\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage{russ}
\usepackage{tikz}                   % Для рисования мега-картинок прямо здесь
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{soul}
\usetikzlibrary{calc,intersections} % Читайте мануал в Bonus/Books on TeX/Pictures for TeX/PGF, а также
\title{Теория интеграла}


\begin{document}
\section*{Топологические пространства}

~$X$ - непустое множество.

\verb'Определение.' Система $\tau$ подмножеств множества ~$X$ называется топологическим, если выполнено:

1)$\emptyset$, $x\in\tau$

2)$\bigcup_{\alpha\in J} A_{\alpha}\in\tau,$ если $А_{\alpha}\in\tau\ \forall\alpha\in J$

3)$\bigcap_{k=1}^n A_k\in\tau,\ A_k\in\tau,\ k=\overline{1,m}$

Множество ($X,\tau$) называется топологическим пространством. Элементы из $\tau$ открытые множества. В метрическом пространстве любое подмножество открыто.

\verb'Определение.' Множество B $\subset X$ называется замкнутым, если $A=X\verb'\'B\in\tau$ открыто.

\verb'Определение.' Топологическое ($X,\tau$) пространство называется называется Хаусдорфовым или отделимым, если
$\forall x_1 , x_2\ \exists u_1,u_2\in\tau$ (открытые множества), со свойствами:

1)$x_1 \in u_1,\ x_2 \in u_2$

2)$u_1\cap u_2 =\emptyset$

Любое дискретное топологическое пространство является Хаусдорфовым.

Любое метрическое пространство является Хаусдорфовым.

\section*{Понятие предельной точки}

Пусть А$\subset$($X,\tau$), точка $x_0 \in X$ называется предельной точкой множества А, если любое открытое множество $U\in\tau$, $U\cap A=\emptyset$ и содержит точки отличные от $x_0$. Множество предельных точек $А'$. Множество $\bar{A}=A\cup A'$ - замыкание множества $A$.

\verb'Теорема.' Любое замыкание множества $A$ - замкнутое множество.

\verb'Определение.' Пусть ($X,\tau$) - топологическое пространство, $Y\subset X$. Рассмотрим $\tau_{y}=\{A\cap Y, A\in\tau\}$. $\tau_y$-топология на $Y$. А множество ($Y,\tau_y$) - топологическое подпространство пространства $X$.

\section*{Понятие непрерывного отображения}

\verb'Определение.' Отображение $f$ топологических пространств $f:(X_1,\tau_1)\to (X_2,\tau_2)$ называется непрерывным, если $f^{-1} (B)\in\tau_2\ \forall B\in\tau_2$ (Прообраз открытого множества есть открытое множество).

Если первое топологическое пространство дискретно, то любое отображение непрерывно.

Пусть ($X,\tau$) топологическое пространство. Множество $K\subset X$ называется компактным, если $\cup_{\alpha\in I }A_\alpha\supset K,\ A_\alpha\in\tau$ можно выделить конечное объединение $A_{\alpha_{1}}\cup\dots\cup A_{\alpha_{n}}\supset K$

\verb'Теорема Вейерштрасса.' Пусть $K$-компактное множество из топологического пространства, тогда $f:K\to \mathbb{R}$ обладает свойствами:
1)|$f$(x)|$\leqslant{C} \geqslant{0}\ \forall{x}\in{K}$
2)$\exists x_0\in{K}:f(x_0)=$inf$f(x),\ x\in{K}$
3)$f(x_1)=$sup$f(x),\ x\in{K}$

\section*{Направленности}

$(x,y)\in\mathbb{R}, x\prec{y}$. Свойства частично упорядоченного множество ($X,\prec$):
1)$x\prec{x}$

2)$x\prec{y},y\prec{x}\Rightarrow{x=y}$

3)$x\prec{y},y\prec{z}\Rightarrow{x\prec{y}}$

Частично упорядоченное множество $X$ называется направленным, если $\forall x_1,x_2\in{X}$ найдется $x_3$, что $x_1\prec{x_3}$ и $x_2\prec{x_3}$.

\verb'Определение.' Пусть $А$-направленное множество, ($X,\tau$)-топологическое пространство. Любое отображение $f:A\to{(X,\tau)}$ называется направленностью.

\verb'Определение.' Будем говорить, что направленность $f:A\to{(X,\tau)}$ имеет пределу точку $x_0$, если ($x_0\in{(X,\tau)}$) $\forall u_0\in\tau ,x_0\in{u_0} \ \exists{a_0\in{A}}\ f(a)\in{u_0}\ \forall{a\succ{a_0}}$

\verb'Теорема.' Пусть ($X,\tau$) Хаусдорфово топологическое пространство, тогда каждая направленность $f:A\to{(X,\tau)}$ имеет единственный предел.


\section*{Теория интеграла}

$[x_i,x_{i+1}]-$отрезок, $m_i=inf, M_i=sup$

$s_n=\sum_{i=1}^{n} m_i \triangle{x_i}$-нижняя сумма.

$S_n=\sum_{i=1}^{n} M_i \triangle{x_i}$-верхняя сумма.

$s_n\leq{S_n}$
Если предел верхней и нижней сумм Дарбу совпадает, то функция называется интегрируемой по Риману
$$\int_{a}^b |F(x)|dx=\|f\|.$$


\section*{Теория измерения}

$X$-непустое абстрактное множество. $\mathcal{F}$-система подмножеств множеств из $X$, обладающее свойствами:

1)$\emptyset,x\in\mathcal{F}$

2)$\bigcup_{i=1}A_i\in\mathcal{F},\ \forall{A_i\in\mathcal{F}}$

3)$X\verb'\'A\in\mathcal{F},\ \forall{A\in{\mathcal{F}_n}}$

$(X,\mathcal{F})$-измеримое пространство. Из свойств 2 и 3 $\Rightarrow\ \bigcap_{i=1}A_i\in\mathcal{F}$.

$X\verb'\'(\bigcup_{i=1}A_i)$-пересечение дополнений равных $\bigcup_{i=1}(X\verb'\'A_i)$.

Подмножество из $X$, которое входит в $\mathcal{F}$ называется измеримым.
$\mu:\mathcal{F}\to\mathbb{R}_{+}=[0;\infty)$ называется мерой, если выполняются следующие свойства:

1)$\mu(\varepsilon)\geq{0}\ \forall\varepsilon\in\mathcal{F}$

2)$\mu(\bigcup_{i\geq{1}})=\sum_{i\geq{1}}\mu(\varepsilon_i)$

$\mathcal{F}$ образует $\sigma$-алгебру.

($X,\mathcal{F},\mu$)-пространство с мерой, $\mu(\varepsilon_1)\leq\mu(\varepsilon_2),$ если $\varepsilon_1 <\varepsilon_2$

\verb'Теорема.' Любое открытое множество $A=\bigcup_{i=1}(a_i,b_i)\in\mathcal{F}$ можно представить в виде конечного или бесконечного интеграла.
$\mu(A)=\sum_{i=1}(b_i - a_i)$,

$(\mathbb{R},\mathcal{F},\mu)$, $\tau < \mathcal{F}$, $\mu^{*}(A)=\inf_{G\in\tau}\mu(G)\ G\supset{A}$

Следовательно верхняя мера одноточечных множеств равно 0.

Пусть $A\subset_{[a,b]}$, $\mu_* (A)=b-a-\mu{([a,b])}$

$\mu_{*}(A)\leq\mu^*(A)$

Подмножества $A$ из [$a,b$] называется измеримым по Лебегу, если нижняя и верхняя меры этого множества совпадают и обозначается $\mu(A)$ и называется мерой Лебега множества $A$.

Множество $A$ из прямых называется измеримым по Лебегу, если $A_n=A\cap{[-n;n]}$.

$\mu(A)=\lim_{n\to \infty} \mu(A_{n})$
Тройка $(\mathbb{R}, \mathbb{F}, \mu)$, где $\mathbb{F}$ - измеримые по Лебегу множества прямой, называется \emph{пространством с мерой Лебега}: $\mu \colon F\to \mathbb{R}$.
Множество рациональных чисел измеримо по Лебегу.

\textbf{Определение.} Функция $\ f:\mathbf{E}\rightarrow \mathbb{R}$ называется \emph{простой}, если множество $\mathbf{E}$ можно представить в виде конечного или счетного объединения и взаимно не пересекающихся $E_{i} \bigcap E_{j} = \varnothing$ $i \neq j$ и функция $f$ принимает постоянное значение из $E_{k}$:$\ f(x)=a_{k},x\in E\_{k}$
Если объединение конечно, то функция называется \emph{ступенчатой}.

Если $X=\mathbb{R}$ в (X,F,M), то примером ступенчатой функции является функция Дирихле.
\begin{equation*}
 f(x)  =
 \begin{cases}
   1 &\text{$x\in E_{1}$}\\
   0 &\text{$x\in E_{2}$}
 \end{cases}
\end{equation*}

\textbf{Определение.} Пусть $f: E \rightarrow R$ простая функция $\{E_{k},a_{k}, k\geq1\}$, то интегралом этой функции является $\int\limits_E f(x)d\mu(E)=\sum\limits_{k\geq1} a_k\cdot \mu(E_{k})$
\textbf{Определение.} Простая функция $f\colon E\to R$ называется \emph{абсолютно интегрируемой}, если $\sum\limits_{k\geq1} \mid a_k\mid \cdot \mu(E_{k}) < \infty $ и для такой функции интеграл $\int\limits_E f(x)d\mu(x)=\sum\limits_{k\geq1} a_k\cdot \mu(E_{k})$. Если $\mu$ - мера Лебега, то $\int\limits_E f(x)dx$. Если $f$ - функция Дирихле, $D\colon [0,1]\to R$, то $\int\limits_{[0,1]=E} D(x)dx = 1\mu(E_{1}) + 0\mu(E_{2}) = 0$

Можно доказать, что множество простых функций образует линейное пространство. линейное пространство является множеством абсолютно интегрируемых простых функций.
\section*{Свойства интеграла от простых функций}
\textbf{Теорема.} Множество $L_{1} (E, \mu)$ абсолютно интегрируемых функций образует линейное пространство.
Свойства интеграла от простых функций.
  \begin{enumerate}
    \item $\int\limits_E (f(x)+g(x))d\mu(x)=\int\limits_E f(x)d\mu(x) + \int\limits_E g(x)d\mu(x)$;
    \item $ \int\limits_E \alpha f(x)d\mu(x) = \alpha \int\limits_E f(x)d\mu(x) $
    \item $ |\int\limits_E f(x)d\mu(x)| \leq \int\limits_E |f(x)|d\mu(x)$, $|f(x)|$ - простая функция.
  \end{enumerate}

\textbf{Определение 1.} Функция $f\colon E\to \mathbb{R}$ называется \emph{измеримой}, если она является равномерным пределом последовательности функций, т. е. $f_{n}\colon E\to \mathbb{R}$ со свойствами $ \sup_{x \in E}|f(x)-f_{n}(x)|\rightarrow 0 $ при $ n\rightarrow \infty $.

\textbf{Определение 2.} Функция $f\colon E\to \mathbb{R}$ называется \emph{измеримой}, если прообраз $f^{-1}(a)$ любого борелевского подмножества $A$ из $\mathbb{R}$ является измеримым множеством.

\textbf{Теорема.} Пусть функция $f\colon E\to \mathbb{R}$ измерима в смысле определения $(2)$. Тогда она измерима в смысле определения $(1)$.

Можно доказать, что любая интегрируемая по Риману функция является измеримой.

$\big(X, F, \mu_{a}\big)$. Согласно определению $\big(2\big)$ любое множество является измеримым.

Функция  $f : \Omega \rightarrow R$ определенная на пространстве случайных величин$\big( \Omega , U, R\big)$.

Любая измеримая функция, определенная на пространстве случайных событий, называется случайной величиной

$X: \Omega \rightarrow R$, $F:R \rightarrow R$; $F \big(x\big) = P \big(X < x\big) = R \big( X^{-1} \big(- \infty , x\big) \big) \big( X^{-1} \big(- \infty , x\big) \big) \in U$

случайная функция - измеримая функция \\
$f \rightarrow  \int_{E} f \big(x\big)  d \mu  \big(x\big)$ линейная функция \\
Если функция f простая, то $ \sum  a_{k} \mu   \big(E_{k}\big) $  - бесконечна

Измеримость функции f влечёт измеримость $\varphi_{+} \varphi_{-}$

Пусть$ g:E->R_{+}$ произвольная измеримая функция , тогда она является пределом последовательности функции и $\int\limits_E g(x)d \mu (x)=\lim\limits_{n->\infty}\int\limits_E g_{n}(x)d\mu(x)$
Ввиду этих свойств для простых функций эти свойства имеют место для интеграла произвольной неотрицательной функции

\textbf{Определение.}Если f произвольный интеграл от $f_{+}$ $f_{-}$ конечен то $\int\limits_E (f(x)d \mu (x))=\int\limits_E (f_{+}(x)d \mu (x))-\int\limits_E (f_{-}(x)d \mu (x))$ Все свойства интеграла переносятся на свойства интеграла от произвольной функции, где $f_{+}$ или $f_{-}$ - конечен

\textbf{Теорема.}Множество суммируемых функций образует линейное пространство и имеет место следующее свойство  интеграла :
1)$\int\limits_E ((f(x)+g(x))d \mu (x))$ = $\int\limits_E(f(x)d \mu (x)) +\int\limits_E (g(x)d \mu (x)) $
2)$\int\limits_E ((f(x))d \mu (x))=d\int\limits_E ((f(x)) \mu (x))$
3)$|\int\limits_E (f(x)d \mu (x))|=\leq\int\limits_E |(f(x)|d \mu (x))$
4)Аддитивность интеграла по области определения.

\textbf{Теорема.}Пусть $(R,F,\mu)$ пространство с мерой Лебега и Е=[a,b],f:[a,b]->R интегрируемая по Риману функция, тогда функция f измерима и $\int\limits_a^b (f(x)d(x))=\int\limits_E (f(x)d \mu (x))$
Функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу.

 Фактор-пространство $z/z_{0}$ - элементами являются все классы эквивалентности $\tilde{f}+\tilde{g}=\tilde{f+g}$

 Норма класса $||\tilde{f}|| =\int\limits_E (f(x)d \mu (x)) $ Не зависит от выбора представителя класса.
 Если $||\tilde{f}||$ =0, то функция f(x) попадает в нулевой класс.

\section*{Теорема Лебега.} Нормированое пространство L(E,M) является полным или Банаховым.Вводится $\alpha_{p} , 1\leq p \leq \infty$
  $||\tilde{f}|| =(\int\limits_E |(f(x)d|^p \mu (x)))^{1/p}=0 $ - Это пространство Банахово.
  Если р=2, то оно Гильбертово $\alpha_{2}$
  $(f,g)=_{\Omega}\int\limits_E (f(x)d \mu (x)) $
 В комплексном случае $f(x)=_{\Omega}\int\limits_E (f(x)\bar{g(x)}d \mu (x))$

 \textbf{Пример неизмеримого множества.} Будем строить пример неизмеримого множества на полуинтервале $[0,2{\pi})$
 $R_{2{\pi}}$-множество точек на окружности.
 $Q_{2{\pi}}$-множество рациональных точек на окружности.
 $\varphi/2\pi = p/q,  p,q\in \mathbb{Z}$
 $Q_{2{\pi}}$ подгруппа $R_{2{\pi}}$.
 Введём на $R_{2{\pi}}$ отношение эквивалентности $\varphi~\psi<=>\varphi-\psi Q_{2{\pi}}$  проверить на отношение эквивалентности $[\phi]={\phi+p/q:p,q\in \mathbb{Z}}$
 $Q_{2{\pi}}$- счётное.
 Определим не суммируемое множество Е содержащее элементы из $Q_{2{\pi}}$.
 Будем рассматривать p/q + E.
 1.$\bigcup\limits_{p/q\in Q_{2{\pi}}}(p/q+E)= R_{2{\pi}}$

 2.Покажем, что $(p/q + E)\bigcap(p_{1}/q_{1}+E)={\o}$ (Любые повороты на различные угла не пересекаются)

 3.Поворотов счётное множество
 Если бы множество Е-было измеримо , то $\mu(p/q+E)=\mu(E)$-измеримо
 1) $\mu(E)=0 $
 2) $2\pi\geq\mu(E)>0$
 Покажем, что приводит к противоречию
 Из (1) следует, что $m=\mu(R_{2{\pi}})=\mu(\bigcup\limits_{p/q\in Q_{2{\pi}}}(p/q+E))=\sum\limits_{p/q\in Q_{2{\pi}}}\mu(p/q+E)=\sum\limits_{p/q\in Q_{2{\pi}}}\mu(E)=0$, что не возможно => противоречие.
\end{document}