三囚人問題

恩赦される人をP, 看守によって宣告される人をDとおく。
Pの確率分布とDの確率分布は独立ではなく、P->Dという依存関係が存在する(Dの内容がPの値に影響される)。
このような場合PとDの同時確率p(P=i, D=j)は、p(P=i)p(D=j|P=i)と表され、
Dの周辺分布p(D=j)は、Σ_{x=[A,B,C]}p(P=x)p(D=j|P=x)と表される。
以下p(P=A)=p(P=B)=p(P=C)=1/3とし、Aが恩赦であったとき看守がBと答える確率p(D=B|P=A)=1/2として議論する。
求めたいのは事後分布p(P=A|D=B)である。これは
p(P=A|D=B) = p(P=A, D=B)/p(D=B)
=p(P=A)*p(D=B|P=A)/p(D=B)
=(1/6) / p(D=B)
ここでp(D=B)だが、先ほどの議論より
p(D=B) = p(D=B|P=A)p(P=A) + p(D=B|P=B)p(P=B) + p(D=B|P=C)p(P=C)
	= 1/6 + 0 + 1*1/3
	= 1/2
(恩赦がBなら看守はBと言うはずがないので0、恩赦がCなら看守は（B,Cのうちから、という条件をAがお願いしているので）必ずBと答える。)
以上より求める確率は1/3である。
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ここで一つ問題が起こる。p(P=A)=p(P=B)=1/4, p(P=C)=1/2のとき同様の議論を行うとp(P=A|D=B)=1/5<P(P=A)となり、
看守に聞く前より確率が下がってしまう。
しかし「看守に聞くと確率が下がる」事象は簡単に起こり得る。試しにAが(異なる)看守に同じことを聞いたとする。10人に聞いて10人とも(適切な確率p(D=B|P=A)=1/2の下で)Bと答えたとするなら、いよいよAが助かる確率は絶望的になるであろうことは（直感的にも）理解できる。
（しかしA当人はいつか看守がCと答えてくれるのを望んで聞き続けるだろう）