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% Article on a4 with 10pt
\documentclass[a4paper,10pt]{article}



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\usepackage{color}
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\usepackage{lastpage}
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\usepackage{pstricks}
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\usepackage{tikz}


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\setlength{\headwidth}{18cm}
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\setlength{\textwidth}{18cm}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} % footline
\fancyhead[L]{Informationsübertragung\\ Übungsblatt 4}
\fancyhead[C]{}
\fancyhead[R]{Some guy -- XXXXXXX\\ Other guy -- XXXXXXX}
\fancyfoot[L]{WS2012/13}
\fancyfoot[C]{}
\fancyfoot[R]{\thepage~/~\pageref{LastPage}}

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\psset{unit=.5cm}

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%\makeatletter
%\renewcommand{\lastpage@fileswtest}[2]{}
%\makeatother



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\begin{document}
\begin{wraptable}{R}{5cm}
  \centering
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    $i$ & $NW_{i1}$ & $NW_{i2}$ & $NW_{i3}$ \\\hline\hline
    0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
    1 & 0 & 0 & 1 \\\hline
    2 & 0 & 1 & 0 \\\hline
    3 & 0 & 1 & 1 \\\hline
    4 & 1 & 0 & 0 \\\hline
    5 & 1 & 0 & 1 \\\hline
    6 & 1 & 1 & 0 \\\hline
    7 & 1 & 1 & 1 \\\hline
  \end{tabular}
  \caption{Liste der Codewortzeichen}
\end{wraptable}

\section*{Aufgabe 4.1 -- Gruppencode}
\subsection*{1. Nutzbits und Nutzworte}
Da ein binärer Gruppencode durch Linearkombination der $m$ Nutzbits des
Codeworts und der $m$ Generatorpolynome besteht, und im vorliegendem Fall $3$
Gerneratorpolynome verwendet werden folgt daraus direkt $m = 3$. Daraus ergibt
sich für die Anzahl der Nutzworte $n_w = 2^m = 2^3 = 8$.

\begin{wraptable}{L}{5cm}
  \centering
  \begin{tabular}{|c|c|}
    \hline
    $NW_i$ & $CW_i$ \\\hline\hline
    000 & 00000 \\\hline
    001 & 10111 \\\hline
    010 & 10010 \\\hline
    011 & 00101 \\\hline
    100 & 01100 \\\hline
    101 & 11011 \\\hline
    110 & 11110 \\\hline
    111 & 01001 \\\hline
  \end{tabular}
  \caption{Übersetzung der Codewortzeichen in nützliche Codeworte}
  \label{tab:NWtoCW}
\end{wraptable}


\subsection*{2. Gewichtsverteilung des Codes}
Die Gewichtsverteilung $A(w), w = 0,1,...,7$ des Codes berechnet sich zu
\[A(w) = \frac{w(CW_w)}{8}\]
\textbf{Anmerkung:}~Der Ausdruck \emph{Gewichtsverteilung} findet sich auf
keiner der Vorlesungsfolien.

\subsection*{3. Hamming-Distanz}
Aus Tabelle~\ref{tab:NWtoCW} lässt sich die Hamming-Distanz $h = 2$ als
kleinste Distanz zwischen 2~Codeworten leicht ablesen.

\begin{wraptable}{R}{4cm}
  \centering
  \renewcommand\arraystretch{1.3}% (MyValue=1.0 is for standard spacing)
  \begin{tabular}{|c|c|}
    \hline
    $w$ & $A(w)$ \\\hline\hline
    0 & $\frac{0}{8}$ \\\hline
    1 & $\frac{4}{8}$ \\\hline
    2 & $\frac{2}{8}$ \\\hline
    3 & $\frac{2}{8}$ \\\hline
    4 & $\frac{2}{8}$ \\\hline
    5 & $\frac{4}{8}$ \\\hline
    6 & $\frac{4}{8}$ \\\hline
    7 & $\frac{2}{8}$ \\\hline
  \end{tabular}
  \caption{Gewichtsverteilung der Codeworte}
\end{wraptable}


\subsection*{4. Nicht erkennbares Fehlermuster}
Das Fehlermuster $F_n = 01001$ macht es unmöglich, die Codeworte $01001$ und
$00000$ bzw. $10111$ und $11110$ bzw. $10010$ und $11011$ bzw. $00101$ und
$01100$ zu unterscheiden.

\subsection*{5. Modifizierte Generatorworte}
Damit sich die Nutzbits in den ersten drei Stellen der Nutzworte direkt
wiederfinden, müssen die Generatorworte die Bedingung erfüllen, dass für jede
der ersten drei Stellen genau 1 Bit aus einem der Generatorworte gesetzt ist.
Damit ergibt sich aus obiger Liste ${G_1}^* = 10010$, ${G_2}^* = 01001$ und
${G_3}^* = 00101$.





\section*{Aufgabe 4.2 -- Lineare, systematische Codes}
Gegeben ist ein linearer, systematischer Code $C$ mit $\overline{\eta} = 3$

\subsection*{1. Hammingdistanz und maximale Anzahl der sicher korrigierbaren Fehler}
Aus $\overline{\eta} = 3$ folgt direkt die Hammingdistanz $h = \overline{\eta}+1
= 4$. Daraus ergibt sich die maximale Anzahl der sicher korrigierbaren Fehler zu
$\eta = \frac{h-2}{2} = 1$.

\subsection*{2. Effizienz des Codes als Funktion der Anzahl der Prüfbits}
Die Effizienz des Codes ist gegeben durch $f_{eff}(k) = \frac{m}{n} =
\frac{m}{m+k} = \frac{1}{1 + \frac{k}{m}}$. Um die Effizienz möglichst hoch zu
halten muss nun also ein möglichst geringes $k$ gewählt werden. Allerdings darf
$k$ natürlich auch nicht zu gering (z.B. $k = 0$) gewählt werden, da sonst den
Anforderungen an Fehlererkennung und -korrektur nicht entgegen gekommen werden
kann.

\end{document}