#NumMeth Lab 5 Report

\documentclass[12pt]{article}
% Эта строка — комментарий, она не будет показана в выходном файле
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc} % Включаем поддержку UTF8
\usepackage[russian]{babel}  % Включаем пакет для поддержки русского языка
\title{Отчёт по численным методам}
\date{}
\author{}

\usepackage{geometry} % А4, примерно 28-31 строк(а) на странице
    \geometry{paper=a4paper}
    \geometry{includehead=false} % Нет верх. колонтитула
    \geometry{includefoot=true}  % Есть номер страницы
    \geometry{bindingoffset=0mm} % Переплет    : 0  мм
    \geometry{top=20mm}          % Поле верхнее: 20 мм
    \geometry{bottom=25mm}       % Поле нижнее : 25 мм
    \geometry{left=25mm}         % Поле левое  : 25 мм
    \geometry{right=25mm}        % Поле правое : 25 мм
    \geometry{headsep=10mm}  % От края до верх. колонтитула: 10 мм
    \geometry{footskip=20mm} % От края до нижн. колонтитула: 20 мм
\usepackage{amsmath}    % \bar    (матрицы и проч. ...)
\usepackage{amsfonts}   % \mathbb (символ для множества действительных чисел и проч. ...)
\usepackage{mathtools}  % \abs, \norm
    \DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
    \DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\usepackage{listings} %листинги

 %для подсветки листинга javascript
 \usepackage{color}
\definecolor{lightgray}{rgb}{.9,.9,.9}
\definecolor{darkgray}{rgb}{.4,.4,.4}
\definecolor{purple}{rgb}{0.65, 0.12, 0.82}

\lstdefinelanguage{JavaScript}{
  keywords={typeof, new, true, false, catch, function, return, null, catch, switch, var, if, in, while, do, else, case, break},
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  ndkeywords={class, export, boolean, throw, implements, import, this},
  ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
  identifierstyle=\color{black},
  sensitive=false,
  comment=[l]{//},
  morecomment=[s]{/*}{*/},
  commentstyle=\color{purple}\ttfamily,
  stringstyle=\color{red}\ttfamily,
  morestring=[b]',
  morestring=[b]"
}

\lstset{
   language=JavaScript,
   %backgroundcolor=\color{lightgray},
   extendedchars=true,
   basicstyle=\footnotesize\ttfamily,
   showstringspaces=false,
   showspaces=false,
   %numbers=left,
   %numberstyle=\footnotesize,
   %numbersep=9pt,
   %tabsize=2,
   breaklines=true,
   showtabs=false,
   captionpos=b
}


\begin{document}
    \newpage
    {
        \thispagestyle{empty}
        \centering

        \textbf{
        *** УНИВЕРСИТЕТ ***
        Факультет ***
        Кафедра ***}
        \bigskip
        \bigskip
        \bigskip
        \bigskip
        \bigskip
        \bigskip
        \bigskip

        \vfill

        {\large Лабораторная работа №5}\\
        по курсу <<Численные методы>>\\
    \LARGE{<<Интегрирование методами Симпсона, прямоугольников и трапеций>> }
    \normalsize

        \bigskip
        \vfill
        \hfill\parbox{5cm} {
            Выполнил:\\
            студент группы *** \hfill \\
            ***\hfill \medskip\\
            Проверил:\\
            ***\hfill
        }
        \vspace{\fill}


        Москва \number\year
        \clearpage
    }
    \newpage
    {
        \tableofcontents
        \clearpage
    }
    {
        \section{Постановка задачи}
    }

    Необходимо с заданной точностью $\epsilon$ вычислить значение интеграла с помощью методов Симпсона, прямоугольников и трапеций и сравнить результаты по эффективности вычиления результата.

    В качестве подынтегральной функции возьмем функцию вида:\\
    $$x^4 - 12x^3 + 15x^2 - 6$$

    \bigskip

    {
        \section{Необходимые теоретические сведения}
    }

    Метод Симпсона заключается в приближении подынтегральной функции квадратичным многочленом. Т.е. в приближении графика функции на отрезке интегрирования параболой, проходящей по точкам $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$, $(x_{i-0.5}, f(x_{i-0.5}))$, $(x_i, f(x_i))$
    $$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3} \Bigg( f(x_0) + 4 \sum_{i=1}^n f(x_{i-0.5}) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\Bigg)$$

    Метод прямоугольников (средних) вычисления интеграла заключается в замене подынтегральной функции на некоторую константу, равную значению функции в центре элементарного отрезка, на которые был предварительно разбит отрезок интегрирования.
    $$\int_a^b f(x)dx = \sum_{i=1}^n f\Big(\frac{x_{i-1}+x_{i}}{2}\Big)(x_i - x_{i-1})$$

    Метод трапеций заключается в замене подынтегральной функции на линейную функцию на каждом элементарном отрезке, на которые был предварительно разбит отрезок интегрирования. Площадь под полученным графиком аппроксимируется прямоугольными трапециями.
    $$\int_a^b f(x)dx = \sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} (x_i - x_{i-1})$$

    Для получения результата с заданной точностью воспользуемся правилом Рунге остановки. Это правило заключается в вычислении интеграла по выбранной формуле при числе шагов, равном $n$, а затем при числе, равном $2n$. Погрешность вычисления при числе шагов $2n$ определяется по формуле Рунге:\\
    $$\delta_{2n}\approx \Theta \abs{I_{2n}-I_{n}}$$

    При этом для формул средних прямоугольников и трапеций $\Theta = \frac{1}{3}$, а для формулы Симпсона $\Theta = \frac{1}{15}$.

    Процесс вычислений закачивается, когда для определенного значения числа шагов $N$ будет выполнено $\delta_{2n} < \epsilon$, где $\epsilon$ - заданная точность.

    \clearpage

        {
        \section{Текст программы}
    }

    Для написания программы был использован язык Javascript.

    {
        \lstset{basicstyle=\tiny}
        \begin{lstlisting}

K1 = 1.0/3.0;
K2 = 1.0/15.0;

function fx(x) { return Math.pow(x, 4) - 12*Math.pow(x, 3) + 15*Math.pow(x, 2) - 6; }

function simpsons(f, a, b, n) {
        var h = (b - a) / n;
        var r, s = 0.0, m = 0;

        for (var x = a; x <= b; x += h) {
            r = f(x);
            if (x == a || x == b) {
                    s += r;
            } else {
                    m = !m;
                    s += r * (m + 1) * 2.0;
            }
    }

        return s * (h / 3.0);
}

function rektangles(f, a, b, n) {
        var h = (b - a) / n;
        var s = 0.0;

        for (var i = 0; i < n; i++)
            s += f(a + h*(i + 0.5));

        return s * h;
}

function trapezoids(f, a, b, n) {
        var h = (b - a) / n;
    var s = 0.0;

    for (var i = 1; i <= n-1; i++)
            s += f(a + i*h);

        return (h/2) * (f(a) + f(b) + 2*s);
}

function Lab5Main() {
    var a = 0, b = 1;
    steps = 1;
    epsilon = 0.001;
    rektStop = false, trapStop = false, simpStop = false;

    do {
            rektDelta = K1 * Math.abs(rektangles(fx, a, b, 2*steps) - rektangles(fx, a, b, steps));
        trapDelta = K1 * Math.abs(trapezoids(fx, a, b, 2*steps) - trapezoids(fx, a, b, steps));
        simpDelta = K2 * Math.abs(  simpsons(fx, a, b, 2*steps) -   simpsons(fx, a, b, steps));

        if (rektDelta < epsilon && !rektStop) {
            rektStop = true;
            rektSteps = 2*steps;
        }
        if (trapDelta < epsilon && !trapStop) {
            trapStop = true;
            trapSteps = 2*steps;
        }
        if (simpDelta < epsilon && !simpStop) {
            simpStop = true;
            simpSteps = 2*steps;
        }
        steps *= 2;

    } while (!(rektStop && trapStop && simpStop));

    console.log("rektangles I=" + rektangles(fx, a, b, rektSteps) + " n=" + rektSteps);
    console.log("trapezoids I=" + trapezoids(fx, a, b, trapSteps) + " n=" + trapSteps);
    console.log("simpsons   I=" +   simpsons(fx, a, b, simpSteps) + " n=" + simpSteps);

}


        \end{lstlisting}
    }

    \clearpage


\newpage
    {
        \section{Результаты}
    }
    В результате работы программы были получены следующие результаты:\\

    Для подынтегральной функции $x^4 - 12x^3 + 15x^2 - 6$ на отрезке $[0, 1]$ с точностью $\epsilon=0.001$:
    \begin{table}[h!]
    \caption{Результаты работы 1}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
 Метод & Значение интеграла & Кол-во итераций \\
 \hline
Прямоугольников & -3.7996740341186523 & 16 \\
\hline
Трапеций & -3.8006515502929688 & 16 \\
\hline
Симпсона & -3.7994791666666665 & 4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
    \end{table}


Для подынтегральной функции $\exp{x}$ на отрезке $[0, 1]$ с точностью $\epsilon=0.001$:
    \begin{table}[h!]
     \caption{Результаты работы 2}
    \begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
 Метод & Значение интеграла & Кол-во итераций \\
 \hline
Прямоугольников & 1.71800219205266 & 16 \\
\hline
Трапеций & 1.7188411285799947 & 16 \\
\hline
Симпсона & 1.718318841921747 & 4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
    \end{table}


Для подынтегральной функции $\sin{x}$ на отрезке $[0, 4]$ с точностью $\epsilon=0.001$:
\begin{table}[h!]
     \caption{Результаты работы 3}
    \begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
 Метод & Значение интеграла & Кол-во итераций \\
 \hline
Прямоугольников & 1.6539127992561373 & 64 \\
\hline
Трапеций & 1.653105290365576 & 64 \\
\hline
Симпсона & 1.6542353517615562 & 8 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
    \end{table}



    {
        \section{Выводы}

    }
    В ходе работы были реализованы методы Симпсона, прямоугольников и трапеций приближенного интегрирования.

    Как видно из результатов тестирования, метод трапеций показывает схожие с методом прямоугольников результаты, но это достигается бОльшим числом шагов, чем в методе Симпсона, который требует на порядок меньше итераций (4 против 16 для монотонно возрастающих на рассатриваемом отрезке функций и 8 против 64 для периодической функции) в протестированных с одинаковой точностью $\epsilon$ функциях.


    \end{document}