\documentclass[a4paper,titlepage,10pt]{article}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{times}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{url}
\usepackage{rotating}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\usepackage{caption}
\usepackage{titlesec}
\titlelabel{\thetitle.\quad}
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelsep=space,justification=justified,singlelinecheck=off}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{makecell}


\begin{document}
\begin{table}[!htbp]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
\textbf{EAIiB} & \thead{1.\\ 2. } & \thead{Rok: \\ II} & \thead{Grupa: \\ 2} & \thead{Zespół: \\ 5} \\ \hline
 & \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Temat: } Wahadło fizyczne.} & \thead{nr ćwiczenia: \\ 1} \\ \hline
 \multicolumn{4}{|c|}{\thead{Data oddania: \\ 25.11.2015r.}} & \thead{Ocena: \\ } \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
\section{Cel ćwiczenia}
Celem ćwiczenia było zapoznanie się z ruchem drgającym wahadła fizycznego i wyznaczenie momentu bezwładności  brył sztywnych przez pomiar okresu drgań wahadła oraz na podstawie wymiarów geometrycznych.

\section{Układ pomiarowy}
\begin{itemize}
\item Statyw na którym zawiesiliśmy bryłę sztywną.
\item Pręt i pierścień.
\item Metalowy przymiar milimetrowy
\item Suwmiarka.
\item Waga elektroniczna.
\item Sekundomierz.
\end{itemize}

\section{Wykonanie ćwiczenia}
\begin{enumerate}
\item Zmierzyliśmy masę pręta i pierścienia.
\item Wyznaczyliśmy rozmiary pierścienia i uzupełniliśmy tabelki.
\item Umieściliśmy kolejno pręt i pierścień na statywie, wprowadziliśmy go w ruch drgający o amplitudzie nie przekraczającej trzech stopni i zmierzyliśmy czas kilkudziesięciu drgań, dziesięciokrotnie potworzyliśmy pomiar zarówno dla pręta jak i pierścienia. Wyniki zanotowaliśmy w tabelkach.
\end{enumerate}

\section{Wyniki pomiarów}
\begin{table}[!htbp]
\caption{Pomiar masy i długości}
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|} \hline
\multicolumn{3}{|c|}{Pręt} \\ \hline
 & wartość & niepewność \\ \hline
 m[g] & 658 & 1 \\ \hline
 l[mm] & 746 & 1 \\ \hline
 b[mm] & 97 & 1 \\ \hline
 a[mm] & 276 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
\quad
 \begin{tabular}[t]{|c|c|c|} \hline
\multicolumn{3}{|c|}{Pierścień} \\ \hline
 & wartość & niepewność \\ \hline
 m[g] & 1343 & 1 \\ \hline
 $D_{w}$[mm] & 262 & 1 \\ \hline
 $D_{z}[mm]$ & 290 & 1 \\ \hline
 $R_{z}[mm]$ & 131 & 1 \\ \hline
  $R_{w}[mm]$ & 146 & 1 \\ \hline
 e[mm] & 11 & 0,05 \\ \hline
 a[mm] &135 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}[!htbp]
\caption{Pomiar okresu drań}
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|} \hline
\multicolumn{4}{|c|}{Pręt} \\ \hline
Lp. & \thead{Liczba\\ okresów k}
          & \thead{Czas t[s]\\ dla k okresów} & Okres $T_{i}[s]$ \\ \hline
1 & 30 & 39.32 & 1.310 \\ \hline
2 & 30 & 39.16 & 1.305 \\ \hline
3 & 30 & 39.57 & 1.319 \\ \hline
4 & 30 & 38.91 & 1.297 \\ \hline
5 & 30 & 39.39 & 1.312 \\ \hline
6 & 30 & 39.16 & 1.304 \\ \hline
7 & 30 & 40.02 & 1.334 \\ \hline
8 & 30 & 39.27 & 1.309 \\ \hline
9 & 30 & 38.97 & 1.299 \\ \hline
10 & 30 & 39.44 & 1.314 \\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Wartość średnia okresu $1.3103$} \\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Niepewność  $u(t): 3.38 * 10^{-3}$} \\ \hline
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|} \hline
\multicolumn{4}{|c|}{Pierścień} \\ \hline
Lp. & \thead{Liczba\\ okresów k}
          & \thead{Czas t[s]\\ dla k okresów} & Okres $T_{i}[s]$ \\ \hline
1 & 30 & 30.68 & 1.023 \\ \hline
2 & 30 & 30.75 & 1.025 \\ \hline
3 & 30 & 30.87 & 1.029 \\ \hline
4 & 40 & 40.93 & 1.023 \\ \hline
5 & 40 & 40.81 & 1.020 \\ \hline
6 & 30 & 30.52 & 1.017 \\ \hline
7 & 30 & 31.02 & 1.034 \\ \hline
8 & 40 & 41.11 & 1.028 \\ \hline
9 & 40 & 40.57 & 1.014 \\ \hline
10 & 30 & 30.65 & 1.022 \\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Wartość średnia okresu $T: 1.0235$} \\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Niepewność  $u(t): 1.82 \cdot 10^{-3}$} \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\section{Opracowanie wyników pomiaru}


\paragraph{1. Moment bezwładności $I_{0}$ względem rzeczywistej osi obrotu}
\begin{equation}
T = 2 * \pi \sqrt{\frac{I_{0}}{mga}}
\end{equation}

Po przekształceniu:

\begin{equation}
I_{0} = \frac{m g a T^{2}}{4 * \pi^{2}}
\end{equation}

\noindent Gdzie:\newline
m - masa \newline
g - przyśpieszenie grawitacyjne \newline
a - odległość punktu zawieszenia od środka\newline
T - okres \newline

\paragraph{Dla pręta:}
\begin{equation*}
I_{0} = \frac{0,658 \cdot 9,81 \cdot 0,276 \cdot 1,717}{4 \cdot 3,14^{2}} = 7,76 \cdot 10^{-2} [kg \cdot m^2]
\end{equation*}

\paragraph{Dla pierścienia: }

\begin{equation*}
I_{0} = \frac{1,343 * 9,81 * 0,135 * 1,048}{4 * 3,14^{2}} = 4,72 \cdot 10^{-2} [kg \cdot m^2]
\end{equation*}

\paragraph{2.Moment bezwładności $I_{s}$ korzystając z twierdzenia Steinera}

\begin{equation}
I_{s} = I_{0} - m \cdot a^{2}
\end{equation}

\paragraph{Dla pręta}
\begin{equation*}
I_{s} = 7,76 \cdot 10^{-2} - 0,658 \cdot 0,276^{2} = 2,75 \cdot 10^{-2}
\end{equation*}

\paragraph{Dla pierścienia}
\begin{equation*}
I_{s} = 4,73 \cdot 10^{-2} - 0,658 \cdot 0,135^{2} = 2,28 \cdot 10^{-2}
\end{equation*}

\paragraph{3. Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy $I_{s}^{geom}$}
\paragraph{Dla pręta}
\begin{align*}
I_{s}^{geom} = \frac{1}{12} \cdot m \cdot l^2 = \frac{1}{12} \cdot 0,658 \cdot 0,746^{2} = 3,05 \cdot 10^{-2}
\end{align*}

\paragraph{Dla pierścienia}
\begin{equation*}
I_{s}^{geom}= \frac{1}{2} \cdot m \cdot (R_{z}^2 + R_{w}^2) = \frac{1}{2} \cdot 1,343 \cdot(0,145^2 + 0,131^2) = 2,58 \cdot 10^{-2}
\end{equation*}


\paragraph{4. Obliczanie niepewności pomiarowych}

\begin{equation}
u(T) = \sqrt{\frac{\sum (T_{i} - \bar{T})^ 2 }{n(n-1)}}
\end{equation}

\paragraph{Dla pręta}

\begin{equation*}
u(T) = 3,38 \cdot 10^{-3}
\end{equation*}

\paragraph{Dla pierścienia}
\begin{equation*}
u(T) = 1,82 \cdot 10^{-3}
\end{equation*}

\paragraph{5. Obliczanie niepewności złożonej momentu bezwładności $I_{0}$ oraz $I_{s}$}

\begin{equation}
u(I_{0}) = I_{0} \cdot \sqrt{\left(2\cdot \frac{u(T)}{T}\right)^2 + \left(\frac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\frac{u(a)}{a}\right)^2}
\end{equation}

\begin{equation}
u(I_{s}) = \sqrt{[u(I_{0})]^2 + [a^2 \cdot u(m)]^2 + [-2\cdot a \cdot m \cdot u(m)]^2}
\end{equation}


\paragraph{Dla pręta}
\begin{equation*}
u(I_{0}) = 4,405 \cdot 10^{-4}
\end{equation*}

\begin{equation*}
u(I_{s}) = 5,76 \cdot 10^{-4}
\end{equation*}
\paragraph{Dla pierścienia}

\begin{equation*}
u(I_{0}) = 3,90 \cdot 10^{-4}
\end{equation*}

\begin{equation*}
u(I_{s}) = 5.32 \cdot 10^{-4}
\end{equation*}

\paragraph{6.Obliczanie niepewności $u_{c}(I_{s}^{geom})$}
\begin{equation}
u(I_{s}^{geom}) = I_{s}^{geom} \cdot \sqrt{\left[\frac{u(m)}{m}\right]^2 + \left[2\frac{u(l)}{l}\right]^2}
\end{equation}
\paragraph{Dla pręta}
\begin{equation*}
u(I_{s}^{geom}) = 9,404 \cdot 10^{-5}
\end{equation*}
\paragraph{Dla pierścienia}
\begin{equation*}
u(I_{s}^{geom}) = 2.63 \cdot 10^{-4}
\end{equation*}
\paragraph{8. Porównywanie dokładności metod wyznaczania momentu bezwładności}
Wyniki $u(I_{s})$ oraz $u(I_{s}^{geom})$ są w dużym stopniu zbliżone.
\paragraph{8. Porównywanie dokładności metod wyznaczania momentu bezwładności}
\begin{equation}
z = \frac{|I_{s} - I_{s}^{geom}|}{\sqrt{u^2(I_{s}) + u^2(I_{s}^{geom})}}
\end{equation}
\paragraph{Dla pręta}
\begin{equation*}
z = 0,5219
\end{equation*}
\paragraph{Dla pierścienia}
\begin{equation*}
z = 0,51639
\end{equation*}


\begin{table}[!htbp]
\caption{Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pręta}
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|} \hline
 & \thead{$I_{0}$ wyznaczone \\ z okresu drań $[kg m^2]$ } & \thead{$I_{s}$ wyznaczone \\ z twierdzenia Steinera $[kg m^{2}]$ } & \thead{$I_{s}$ wyznaczone \\ z pomiarów geometrycznych $[kg m^2]$} \\ \hline
 Wartość & $7,76 \cdot 10^{-2}$& $2,75 \cdot 10^{-2}$ & $3,05 \cdot 10^{-2}$\\ \hline
 Niepewność & $4,405 \cdot 10^{-4}$ & $5,76 \cdot 10^{-4}$ & $9,404 \cdot 10^{-5}$ \\ \hline
\end{tabular}

\end{table}

\begin{table}[!htbp]
\caption{Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pierścienia}
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|} \hline
 & \thead{$I_{0}$ wyznaczone \\ z okresu drań $[kg m^2]$ } & \thead{$I_{s}$ wyznaczone \\ z twierdzenia Steinera $[kg m^{2}]$ } & \thead{$I_{s}$ wyznaczone \\ z pomiarów geometrycznych $[kg m^2]$} \\ \hline
 Wartość & $4,72 \cdot 10^{-4}$& $2,28 \cdot 10^{-2}$ & $2,58 \cdot 10^{-2}$ \\ \hline
 Niepewność & $5,76 \cdot 10^{-4}$ & $5,32 \cdot 10^{-4}$ & $2,63 \cdot 10^{-4}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}



\paragraph{9. Wnioski}

Wartości momentów bezwładności uzyskano za pomocą dwóch metod:
- pomiaru okresu drgań wahadła fizycznego, a następnie obliczenia momentu z odpowiedniego wzoru
- zmierzenia masy i wymiarów, a następnie obliczenia momentu ze wzoru.
Otrzymane wyniki  są porównywalne dla pomiarów otrzymanych na oba sposoby, jednak pomiary wykonywane pierwszą metodą są obarczone dodatkowo błędem systematycznym wynikającym z tłumienia drgań

\end{document}