Enumerate

\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{comment}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{enumitem}
\setlength{\parindent}{0in}
\includecomment{losninger}
\title{Faktoriseringsoppgaver}
\author{Nebuchadnezzar / Werner}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}
\item $ \displaystyle   \qquad \frac{7}{\sqrt{7}}$

\begin{losninger}
Når vi har røtter i nevneren, er det ofte lurt å utvide brøken med denne roten
\begin{equation*}
\frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}
\end{equation*}
\end{losninger}

\item $ \displaystyle   \qquad 2x^2 -1 + 2x^2$

\begin{losninger}
Vi kan trekke sammen leddene og bruke tredjekvadratsetning.
\begin{equation*}
2x^2 -1 + 2x^2 = 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1)
\end{equation*}
\end{losninger}

\item $ \displaystyle   \qquad x(x-1)-2(x-1) $

\begin{losninger}
Vi kan trekke ut den felles faktoren her. Eventuelt kan vi også si at $a=(x-1)$ for å se omformingen litt lettere
\begin{align*}
x(x-1) - 2(x-1) = x \cdot a - 2 \cdot a = a \left( x - 2 \right) = (x-1)(x-2)
\end{align*}
Her kan vi også bruke $abc$-formelen, men det er jeg for lat til.\\
\end{losninger}

\item $ \displaystyle    \qquad - 7 + 8^0 - 3 \cdot 8^{1/3}+3 \cdot 8^{2/3} + 8^{3/3}$

\begin{losninger}
Bare enkel faktorisering her. Vi husker først på potensreglene våre
\begin{equation*}
a^0 = 1 \qquad a^\frac{b}{c} = \left( a^b \right)^{1/c} = \left( a^{1/c} \right)^{b}
\end{equation*}
Med denne kunnskapen blir oppgaven lettere
\begin{align*}
S & = - 7 + 8^0 - 3 \cdot 8^{1/3}+3 \cdot 8^{2/3} + 8^{3/3} \\
S & = - 7 + 1 - 3 \cdot \left( 2^3 \right)^{1/3} + 3 \cdot \left( 2^3 \right)^{2/3} + 8^{1} \\
S & = - 7 + 1 - 3 \cdot \left( 2^3\cdot {1/3} \right) + 3 \cdot \left( 2^3\cdot{1/3} \right)^{2} + 8^{1} \\
S & = - 7 + 1 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 8 \\
S & = 8
\end{align*}
\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle   \qquad x^2+3x-2x-6$ \label{toledd}

\begin{losninger}
Vi kan faktorisere denne oppgaven ved å dele den inn i to deler, og faktorisere ut en felles faktor.
\begin{align*}
P & = x^2 + 3x - 2x - 6 \\
P & =   \left[ x^2 + 3x \right] -  \left[ 2x + 6 \right] \\
P & = x \left[ x   + 3  \right] - 2\left[  x + 3 \right] \\
P & = (x+3)(x-2)\\
\end{align*}
\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle    \qquad 5! - 4 \cdot 4! - 3 \cdot 3! - 2 \cdot 2! - 1 \cdot 1! - 0!$

\begin{losninger}
Vi kan enten bare blindt gange ut ting. Dette er den mest åpenbare metoden. Eventuelt kan vi legge merke til at
\begin{align*}
n\cdot n! & = (n+1-1)n! = (n+1)n! - n! = (n+1)! - n!
\intertext{Dette gir oss at}
\left[ 4 \cdot 4! = 5! - 4! \right] & \qquad \left[ 3 \cdot 3! = 4! - 3! \right] \qquad \left[ 2 \cdot 2! = 3! - 2! \right] \qquad \left[ 1 \cdot 1! = 2! - 1! \right]
\intertext{Grunnen til at vi gjør denne omskrivningen blir at vi får en god del luddige forkortninger. }
S & =  5! - 4 \cdot 4! - 3 \cdot 3! - 2 \cdot 2! - 1 \cdot 1! - 0! \\
S & =  5! - \left[ 4 \cdot 4! + 3 \cdot 3! + 2 \cdot 2! + 1 \cdot 1! \right] - 0! \\
S & =  5! - \left[ (5! - 4!) + (4! - 3!) + (3! - 2!) + (2! - 1!) \right] - 0! \\
S & =  5! - \left[ 5! - 1! \right] - 0! \\
S & =  0
\end{align*}
\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle    \qquad \frac{t^2-6t+9}{t^2-8t+15}$

\begin{losninger}
Vi ser at $9$ og $15$ har en felles faktor $3$. Dermed kan vi håpe at når vi faktoriserer får vi noen pene kanselleringer.
Dersom et polynom bare har heltalls-røtter, vil disse alltid være faktorer i konstantleddet.
\begin{align*}
P & = \frac{t^2-6t+9}{t^2-8t+15} \\
P & = \frac{t^2 - 2 \cdot 3 t+3^2}{t^2+(-5-3)t+(5 \cdot 3)} \\
P & = \frac{(t-3)^2}{(t-3)(t-5)} \\
P & = \frac{t-3}{t-5)}
\end{align*}
Faktoriseringen krever antakeligvis noen ord. Anta at et andregradspolynom på formen $x^2 + bx + c$ kan faktorises til. $(x+n)(x+m)$
Da kan vi se ved å gange ut $(x+n)(x+m)=x^2 + (n+m)x + nm$. Vi ser at dersom vi kan skrive $x^2 + bx + c$ som $x^2 + (n+m)x + nm$ kan
vi faktorisere polynomet vårt til  $(x+n)(x+m)$.
\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle    \qquad { {n+1}\choose{n} } \qquad n\in \mathbb{N}$

\begin{losninger}
Problemet ovenfor er det samme som å velge $n$ personer fra en mengde med $n+1$ personer.
Ved å tenke litt over problemet kan dette bli gjort på nøyaktig $n+1$ måter. Vi kan velge alle untatt den første personen, eller
alle untatt den andre personen osv. Men vi kan jo også regne på dette =)
\begin{align*}
\binom{n}{k} & = \frac{n!}{(n-k)!k!} \\
P & = \binom{n+1}{n} = \frac{(n+1)!}{((n+1)-n)!(n)!} = \frac{(n+1)!}{((1)!(n)!} = \frac{(n+1)\cdot)n!}{(n!} = n + 1
\end{align*}
De fleste overgangene her burde være ok. Den eneste som kan være vanskelig å se er at $(n+1)! = (n+1)n!$. Men dett er det samme som at $6\cdot5!=6!$ siden fakultet er definert som at vi ganger sammen alle heltallene tallene fra 1 til og med tallet. $5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$
\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle    \qquad 18r^3 - 128r^5s^2$

\begin{losninger}
\begin{align*}
P = 18r^3 - 128r^5s^2 = 2 r^3 \left( 9 - 64 s^2 \right) = 2 r^3 \left( 3^2 - [8s]^2 \right) = 2 r^3 \left( 3 - 8s \right) \left( 3 + 8s \right)
\end{align*}

\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle   \qquad x^5 - 4x^3 - 8x^2 + 32$

\begin{losninger}
Vi gjør det samme som vi gjorde i (\ref{toledd}). Vi deler problemet vårt inn i to ledd.
Vi kunne også funnet en faktor, også brukt polynomdivisjon, men igjen jeg er lat.
\begin{align*}
P & = x^5 - 4x^3 - 8x^2 + 32 \\
P & = x^3\left(x^2 - 4\right) - 8 \left( x^2 - 4\right)  \\
P & = \left[ x^3 - 8 \right] \left[x^2 - 4\right]
\intertext{Den første parentesen er differansen mellom to kuber. Faktoriseringen av et slikt uttrykk burde være kjent. $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$Eller vi kan legge merke til at 2 er en faktor og bruke polynomdivisjon.}
P & = \left[ (x-2)(x^2+2x+4)\right] \left[ \left(x-2\right) \left( x+2 \right) \right]   \\
P & =  (x^2+2x+4)(x-1)(x-2)^2
\end{align*}
De fleste overgangene her burde være ok. Den eneste som kan være vanskelig å se er at $(n+1)! = (n+1)n!$. Men dett er det samme som at $6\cdot5!=6!$ siden fakultet er definert som at vi ganger sammen alle heltallene tallene fra 1 til og med tallet. $5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$
\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle   \qquad \ln \left( a^2 \right)  + \ln(2ab) + \ln\left(b^2\right)  + \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

\begin{losninger}
Vi husker på være elementære logaritmeregler under
\begin{align*}
\log_c(a)=b \leftrightarrow c^a = b \qquad \qquad \log_{c}(a^b) =  b \log_{c}(a) \qquad \ln(a) = \log_e(a) \\
\log_{c}(a) + \log_{c}(b) = \log_{c}(ab)  \\
\log_{c}(a) - \log_{c}(b) = \log_{c}(a) + \log_{c}(b^{-1}) = \log_{c}\left(\frac{a}{b}\right)
\intertext{Nå burde oppgaven gå rimelig greit}
P & = \ln \left( a^2 \right)  + \ln(2ab) + \ln\left(b^2\right)  + \ln\left(\frac{1}{2}\right) \\
P & = 2\ln(a)  + \ln(2) + \ln(a) + \ln(b)  + 2\ln(b)  + \ln\left(2^{-1}\right) \\
P & = 3\ln(a)  + \ln(2)    + 3\ln(b)  - \ln(2) \\
P & = 3\ln(ab)
\end{align*}
\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle   \qquad \left( \frac{x}{3}:\frac{9}{x^2}\right):\frac{1}{27} $

\begin{losninger}
Nesten det eneste vi trenger å huske på her er at : er det samme som deling og at $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ siden
\begin{align*}
\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \cdot \frac{d}{d} = \frac{\frac{a}{b}\cdot d}{\frac{c}{d}\cdot d}  = \frac{\frac{ad}{b}}{c} = \frac{ad}{bc} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \\
\\
S = \qquad \left( \frac{x  }{ 3}   : \frac{9}{x^2}  \right) : \frac{1}{27} \\
S = \qquad \left( \frac{x  }{ 3} \cdot \frac{x^2}{9}\right) : \frac{1}{27} \\
S = \qquad \left( \frac{x^3}{27} \right) \cdot \frac{27}{1} \\
S = x^3
\end{align*}
\\ \end{losninger}

\item $ \displaystyle   \qquad \Large \left( e^{\cos(x)^2} e^{\sin(x)^2} \right)^x $

\item $ \displaystyle         \qquad \frac{e^{\left(\ln(x^2- 1\right)}}{x+1} $

\end{enumerate}


\end{document}