\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[pdfa=true,colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,xetex]{hyperref}
\hypersetup{pdftitle={Заголовок},pdfauthor={Автор},pdfsubject={Тема},pdfkeywords={ключевые, слова}}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{microtype}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{xltxtra}
\usepackage{polyglossia}
\defaultfontfeatures{Mapping=tex-text}
\setromanfont{Charis SIL}
\setmainfont{Charis SIL}
\setmainlanguage{russian}
\newfontfamily\cyrillicfont{Charis SIL}
% \setotherlanguage{greek}
% \newfontfamily\greekfont{}

\XeTeXinterchartokenstate=1
\XeTeXcharclass `\- 24
\XeTeXinterchartoks 24 0 = {\hskip\z@skip}
\XeTeXinterchartoks 0 24 = {\nobreak}
\frenchspacing
\righthyphenmin=2

\usepackage{caption}
\captionsetup{margin=.05\linewidth, font=small, labelfont=it, labelsep=period, figurewithin=none}

\usepackage{mathtext}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{verbatim,fancyvrb}
\usepackage{textcomp}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage{makecell}
\usepackage{multirow}
\usepackage{cite}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{setspace}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{color}
\usepackage{cancel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{listings}
%Орнаменты
% \usepackage{fourier-orns}

% \usepackage{graphicx}
% \graphicspath{{images/}}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{mindmap,trees}
\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{shadows}

\newtheorem{trm}{Теорема}
\newtheorem{deft}{Определение}
\renewcommand{\CancelColor}{\color{blue}}

\usepackage{enumitem}
\renewcommand{\alph}[1]{\asbuk{#1}}

\bigskip
\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\everymath{\displaystyle}
\setstretch{1.2}

\setcounter{tocdepth}{2}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}

\numberwithin{equation}{subsection}
\numberwithin{figure}{subsection}

\begin{document}
\begin{titlepage}
\begin{center}
\hrulefill\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm} \hrulefill \\

Уравнения математической физики\\{\large Ответы на билеты}\\

\hrulefill\hspace{0.2cm}

студент ***********\\[5cm] \small{*********** Государственный Технический Университет.}\\ \small{Кафедра "Механика и Анализ Конструкций и Процессов" }\\[5cm]

2011
\pagestyle{headings}
\pagestyle{fancy}
\rhead{\leafright~\arabic{page}~\leafleft}
\cfoot{}

% \begin{center}
% {\Large \line(1,0){150}~\aldineright~\line(1,0){150}}
% \end{center}
% \thispagestyle{empty}
\end{center}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\break
\subsection[Уравнения колебаний струны и стержня]{Уравнения малых поперечных колебаний струны и продольных колебаний стержня}

\begin{figure}[th]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
  \fill[color=blue!10!white] (3,-1.5) -- (3,0.5) -- (4,1.5) -- (4,-0.5) -- (3,-1.5);
  \fill[color=blue!10!white] (6,-1.5) -- (6,0.5) -- (7,1.5) -- (7,-0.5) -- (6,-1.5);

  \draw[color=red,thick] (4.5,-1.5) -- (4.5,0.5) -- (5.5,1.5) -- (5.5,-0.5) (5.5,-0.5) -- (4.5,-1.5);
  \draw[color=red,thick] (8.5,-1.5) -- (8.5,0.5) -- (9.5,1.5) -- (9.5,-0.5) -- (8.5,-1.5);
  \fill[color=red!20!white] (4.5,-1.5) -- (4.5,0.5) -- (5.5,1.5) -- (5.5,-0.5) -- (4.5,-1.5);
  \fill[color=red!20!white] (8.5,-1.5) -- (8.5,0.5) -- (9.5,1.5) -- (9.5,-0.5) -- (8.5,-1.5);

  \draw[thick,->] (-1,0) -- (14,0) coordinate (x axis) node[anchor=south] {x};
  \draw[color=blue!100,very thick] (0,-1.5) -- (12,-1.5) (0,0.5) -- (12,0.5) (1,1.5) -- (13,1.5);
  \draw[color=blue!100,dashed] (1,-0.5) -- (13,-0.5);
  \draw[color=blue!100,very thick] (0,0.5) -- (1,1.5) (3,0.5) -- (4,1.5) (6,0.5) -- (7,1.5) (12,0.5) -- (13,1.5) (12,-1.5) -- (13,-0.5);
  \draw[color=blue!100,dashed] (0,-1.5) -- (1,-0.5) (3,-1.5) -- (4,-0.5) (6,-1.5) -- (7,-0.5);
  \draw[color=blue!100,very thick] (0,-1.5) -- (0,0.5) (3,-1.5) -- (3,0.5) (6,-1.5) -- (6,0.5) (12,-1.5) -- (12,0.5) (13,-0.5) -- (13,1.5) ;
  \draw[color=blue!100,dashed] (1,-0.5) -- (1,1.5) (4,-0.5) -- (4,1.5) (7,-0.5) -- (7,1.5) ;
  \filldraw [black] (0.5,0) circle (2pt) node[anchor=south west] {$0$}  (3.5,0) circle (2pt) node[anchor=south west] {$x$}  (6.5,0) circle (2pt)   (12.5,0) circle (2pt) node[anchor=south west] {$l$}    (5,0) circle (2pt)  (9,0) circle (2pt) ;
  \draw[color=black] (9,0) -- (10, -2) node[anchor=west] {$x+dx+u(x+dx,t)$} (5,0) -- (4.5,2) node[anchor=east]{$x+u(x,t)$} (6.5,0) -- (9,2) node[anchor=west] {$x+dx$};
  \node at (3.8,1.2) [anchor=north] {$\pi_1$};
  \node at (6.8,1.2) [anchor=north] {$\pi_2$};
  \node at (5.2,1.3) [anchor=north] {$\pi'_1$};
  \node at (9.2,1.3) [anchor=north] {$\pi'_2$};
  \draw[color=red,very thick, ->] (3.5,0) -- (4.5,0) node[anchor=north east] {$\overrightarrow{P_1}$};
   \draw[color=red,very thick, ->] (6.5,0) -- (8.2,0) node[anchor=north east] {$\overrightarrow{P_2}$};
  \draw[color=black,] (3,-1.5) -- (3,-2.5) (4.5,-1.5) -- (4.5,-2.5);
  \draw[color=black, very thick,->] (3,-2.4) -- (4.5,-2.4);
  \node at (3.7,-2.4) [anchor=south] {$u(x,t)$};

  \draw[color=black,] (6,-1.5) -- (6,-2.5) (8.5,-1.5) -- (8.5,-2.5);
  \draw[color=black, very thick,->] (6,-2.4) -- (8.5,-2.4);
  \node at (7.3,-2.4) [anchor=south] {$u(x+dx,t)$};
\end{tikzpicture}
\caption{Продольные смещения сечений $x$ и $x+dx$ стержня в положения $x+u(x,t)$ и $x+dx+u(dx,t)$ в момент времени $t$.}
\label{fig:Sterg}
\end{center}
\end{figure}

Процесс колебаний стержня может быть описан одной функцией $u(x,t)$, представляющей собой смещение сечения в момент времени $t$, имеющего ординату $x$ в положении равновесия.

Выделим элемент стержня $dx$, заключенный между плоскостями $\pi_1$ и $\pi_2$ (рис. \ref{fig:Sterg}). Вычислим действующие на него упругие силы.

Относительное удлинение выделенного элемента в момент времени $t$ будет
\begin{equation}
\label{eq:Udlin}
\frac{[x+dx+u(x+dx,t)-x-u(x,t)]-dx}{dx} = u_x(x,t)
\end{equation}

В соответствии с законом Гука:
\begin{equation}
\label{eq:Guk}
P_1 = EFu_x(x,t),\;\;P_2 = EFu_x(x+dx,t),
\end{equation}
где $E$ -- модуль Юнга при растяжении, $F$ -- площадь поперечного сечения стержня.

Считая выделенный элемент материальной точкой (ввиду поступательного движения), применим к нему второй закон Ньютона:
\begin{equation}
\label{eq:NewtonSterg}
\rho F dx u_{tt} = EF[u_x(x+dx,t)-u_x(x,t)]+H(x,t)Fdx,
\end{equation}
где $H(x,t)$ -- плотность внешних объемных сил, действующих вдоль стержня, $\rho$ -- плотность материала стержня.

После деления на $\rho F dx$ будем иметь
\begin{equation}
\label{eq:EquatSterg}
\boxed{u_{tt} = a^2u_{xx} + f(x,t)},
\end{equation}
где $a^2=\frac{E}{\rho}$, $f(x,t) = \frac{H(x,t)}{\rho}$.

Уравнение (\ref{eq:EquatSterg}) называется уравнением продольных колебаний стержня.
\end{document}