$n\in\mathbb{N}$ est l'ordre de l'approximation, $f \in \mathcal{C}^{n+1}$ est une fonction suffisamment régulière.

Les matrices sont exprimées dans la base $\mathcal{B} = \left(f'(x)h, f''(x)h^2, \dots, f^{(n)}(x)h^n\right)$

$$\textrm{On note } F(n) = \mathrm{Diag}\left(\frac{1}{1!}, \frac{1}{2!}, \dots, \frac{1}{n!}\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{6} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{n!} \end{pmatrix}
\\
B(k) = \begin{pmatrix} C_n^0 \\ -C_n^1 \\ C_n^2 \\ \vdots \\ (-1)^kC_n^k \end{pmatrix}, \textrm{ avec } C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}
\\
V_n(k) = \begin{pmatrix} k & k-1 & \cdots & 2 & 1 & 0 \\ k^2 & (k-1)^2 & \cdots & 2^2 & 1^2 & 0^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ k^n & (k-1)^n & \cdots & 2^n & 1^n & 0^n \end{pmatrix}$$

On a alors, en notant $\Delta^kf$ la différence finie avant d'ordre $k$ (telle que $\Delta f = f(x+h)-f(x)$ et $\Delta^k = \Delta\circ\dots\circ\Delta$):

$$\Delta^k f = F(n)V_n(k)B(k)+o(h^n)$$

On note alors $\Delta^kf = \begin{pmatrix} \delta_{1k} \\ \delta_{2k} \\ \vdots \\ \delta_{nk} \end{pmatrix} + o(h^n)$.

On considère alors la matrice suivante:

$M = \begin{pmatrix}\delta_{11} & \delta_{12} & \cdots & \delta_{1n} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \cdots & \delta_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_{n1} & \delta_{n2} & \cdots & \delta_{nn} \end{pmatrix}$.

On a facilement que $M$ est triangulaire inférieure et que $\delta_{ii} = 1 \Rightarrow M \in \mathcal{GL}(n)$.

En notant $P = M^{-1}\mathrm{Diag}(1, 0, \dots, 0)$, on note ($\alpha_i$) les coefficients de la première colonne de $P$.

Ce sont les coefficients de la combinaison linéaire des $\Delta^kf$ qui permet d'annuler toutes les dérivées d'ordre compris entre $2$ et $n$, afin d'améliorer l'erreur en un $O(h^n)$:

$$\dfrac{\alpha_1\Delta f+\alpha_2\Delta^2f+\dots+\alpha_n\Delta^nf}{h} = f'(x)+O(h^n)$$

Le calcul donne pour les premiers $\alpha_i$: $(1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, -\dfrac{1}{6})$

Par ailleurs, en notant $\Lambda^i f = f(x+ih)$, on a:
$$\Delta^kf = \sum_{i=0}^kC_k^i\Lambda^if(-1)^{k-i}$$

Le coefficient de $f(x+ih)$ dans $\Delta^kf$ est $(-1)^{k-i}C_k^i$.

**Dans l'expression finale, le coefficient de $f(x+kh)$ est alors:**

$$\sum_{i=k}^n \alpha_i(-1)^{i-k}C_i^k$$