sadsaddas

\section*{Kreativ/Transfer}
\subsection*{Vorgabe}
n-te Bell-Zahl $ B_{n} $ ist für   n $ \in     \mathbb{N} $
\\$  B_{n} =_{def} \sum\limits_{k=0}^{n} S_{n,k} $
\\ definiert,wobei $ S_{n,k} $ Stirling-Zahlen zweiter Ordnung sind.
\\ Zur Herleitung wird die Formel $ f(x) =_{def} e^{e^{x}} $ verwendet.
\subsubsection*{(a)}
Es ist:
\\ $ f^{n}(x) = \sum\limits_{k= 0}^{n} S_{n,k}*e^{k*x+e^{x} }
 $
\\ Für n = 0
\\ $ f^{0}(x) = \sum\limits_{k= 0}^{0} S_{0,k}*e^{k*x+e^{x}} = \sum\limits_{k= 0}^{0} S_{0,0}*e^{0*x+e^{x}} = 1*e^{e^{x}} = e^{e^{x}} $ \\ Für n $ \rightarrow $ n+1
\\ $ f^{(n+1)}(x) = \sum\limits_{k= 0}^{n+1} S_{n+1,k}*e^{k*x+e^{x} } \hskip 2em (A) \hskip 2em =
\begin{pmatrix} f^{(n)}(x) \end{pmatrix}' =
\begin{pmatrix}  f^{n}(x) = \sum\limits_{k= 0}^{n} S_{n,k}*e^{k*x+e^{x} } \end{pmatrix}' \hskip 2em (B)$
\\  Wir machen mit (A) ein Schritt:
\\ $ f^{(n+1)}(x) = \sum\limits_{k= 0}^{n+1} S_{n+1,k}*e^{k*x+e^{x}} = \sum\limits_{k= 0}^{n+1} ( S_{n,k-1} + k*S_{n,k}) * e^{k*x+e^{x}} \hskip 4em (*) $
\\ Wir machen mit (B) weiter:
\\ $ \begin{pmatrix} f^{(n)}(x) \end{pmatrix}' =
\begin{pmatrix}  f^{n}(x) = \sum\limits_{k= 0}^{n} S_{n,k}*e^{k*x+e^{x} } \end{pmatrix}' =  \sum\limits_{k=0}^{n} S_{n,k}*(e^{x}+k)*e^{(kx)+e^{x}} = \sum\limits_{k=0}^{n} S_{n,k}*(e^{(k+1)*x+e^{x}} + k*e^{(kx)+e^{x}}) = \sum\limits_{k=0}^{n} S_{n,k}*e^{(k+1)*x +e^{x}} + \sum\limits_{k=0}^{n} S_{n,k}*k*e^{kx+e^{x}} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} S_{n,k-1}*e^{kx+e^{x}} + \sum\limits_{k=0}^{n} k*S_{n,k}*e^{kx+e^{x}}   = S_{n,n}*e^{(n+1)*x+e^{x}} + \sum\limits_{k=1}^{n} ( S_{n,k-1}+k*S_{n,k})*e^{kx+e^{x}} $
\\ Wegen $ S_{n+1,k} = S_{n,k-1} + k*S-{n,k}$ und $ S_{n,n} = 1 $
\\ $ \rightarrow $  $ f^{(n+1)}(x) = e^{(n+1)*x+e^{x}} +  \sum\limits_{k=1}^{n} S_{n+1,k}*e^{kx+e^{x}} $
\\ Wegen $ e^{(n+1)*x+e^{x}} $ folgt $ k = n+1 $. Aus $ S_{n+1,n+1} = 1 $ und $ k=1 $ wegen $ S_{n+1,0} = 0 $
\\ $ \rightarrow f^{(n+1)}(x) = \sum\limits_{k=0}^{n+1}  ( S_{n,k-1} + k*S_{n,k})*e^{kx+e^{x}} \hskip 4 em (**) $
\\ Somit ist die Aussage aus (a) wahr.
\\
\\ Die Taylor-Reihe von der Funktion f ist somit fast gegeben.
\\ Da es kein Entwicklungspunkt gibt bezeichnen wir diesen als $ x_{0} $ und schreiben nur die n-te Entwicklung auf.
\\ Es ist:
\\ $f(x) = f(x_{0}) + \frac{f^{'}(x_{0})}{1!}*(x-x_{0}) + \frac{f^{''}(x_{0})}{2!}*(x-x_{0})^{2} +...+ \dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}*(x-x_{0})^{n}$
\\ $ f(x_{0})= e^{e^{x_{0}}}+..+ \frac{S_{n,k}*e^{k*x+e^{x}}}{n!}*(x-x_{0})^n $
\\ Es folgt die Taylor-Reihe:
\\ $ e^{e^{x}} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^{n} $
\\ Wobei  $ f^{n}(x_{0}) = f^{n}(x) $ ist.

\subsubsection*{(b)}
Es ist:
\\ $ \forall  n \in \mathbb N $
\\ $ B_{n} = \frac{1}{e} * \sum\limits_{k=0}^{\infty }  \frac{k^{n}}{k!} $
 \\ $ e^{e^{x}-1} = \frac{1}{e} * e^{e^{x}} = \frac{1}{e} \sum\limits_{k \in  \mathbb N }^{} \frac{e^{X*k}}{k!}
=
\frac{1}{e}  \sum\limits_{k \in  \mathbb N }^{} \begin{pmatrix} \frac{1}{k!} * \sum\limits_{n \in  \mathbb N }^{n} \frac{X^{n}*k^{n}  }{n!}   \end{pmatrix}
=
\sum\limits_{n \in  \mathbb N}^{} \begin{pmatrix} \frac{1}{e} \sum\limits_{k \in  \mathbb N }^{} \frac{k^{n}}{k!}    \end{pmatrix}  \frac{X^{n}}{n!}
=
\frac{1}{e}  \sum\limits_{k \in  \mathbb N }^{} \frac{k^{n}}{k!}  $
\\ Die Aussage ist nun auch für n = 0 wahr und somit auch $ \forall  n \in  \mathbb N  $