Times @@ Table[
     x - With[{r = Root[#1^3 + a2 #1^2 + a1 #1 + a0 &, i]}, r^3 + r + 1],
     {i, 3}] //
      Expand //
      Simplify //
      CoefficientList[#, x] &

{-1 + 4 a0 - 3 a0^2 + a0^3 - a1 - 2 a0 a1 + 2 a1^2 + a0 a1^2 - a1^3 +
  a2 + a0 a2 - 2 a0^2 a2 - 3 a1 a2 + 3 a0 a1 a2 + a0 a2^2 - a1 a2^2 +
  a2^3,

  3 - 6 a0 + 3 a0^2 + a1 - 2 a1^2 + a1^3 - 2 a2 - a0 a2 +
  6 a1 a2 - 3 a0 a1 a2 + a1 a2^2 - 2 a2^3,

  -3 + 3 a0 + a2 - 3 a1 a2 + a2^3,

  1}