TS Examen

Curs 6 - locul radacinilor
o reprezentare grafica a radacinilor ecuatiei caracteristice a sistemului inchis, atunci cand o parametru de sistem variaza de la 0 la infinit.
functie de transfer a sistemului deschis e produsul tuturor functiilor de transfer din bucla.
polii sistemului deschis nu depind de k
functia de transfer a sistemului inchis -> polii sist. inchis o sa depinda de k.
ecuatia caracteristica a sistemului inchis: 1 + kG(s)H(s) = 0 (deci 1 + sistemul deschis)
s poate sa ia valori complexe si obtine kG(s)H(s) = -1
daca sunt egale atunci numarul din stanga are aceiasi faza si acelasi modul ca -1.
conditia de modul : |kG(s)H(s)| = 1
conditia de faza : faza din sistemul deschis egal cu faza lui -1.
daca un nr. complex s este pol a sistemului inchis, atuci acel nr. complex trebuie sa respecte si conditia de faza si conditia de modul.

kG(s) = k/(s(s+2))
ecuatia s^2 + 2s + k = 0
s1,2 = -1 +/- sqrt(1-k), radacini reale pt k<=1 si complexe pentru k>1.
pentru k = 0, polii sist inchi = polii sist deschis. (0 si -2)
k creste in intervalul (0,1), polii se misca unul spre altul, k=1 => polii se intalnesc la -1. k creste peste valoarea lui 1, polii complecsi se misca de-a lungul unei linii verticale.

daca un nr s se afla pe locul radacinilor, adica este pol a sistemului inchis, atunci el respecta conditia de faza, adica <k - <s - <(s+2) =
k e nr real si pozitiv, pe axa reala, are faza 0
=> 0 - theta1 - theta2 = -180

un sistem cu reactia negativa G(s) = k/(s(s+1)(s+2)) -> ec carac a sistemului deschis
ec caracteristica a sistemului deschis e 1 + kG(s) = 0
polii sistemului deschis : 0, -1, -2 (np = 3) (nz = 0)
pun x in -0 -1 si -2.
cati poli are sistemul inchis, atatea ramuri are (o rama e o traiectorie) (numarul de poli ai sistemului inchis este egal cu numarul de poli ai sistemului inchis).
pe axa reala, numarul radacinilor se afla la stanga unui numar impar de poli si zerouri. (daca erau cercuri le numaram si pe ele, doar cele de pe axa reala). locul radacinilor incepe intr-un pol a unui sistem inchis si se termina la un zerou, sau la infinit. (se termina -> k tinde la infinit)
se ciocnesc in punctul de desprindere de pe axa reala (nu neaparat la jumatate) si locul radacinilor pleaca spre planul complex.
locul radacinilor e simetric fata de axa reala.
centrul asimptotelor sigma_a e (suma din polii sist deschis  - suma zerouri) / (np - nz)
unghiurile formate cu axa reala sunt (2q+1)/(np-nz)*180

il obtin pe k din conditia de modul si iese 0.38
cand k = 0, polii sist inchis sunt egali cu polli sist deschis, k intre 0 si 0.38, polii se misca in sensul sagetilor, doi se misca unul spre altul, polii sunt reali si negativi, sistemul inchis e supraamortizat si nu oscileaza, cand k = 0.38 doi poli sunt reali si egali egali cu punctul de desprindere, e critic amortizat pentru ca e la limita de subamortizare, cand k creste intre 0.38 si 6 -> sistemul inchis are 3 poli, 2 complecsi dar raspunsul e subamortizar, adica oscileaza, cand k = 6 sistemul e la limita de stabilitate din cauza polilor complecsi pe axa imaginara, cand k creste de 6 sistemul e instabil si oscilatiile tot cresc spre infinit.

unde se afla polii complecsi care au factorul de amortizare de 0.5 ?
putem calcula unghiul la care se afla localizati polii, adica arccos(zeta) = 60 de grade
ca urmare din origine trag o linia la 60 de grade si evident si simetrica ei, si unde se intersecteaza linia cu locul radacinilor acolo obtin polul s1 si conjugatul lui care au factorul de amortizare de 0.5.

se introduce functia de transfer a sistemului deschis fara k
sys = tf(1, [1 3 2 0])
sau alta posibilitate daca stiu exact polii si zerourile sistemului deschis pot sa zic
sys = zpk([], [0 -1 -2], 1) (ultimul parametru e factorul de amplificare)
rlocus(sys) (in orice forma l-as fi introdus)
rltool(sys) e mai dinamica
punctele roz sunt polii sistemului inchis. daca vreau sa vad valoarea lui k, in stanga este un C (ii zice controller)  si valoarea de jos value este rezultatul.

regulatoare folosind locul radacinilor
functia de transfer Gc(s) se leaga in serie cu un proces G(s) pentru a obtine o functie de transfer.

elemente cu avans de faza, zeroul e mai aproape de origine decat polul (faza e mereu pozitiva in diagrama Bode)
Gc(s) = k(s+z) / (s+p)
modifica regimul tranzitoriu al sistemului inchis (stabilitate, suprareglaj, timp de raspuns, timp de crestere)

elemente cu intarziere de faza, polul e mai aproape de origine decat zeroul, diagrama bode este cu faza tot timpul negativa. (modific eroarea stationara a sistemului inchis).

doi poli pe axa imaginara -> oscilatii intretinute.

regulatorul scade eroarea stationara si pastreaza forma semnalului.
numarul de poli in origine (N) poate sa fie 0 sau pozitiv si se numeste tipul sistemului. asta influenteaza eroarea stationara. sistemele instabile nu au eroare stationara ca nu au regim stationar.
teorema valorii finale inlocuieste limita din t->inf in s-> 0
ess = lim(s->0) s(R(s)-C(s)). iesirea C este intrarea * functia de transfer a intregului sistem ca are functia de transfer

ess = lim(s->0) sR(s)/(1+G(s))
intarea e treapta se reduce s cu 1/s si => ess = 1 / (1 + G(0))
constata erorii stationare la pozitie Kp = lim(s->0) G(s)
daca avem un sistem de tipul 0, fara poli in origine, atunci Kp este constant -> ess e constant
daca nr. de poli din origine e mai mare sau egal de 1 -> Kp = inf -> ess = 0

daca intrarea e rampa atunci eroarea stationara e 1/s * 1(1 + G(s)) un s in suma il fac 0 datorita limitei si -> lim(s->0) 1/(sG(s)) = 1/Kv
constanta erorii stationare la viteza (ii pun o rampa la intrare)
Kv = lim(s->0) sG(s)
daca am un sistem fara poli in origine => Kv = 0 => ess = inf
daca N = 1, am un pol in origine => Kv = const si ess = const
pentru N>=2, Kv = inf si ess = 0.

compensarea erorii stationare -> regulator cu intarziere de faza -> polul e mai apropriat de origine decat zeroul.
daca eu vreau sa pastrez carac. rasp. tranzitoriu ar insemna ca as pastra polii dominanti in aceiasi pozitie (aproximativ). daca r1 si r2 (polii dominanti ai sistemului intial, necompensat) (inainte sa adaug regulatorul). r1 si r2 satisfac conditia de faza

perioada de esantionare (teorema lui shannon)
o functie f(t) cu latimea de banda wb, atunci trebuie aleasa pulsatia de esantionare de 2 ori latimea de banda. (ws = 2wb) (pulsatia Nyquist)

convert numeric-analogic = element de retinere de ordinul 0 (ZOH)
primeste un impuls si scoate la iesire un semnal treapta care dureaza numai o perioada de esantionare.
calculam functia de transfer a ZOH, laplace a semnalului de intrare dirac este 1 si al semnalului de iesire 1(t) - 1(t-T) este 1/s - 1/s e^(-sT)
1(t) e o simbolizare ca e o treapta de 1, un semnal constant egal cu 1
1(t-T) e o treapta intarziata.
transformata in z : dirac => 1
                    dirac(t-kT) => z^(-k)
                    u(t) = 1 => z/(z-1)
                    t => Tz / (z-1)^2
                    e^(-at) => z/(z-e^(-aT))
                    x(t+T) => zX(z) - zX(0)

transform functia de transfer din s in z (ca sa ajung la ecuatia cu diferente) (3 metode)
am o functie de transfer pt un sistem liniar continuu G(s) si daca semnalul e esantionat, atunci trebuie sa-i pun inainte un element de retinere (ZOH). cand transform in z transform tot produsul, functia de transfer a elementului de retinere de ordinul 0 este (1-e^(-sT))/s
=> G(z) = (1-z^(-1)) * Z{G(s)/s}

a doua metoda e o aproximare a lui s, dar nu e cea mai buna aproximare; inmultirea cu s cu laplace inseamna derivare in timp si derivata unui functii e la un moment k (in raport cu timpul) (k perioada de esantionare) o pot aproxima cu (e_k - e_(k-1)) / T
in domeniul z => E(z) (1-z^(-1))/T

raspunsul la treapta,  la ZOH capetele sunt pe linia albastra, a semnalului continuu, deci e o aproximare exacta.
invers: am transformata in z a unui semnal, am 2 posibilitati
se imparte polinomul de la numarator cu cel de la numitor
obtinem x(0), x(T), x(T) -> valorile discrete ale semnalului la fiecare sistem de esantionare.

metoda ecuatiilor cu diferente.

impart numaratorul si numitorul din functia de transfer cu z la puterea cea mai mare
G(z) = Y(z) / X(z)
dupa inmultesc mezii cu extremii si se extrage Y(z), doar 1 Y(z) e in membrul stang si toti ceilalti membri merg in membrul drept. se desfac parantezele. se aplica transformata in Z inversa cand o functie e intarziata cu o perioada de transformare se aplica un z^(-1) numai ca zici fac invers
unde am z^(-1) scriu kT minus o perioada de esantionare deci (k-1)T s.a.m.d
ca si notatie se pun indicii jos => y(kT) = yk si obtin o ecuatie de diferente (care da valoarea iesirii y la fiecare moment de esantionare k in functie de valorile anterior calculate ale iesirilor, valoarea curenta a intrarii x si valorile anterioare ale intrarii.

legatura intre variabila z de la transformata laplace si z de la transformata in z este ca z = e^(sT), T e perioada (timpul) de esantionare discret.
se scrie s sub forma algebrica (sigma + j omega)
se imparte in doua, un numar complex cu modulul e^(sigmaT) si faza wT
toate numerele complexe care sa afla in planul s pe axa imaginara se duc in planul z in toate numerele care au modulul 1, deci toata axa imaginara in planul s se muta in planul z in circumferinta cercului cu raza 1. pentru ca s = 0 si e^0 = 1.
si daca avem numere complexe cu o partea reala sigma2 constanta pozitiva, atunci aceste numere se muta in z astfel : e^(sigma2 t) > 1 (pentru ca exponentul de la e e mai mare ca 0). dci se muta in planul complex intr-un cerc cu raza sigma2*t (constanta > 1) si analog daca sigma1 < 0 atunci e^(sigma1 * t) < 1 pentru ca daca exponentul lui e este negativ e^(ceva negativ) e subunitar deci cercul va avea raza sigma1 * t < 1.

mai general: faza este wT si modulul este e^(sigmaT).
daca avem o parte imaginara constanta in planul s (omega 1), argumentul sau faza este omegaT. deci daca e o linie orizontala in planul s se muta pe o linie care pleaca din origine cu aceiasi faza.

sistemul e stabil daca si numai daca toti polii sistemului (in s) sunt localizati in semiplanul stang al planului complex.
partea reala influenteaza numai modulul lui z, deci daca sigma e negativ atunci modulul variaza intre 0 si 1.
criteriul de stabilitate : toate numerele care-s localizate in semiplanul stang al planului complex se transfera in interiorul cercului unitate.

pentru G(z) trebuie sa calculam polii si sa vedem daca au toti modulul mai mic sau egal decat 1. criterul Ruuth-Hurvitz nu e valabil aici.

regulator PID
intr-un sistem de reglare automata, daca am un regulator, intrarea in regulator e un semnal de eroare si iese o comanda care merge spre proces. semnalul de eroare se calculeaza ca o referinta - semnalul rezultat. daca semnalul de eroare poate fi obtinut, regulatorul PID face urmatoarele operatii : ia semnalul de eroare, il inmulteste cu o constanta Kp (termenul proportional), mai are un termen proportional cu integrala erorii (termenul integrator este de fapt proportional cu eroarea acumulata pan acum de la timpul 0 sa pana acum, la T, poate sa fie si pozitiva si negativa). termenul derivator, derivata erorii se inmulteste cu o constanta Kd.
aria de sub curba rosie o pot aproxima ca suma ariilor dreptunghiurilor. trebuie sa inmultesc o latura, o perioada de esantionare cu valoarea erorii la fiecare perioada.

algoritmul PID ideal in domeniul s: U(s)/E(s) = Kp + Ki/s + Kd s
inlocuiesc s = (1-z^(-1))/T => U(z)/E(z) = Kp + KiT/(1-z^(-1)) + Kd*(1-z^(-1))/T
perioada de esantionare nu e triviala (trebuie aleasa suficient de mica sa nu pierdem informatii despre sistem)

Sistem intern stabil -> daca toate val. proprii ale matricei A sunt localizate in semiplanul stang al semiplanului complex (ori negative ori complex conjugate cu parte reala negativa). la limita de stabilitate daca are valori proprii pe axa imaginara si care nu sunt multiple (nu pot avea 2 poli in 0).

polii functiei de transfer -> stabilitate externa