f[θ_, r_, x_, h_] =
  1/2 x (r^2 ArcCos[(r - x Cot[θ])/r] + (x Cot[θ] - r) Sqrt[
        x Cot[θ] (2 r - x Cot[θ])]) - π r^2 h;

root[θ_?NumericQ, r_?NumericQ, h_?NumericQ] :=
 x /. FindRoot[f[θ, r, x, h], {x, 2}]

FindRoot[root[θ, 3.7, 2.6] - 10.7, {θ, 1}]

(*  {θ -> 1.24469}  *)

root[θ /. %, 3.7, 2.6] - 10.7

(*  3.55271*10^-15  *)

FindRoot[root[θ, 4, 2.2] - 10.7, {θ, 1}]

(*  {θ -> 1.25971}  *)

root[θ /. %, 4, 2.2] - 10.7

(*  -3.55271*10^-15  *)