котором она
сейчас составлена, ориентирована на студентов, которые
не понимают и уже никогда не поймут, что такое есть векторное
расслоение. Поэтому менять ее наверное и не стоит.
Но надо четко уяснить для себя, что курс этот будет
непонятен, уныл и непопулярен. Учитывая неподдельный
энтузиазм, который наши студенты испытывают по поводу
продвинутой математики, мне хочется проиллюстрировать
это киноцитатой:
http://www.metacafe.com/watch/an-PczuJb427hbJmm/the_meaning_of_life_1983_sex_education/

Если мы хотим сделать курс, который будет популярен,
надо (а) начинать на год раньше, пока продвинутые
студенты в состоянии получить для себя пользу от
нашего курса и участвовать в обучении своих
соучеников и (б) уделять больше времени ключевым
понятиям, и меньше - частностям типа исторически
сложившихся версий теоремы Стокса для разных
размерностей (их стоит дать в упражнениях), интегралам
по кривым "первого рода" и так далее.

From: ...
>Я бы предложил кое-что полезное (типа теоремы Уитни)
>приводить без доказательства.

Если что, теорема Уитни для компактных многообразий
доказывается в одну строчку, если мы знаем разбиение
единицы. Надо вложить каждую карту в сферу S^n, а потом
домножить отображение вложения на функцию, которая
равна нулю вне карты; такие функции берутся из разбиения
единицы. Для некомпактных доказательство требует
куска из теории меры (хотя бы Хаусдорфа): нужно
образ многообразия спроектировать из бесконечномерного
пространства в конечномерное без самопересечений.
Конечно, без этого можно обойтись, ограничившись
компактным случаем.

Наконец, небольшие коррекции и замечания к программе
(учитывая очень плохую ситуацию, в которой мы находимся,
она представляется мне практически идеальной).

>*3 модуль (11 недель)*

>1) Гладкие многообразия, многообразия с краем. Касательные пространства.

Это концептуально очень трудное понятие. Оно нуждается в
иллюстрации примерами (для этого нужна теорема Уитни: все
многообразия на самом деле вложенные). Кроме того, обычное
определение (через карты) никем не усваивается. Например,
доказать, что множество классов эквивалентности
атласов на многообразии не более чем континуально,
не может (почти) никто из студентов, я ставил
такой эксперимент. То есть фактически понятие
"эквивалентности атласов" остается для студентов
глубочайшей тайной, даже для тех из них, кто
неплохо знает гомологическую алгебру и знакомы
с неабелевыми когомологиями.

В этот момент нужно либо много говорить о коциклах
и функциях перехода (и посвятить коциклам и функциям
перехода одно-два занятия), либо определять многообразия
через пучки (самый разумный способ, особенно учитывая,
что наши студенты знают пучки лучше, чем они знают
про ряды Тэйлора), либо с самого начала ограничиться
многообразиями, вложенными в R^n.

>2) Подмногообразия, дифференциалы отображений, диффеоморфизмы.

>3) Ориентируемость. Индуцированная ориентация на крае многообразия.

>4) Лемма Сарда, слабая теорема Уитни о вложении многообразий в Rn.

Я бы поменял порядок, начав с теоремы Уитни. Потому
что вложенное в R^n многообразие есть единственная
понятная версия этого понятия в рамках данного курса
(если мы не рассказываем им про пучки и про свойства
коциклов переклейки).

>5) Риманова метрика, длины кривых. Разбиение единицы, существование метрики.

Это нереально, пока мы не рассказали про расслоения.
Надо перенести риманову метрику после расслоений.

>6) Векторные поля, фазовые потоки (повторение). Коммутаторы. Тождество
>Якоби.

>(*) Матричные группы. Однопараметрические подгруппы и левоинвариантные
> векторные поля. Алгебры Ли классических групп.

>7) Гладкие тензорные поля. Производная Ли.

>(*) Векторные расслоения. Операции над расслоениями, ориентирующее
> расслоение. Тензорные поля как сечения расслоений.

>8) Касательное и кокасательное расслоения. Дифференциальные формы и
>операции над ними.

>*4 модуль (10 толстых недель)*
>
>1) Внешний дифференциал. Формула Картана.
>
>(*) Теорема Фробениуса об интегрируемости.
>
>2) Замкнутость и точность форм. Лемма Пуанкаре.
>
>3) Интеграл дифференциальной формы по многообразию. Формула Стокса.
>
>4) Форма объема римановой метрики. Интегралы по кривым первого рода.
>Площади подмногообразий в евклидовом пространстве. Площадь сферы и объем шара
>в Rn.

По-моему, площадь сферы проходят на первом курсе.
И уж точно незачем добавлять это в программу анализа на
многообразиях. Может, еще объем цилиндра и конуса
добавить? Ну и правильного тетраэдра, чего мелочиться.

>5) Градиент функции, ротор и дивергенция векторного поля в евклидовом
>пространстве. Формулы Грина, Кельвина---Стокса и Гаусса---Остроградского,
>интегральная теорема Коши. (*) Уравнения Максвелла

Торжество архаики и мракобесия. Если до этого места
студенты еще и досидят, то тут они точно вылетят в трубу.

>6) Когомологии Де Рама многообразий. Гомотопическая инвариантность
>когомологий. Когомологии сфер.

>(*) Последовательность Майера---Вьеториса, когомологии поверхностей.

Суммируя: если убрать редкие напластования
архаики, мы увидим в этой программе выжимку
геометрической части курса Лорана Шварца, что само по себе
неплохо, но не решает две проблемы:

(а) концептуальную
трудность понятия "многообразия" и "векторного
расслоения", которое требует полгода-год интенсивной
работы на усвоение

(б) курс Лорана Шварца доступен продвинутому
старшекласснику, а мы предлагаем это второкурсникам,
интересующимся (на нашем факультете) мотивами,
триангулированными категориями и программой Ленглендса.
По-моему, это примерно как рассказывать здоровому
двадцатилетнему лбу про пчелок и цветочки, желая
поведать ему, откуда берутся дети.

Я знаю как минимум двух (бывших) первокурсников, которые
еще в старшем классе школы хорошо владели программой первых
двух курсов НМУ (в объеме лицензиата). Неплохо бы ориентировать
наши программы не только на студентов, которые ничему не учатся,
но и на студентов, которые учатся.

Такие дела
Миша