\documentclass[12pt]{article}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[parfill]{parskip}


\begin{document}



\title{MAT102 - obligatorisk oppgave 4}
\author{Espen Greftegreff}

\maketitle
\section*{Oppgave 1}
\(f(x, y) = x^2-4x+y^2+2y-3, D_{f} = \{(x, y) | x^2+y^2 \leq 20\} \).
\subsection*{a)}
På grunn av at funksjonen er kontinuerlig og har et lukket definisjonsområde kan vi vite at $f$ har et maksimum og minimum.

\subsection*{b)}
\[  f_{x}
    = \frac{\partial}{\partial x}
    = \underline{\underline{2x-4}}
\]
\[  f_{y}
    = \frac{\partial}{\partial y}
    = \underline{\underline{2y+2}}
\]

\[ f_{xx}
    = \frac{\partial^2f}{\partial x^2}
    = \underline{\underline{2}}
\]
\[ f_{yy}
    = \frac{\partial^2f}{\partial y^2}
    = \underline{\underline{2}}
\]
\[ f_{xy}
    = \frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}
    = \underline{\underline{0}}
\]

\subsection*{c)}

Regner først ut $f'(x,y)$.
\[  f'(x,y)
    = (2x-4, 2y+2)
\]

For å finne stasjonære punkter setter jeg $f'(x,y) = (0,0)$
\begin{equation}
\begin{aligned}
    2x - 4 &= 0\\
    2x &= 4 \\
    x &= 2 \\\\
    2y+2 &= 0 \\
    2y &= -2 \\
    y &= -1
\end{aligned}
\end{equation}

Har altså at det stasjonære punktet i $f$ er $(2,-1)$.

\subsection*{d)}
Benytter andrederivasjon-testen. Har at $f_{xx}=A=2$, $f_{yy}=B=2$ og $f_{xy}=C=0$.

$AB-C^2=2*2-0^2=4$, og dette betyr at vi har et lokalt minimum i $f(2,-1)$.

\subsection*{e)}

\subsection*{f)}
$(x,y)=(4,-2)$


\section*{Oppgave 3}

\subsection*{a)}

\[
A =
\begin{bmatrix}
10 & -9 \\
4 & -2
\end{bmatrix}
\]

\[
A - \lambda I =
\begin{bmatrix}
10 & -9 \\
4 & -2
\end{bmatrix}
- \lambda
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
10-\lambda & -9 \\
4 & (-2-\lambda)
\end{bmatrix}
\]

\[
det(A-\lambda I) =
det\left(
\begin{bmatrix}
10-\lambda & -9 \\
4 & (-2-\lambda)
\end{bmatrix}
\right)
= (10-\lambda)* (-2-\lambda) - (-4 * 9)
= \lambda^2 -8\lambda +16
\]

Bruker ABC-formelen med $A=1$, $B=-8$ og $C=16$.

\[  \lambda =
    \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2-4*1*16}}{2*1}
    = \frac{8\pm0}{2}
    = 4
\]

Egenverdien til matrisen er altså $4$. Bruker denne til å finne egenvektoren.


\[
B =
\begin{bmatrix}
1 & 7 \\
4 & -2
\end{bmatrix}
\]

\[
B - \lambda I =
\begin{bmatrix}
1 & 7 \\
4 & -2
\end{bmatrix}
- \lambda
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1-\lambda & 7 \\
4 & (-2-\lambda)
\end{bmatrix}
\]

\[
det(A-\lambda I) =
det\left(
\begin{bmatrix}
1-\lambda & 7 \\
4 & (-2-\lambda)
\end{bmatrix}
\right)
= (1-\lambda)* (-2-\lambda) - (4 * 7)
= \lambda^2 + \lambda - 30
\]

Bruker ABC-formelen med $A=1$, $B=1$ og $C=-30$.

\[  \lambda =
    \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4*1*(-30)}}{2*1}
    = \frac{-1\pm -11}{2}.\
    \lambda_{1} = 5, \lambda_{2}=-6
\]

\end{document}