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\begin{document}

Considero il polinomio a denominatore e ci applico Ruffini, dividendo rispetto a $x+\frac{1}{10}$:
\[
\begin{array}{c|c c c c|c}
 & 10 & 321 & 632 & 60+20k & 2k\\
-^1/_{10} & & -1 & -32 & -60 & -2k \\
\hline
 & 10 & 320 & 600 & 20k & 0 \\
\end{array}
\]
per cui:

\begin{align*}
& 10 x^4 + 321 x^3 + 632 x^2 + (60+20k)x + 2k = \\
&= \left (x + \frac{1}{10}\right)(10 x^3 + 320x^2 + 600x + 20k) = \\
&= (10x+1)(x^3 + 32x^2 + 60x + 2k)
\end{align*}

Di conseguenza:

\begin{align*}
& \frac{k(20x +2)} {10 x^4 + 321 x^3 + 632 x^2 + (60+20k)x + 2k} = \\
&= \frac{2k(10x+1)} {(10x+1)(x^3 + 32x^2 + 60x + 2k)} = \\
&= \frac{2k}{x^3 + 32x^2 + 60x + 2k}
\end{align*}

Per ricondurmi alla forma finale del tuo denominatore considero i termini di grado superiore al primo e raccolgo una $x$:
\[
x^3 + 32x^2 + 60x = x(x^2+32x+60)
\]

Il polinomio di secondo grado tra parentesi ha le radici:
\[
x_{1,2} = -16 \pm \sqrt{256-60} = -16 \pm \sqrt{196} = -16 \pm 14 = \left\{\begin{matrix}
-2 \\
-30
\end{matrix}\right.\]

dunque si scrive come:
\[
x^2+32x+60 = (x+2)(x+30)
\]

Arriviamo così a:
\[\frac{2k}{x^3 + 32x^2 + 60x + 2k} = \frac{2k}{x(x+2)(x+30) + 2k}\]
ovvero il risultato cercato.
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