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Programme Maths Spé

a guest Mar 25th, 2019 71 in 3 days
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  1. EffÉcran
  2.  
  3. Lbl 0
  4. Menu("     MATHS SPÉCIALITÉ     ","Opérations multiples",1,"Compatibilité congruence",2,"Théorème de Bézout",3,"Théorème de Gauss",4,"Infinité premiers",5,"QUITTER",Q)
  5.  
  6. Lbl Q
  7. Stop
  8.  
  9. Lbl 1
  10. Disp "Si a divise b et c alors a"
  11. Disp "divise b+c, b-c ou toute  "
  12. Disp "combinaison linéaire de b "
  13. Disp "et de c."
  14. Pause
  15. EffÉcran
  16. Disp "On a b=ka et c=k'a donc   "
  17. Disp "b+c=(k+k')a ; b-c=(k-k')a "
  18. Disp "et αb+βc=(αk+βk')a donc   "
  19. Disp "a divise toute combinaison"
  20. Disp "linéaire de b et c        "
  21. Pause
  22. Goto 0
  23.  
  24. Lbl 2
  25. Disp "Soient aŜb[n] et cŜd[n]   "
  26. Disp "On a : a+cŜb+d[n]         "
  27. Disp "acŜbd[n] et a^kŜb^k[n]    "
  28. Pause
  29. EffÉcran
  30. Disp "         ADDITION         "
  31. Disp "(a-b) et (c-d) sont des   "
  32. Disp "multiples de n donc on a :"
  33. Disp "a-b = kn et c-d=k'n       "
  34. Disp "donc a-b+c-d=(k+k')n      "
  35. Disp "donc (a-b)+(c-d) est mult-"
  36. Disp "iple de n donc on a :     "
  37. Disp "a+cŜb+d[n]                "
  38. Pause
  39. EffÉcran
  40. Disp "      MULTIPLICATION      "
  41. Disp "On a : a=b+kn et c=d+kn'  "
  42. Disp "donc ac=(b+kn)(d+k'n) =   "
  43. Disp "bd+bk'n+dkn+n²kk' =       "
  44. Disp "bd+n(bk'+dk+nkk') donc    "
  45. Disp "ac-bd=n(bk'+dk+nkk')entier"
  46. Disp "donc (ac-bd) est multiple "
  47. Disp "de n donc acŜbd[n]        "
  48. Pause
  49. EffÉcran
  50. Disp "        PUISSANCES        "
  51. Disp "Démonstration par récur-  "
  52. Disp "rence sur k avec la prop- "
  53. Disp "priété PRODUIT            "
  54. Pause
  55. Goto 0
  56.  
  57. Lbl 3
  58. EffÉcran
  59. Disp "    ÉGALITÉ DE BÉZOUT     "
  60. Disp "Il existe un couple (a;b) "
  61. Disp "tel que au+bv=pgcd(a;b)   "
  62. Pause
  63. EffÉcran
  64. Disp "    THÉOREME DE BÉZOUT    "
  65. Disp "a et b sont premiers entre"
  66. Disp "eux ssi au+bv=1           "
  67. Pause
  68. Disp "      DÉMONSTRATION       "
  69. Disp " : Égalité de Bézout     "
  70. Disp " : On suppose au+bv=1. Si"
  71. Disp "D=pgcd(a;b),D divise a & b"
  72. Disp "donc D divise au+bv donc  "
  73. Disp "D divise 1 car a et b sont"
  74. Disp "premiers entre eux. On a  "
  75. Disp "donc bien D=1.            "
  76. Pause
  77. EffÉcran
  78. Disp "    COROLLAIRE BÉZOUT     "
  79. Disp "ax+by=c admet des solu-   "
  80. Disp "tions entières ssi c est 1"
  81. Disp "multiple de pgcd(a;b)     "
  82. Pause
  83. EffÉcran
  84. Disp "      DÉMONSTRATION       "
  85. Disp " : (x0;y0) est une solu- "
  86. Disp "tion de ax+by=c. Comme    "
  87. Disp "D=pgcd(a;b) D divise a & b"
  88. Disp "donc D divise ax0+by0 donc"
  89. Disp "D divise c                "
  90. Pause
  91. EffÉcran
  92. Disp "      DÉMONSTRATION       "
  93. Disp " : c est un multiple de D"
  94. Disp "=pgcd(a;b) donc c=kd      "
  95. Disp "D'ap. l'égalité de Bézout,"
  96. Disp "ax+by=D donc on a :       "
  97. Disp "auk+bvk=kD  a(uk)+b(vk)="
  98. Disp "c. Donc il existe x0=uk et"
  99. Disp "y0=vk tels que ax0+by0=c  "
  100. Pause
  101. Goto 0
  102.  
  103. Lbl 4
  104. EffÉcran
  105. Disp "    THÉOREME DE GAUSS     "
  106. Disp "Si a divise bc et a et b  "
  107. Disp "sont premiers entre eux,  "
  108. Disp "alors a divise c.         "
  109. Pause
  110. EffÉcran
  111. Disp "      DÉMONSTRATION       "
  112. Disp "a divise bc donc bc=ka et "
  113. Disp "a et b sont premiers donc "
  114. Disp "il existe u et v tels que "
  115. Disp "au+bv=1 donc acu+bcv=c    "
  116. Disp "donc acu+akv=c donc       "
  117. Disp "a(cu+kv)=c donc a divise c"
  118. Pause
  119. EffÉcran
  120. Disp "   COROLLAIRE DE GAUSS    "
  121. Disp "Si a et b divisent n et a "
  122. Disp "et b sont premiers entre  "
  123. Disp "eux alors ab divise n.    "
  124. Pause
  125. EffÉcran
  126. Disp "      DÉMONSTRATION       "
  127. Disp "a et b divisent n donc il "
  128. Disp "existe (k;k') tels que    "
  129. Disp "n=ka=k'b. n divise ka et  "
  130. Disp "comme a et b sont premiers"
  131. Disp "entre eux, d'après le thé-"
  132. Disp "rème de Gauss, b divise n "
  133. Disp "Il existe donc k'' tel que"
  134. Disp "k=k''n avec n=k''ab. ab   "
  135. Disp "divise donc n.            "
  136. Pause
  137. EffÉcran
  138. Goto 0
  139.  
  140. Lbl 5
  141. Disp "INFINITÉ NOMBRES PREMIERS "
  142. Disp "Démontration par l'absurde"
  143. Disp "On suppose qu'il y a un   "
  144. Disp "nombre fini de nombres pr-"
  145. Disp "emiers : p1,p2,...,pn.    "
  146. Disp "On pose : N=p1*p2*...*pn+1"
  147. Disp "N admet au moins 1 divise-"
  148. Disp "ur pi premier car N>2.    "
  149. Disp "pi divise N et pi divise  "
  150. Disp "p1*p2*...*pn donc tte comb"
  151. Disp "inaison linéaire en parti-"
  152. Disp "culier N-p1*...*pn=1 donc "
  153. Disp "pi divise 1 donc pi=1 imp-"
  154. Disp "ossible car pi est premier"
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