\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsthm, amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{epigraph}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{icomma}
\usepackage{graphics}


\pagestyle{empty}

\usepackage[margin=3em]{geometry}

\newcommand{\eqdef}{\stackrel{\text{def}}{=}}
\newcommand{\iseq}{\stackrel{\text{?}}{=}}
\renewcommand{\baselinestretch}{0.90}

\newcounter{prob}
\setcounter{prob}{1}

%\def\arg#1{\text{arg}(#1)}
\def\vol#1{\text{vol }#1}
\def\prob#1{~\\{\textbf{Задача #1. }}}
\def\q#1.{{\bf #1.}}

\newcommand{\zad}{\textbf{\arabic{prob}. }
\addtocounter{prob}{1}}


\begin{document}

\begin{center}
\textbf{\Large Кружок в ТФТЛ}\\
\textit{Игры.}\\
\textit{04.06.16}
\end{center}

Если в задаче ничего не спрашивается, то ответьте, какой игрок может всегда выигрывать, как бы ни играл другой. Играют всегда двое (Петя и Вася), ходят по очереди. Проигрывает (если про это ничего не сказано) тот, кто не может сделать ход.

\begin{enumerate}

\item
а) На плоскости расположен квадрат, и невидимыми чернилами нанесена точка. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он говорит, по какую сторону от этой прямой лежит невидимая точка. Какое наименьшее число прямых необходимо провести, чтобы гарантированно узнать, лежит ли невидимая точка внутри квадрата?

б) Конечно ли число стратегий, приводящих к наименьшему возможному числу шагов в первом пункте?

\item
На доске записаны числа от 1 до $n$ включительно. За свой ход игрок стирает любое число и все его нестёртые делители.

\item
Есть кучка из 10 спичек. За ход разрешается взять ровно 3 или ровно 5 спичек. Кто не может сделать ход – платит другому столько крон, сколько спичек осталось в кучке.

а) Кто выиграет и сколько крон он получит при наилучшей игре сторон?

b) Тот же вопрос для 20 спичек.

\item
Игроки по очереди ставят круглые тарелки на прямоугольный стол, так, чтобы они не падали и не перекрывались.



\item
Есть несколько кучек камней. За ход игрок берёт любое (но не 0) число камней из любой кучи. Кучи имеют размер

а) 20 и n

б) 1, m и n

в) А если проигрывает тот, кто берёт последний камень?


\item
а) Два игрока по очереди ставят свой символ (крестик и нолик соответственно) в клетки бесконечной клетчатой плоскости. Выигрывает игрок, после хода которого существуют 5 его символов в ряд по горизонтали, диагонали или вертикали. Есть ли у второго игрока выигрышная стратегия?

б) Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия, если выигрывает игрок, построивший ряд из 4 символов.

в) Выигрывает игрок, поставивший 5 своих символов в ряд по горизонтали или вертикали. Докажите, что при правильной игре второй игрок не проиграет.

\item
Из квадратной доски $1000\times{}1000$ клеток удалены четыре прямоугольника $2*994$ (см. рис. на доске).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?







\end{enumerate}



\end{document}