\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{mathtext}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,bulgarian,ukranian,russian]{babel}
\title{Homework 1}
\begin{document}
Task 1.
$$
\frac{(9n + 3k)!}{(5n)! \cdot (3n + k)!\cdot (n + k)! \cdot k!}\sim
$$
по формуле Стирлинга расписываем факториалы в эквивалентности
$$
\sim \frac {\sqrt{2\pi \cdot (9n + 3k)}\cdot (\frac {9n + 3k}{e})^{9n + 3k}}{\sqrt{2\pi \cdot 5n} \cdot (\frac {5n}{e})^{5n}\cdot {\sqrt{2\pi \cdot (3n + k)}}\cdot (\frac{3n + k}{e})^{3n + k} \cdot {\sqrt{2\pi \cdot (n + k)}}\cdot (\frac{n + k}{e})^{n + k} \cdot k!} \sim
$$
отдельно записываем экспоненты и сокращаем \sqrt{2\pi}

$$
\sim \frac {\sqrt{9n + 3k} \cdot (\frac{9n + 3k}{e})^{9n + 3k}}{2\pi \cdot \sqrt{5n} \cdot (5n)^{5n} \cdot e^{-5n}\cdot \sqrt{3n + k} \cdot (3n+k)^{3n + k} \cdot e^{-3n - k} \cdot \sqrt{n+k} \cdot (n+k)^{n+k} \cdot e^{-n-k} \cdot k!}\sim

\sim \frac {(9n + 3k)^{9n+3k + \frac{1}{2}}\cdot e^{-9n} \cdot e^{-3k}} {2\pi \cdot (5n)^{5n+\frac{1}{2}} \cdot e^{-5n} \cdot (3n+k)^{3n+k + \frac{1}{2}} \cdot e^{-3n} \cdot e^{-k} \cdot (n+k)^{n+k+\frac{1}{2}}  \cdot e^{-n}  \cdot e^{-k}  \cdot k!}\sim
$$

сокращаем экспоненты и выносим из числителя {3^{9n+3k+\frac{1}{2}}}

$$
\sim \frac {3^{9n+3k+\frac{1}{2}}\cdot (3n+k)^{9n+3k+\frac{1}{2}}\cdot e^{-k} }{2\pi \cdot (5n)^{5n+\frac{1}{2}} \cdot (3n+k)^{3n+k+\frac{1}{2}}\cdot(n+k)^{n+k+\frac{1}{2}}\cdot k! } \sim

\sim \frac {3^{9n+3k+\frac{1}{2}}\cdot (3n+k)^{6n+2k}\cdot e^{-k} }{2\pi \cdot (5n)^{5n+\frac{1}{2}} \cdot (n+k)^{n+k+\frac{1}{2}}\cdot k! } \sim
$$

формируем в числителе и знаменателе 2ые замечательные пределы

$$
\sim \frac{3^{9n+3k+\frac{1}{2}} \cdot (3n)^{6n} \cdot (1+\frac{k}{3n})^{6n}\cdot (3n+k)^{2k}\cdot e^{-k}}{2\pi \cdot (5)^{5n+\frac{1}{2}}\cdot (n)^{5n+\frac{1}{2}} \cdot n^n \cdot (1+\frac{k}{n})^n \cdot (n+k)^{k + \frac{1}{2}}\cdot k!} \sim

\sim \frac{3^{15n+3k+\frac{1}{2}}\cdot n^{5n} \cdot e^{2k}\cdot (3n+k)^{2k}\cdot e^{-k}}{2\pi \cdot 5^{5n+\frac{1}{2}} \cdot n^{5n} \cdot \sqrt{n} \cdot e^k \cdot (n+k)^{k+\frac{1}{2}} \cdot k! } \sim \frac{3^{15n+3k+\frac{1}{2}}\cdot (3n+k)^{2k}}{2\pi \cdot 5^{5n+\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{n} \cdot  (n+k)^{k+\frac{1}{2}} \cdot k!}\sim

\sim \frac{3^{15n+5k+\frac{1}{2}}\cdot n^{k-1}}{2\pi \cdot 5^{5n+\frac{1}{2}}\cdot k!}
$$
\newpage
Task 2.
$$
C_{n^{10}+4n^6}^{n^6} = \frac{(n^{10}+4n^6)!}{(n^6)!\cdot(n^{10}+3n^6)}\sim
$$
по формуле Стирлинга расписываем факториалы в эквивалентности
$$
\sim \frac{\sqrt{2\pi(n^{10}+4n^6)}\cdot(\frac{n^{10}+4n^6}{e})^{n^{10}+4n^6}}{\sqrt{2\pi n^6}\cdot(\frac{n^6}{e})^n^6\cdot\sqrt{2\pi(n^{10}+3n^6)}\cdot(\frac{n^{10}+3n^6}{e})^{n^{10}+3n^6}}\sim
$$
выносим n в степени из под корней и выделяем отдельно экспоненты
$$
\sim\frac{n^3\sqrt{n^4+4}\cdot(n^{10}+4n^6)^{n^{10}+4n^6}\cdot e^{-n^{10}-4n^6}}{\sqrt{2\pi}\cdot n^3\cdot n^6^n^6\cdot e^{-n^6}\cdot n^3\sqrt{n^4+3}\cdot(n^{10}+3n^6)^{n^{10}+3n^6}}\sim
$$
сокращаем экспоненты и {n^5}

$$
\sim\frac{(n^{10}+4n^6)^{n^{10}+4n^6}}{\sqrt{2\pi}\cdot n^3\cdot n^6^n^6\cdot(n^{10}+3n^6)^{n^{10}+3n^6}\cdot e^{-n^{10}-3n^6}}\sim
$$
выносим из числителя ${n^{10({n^{10}+4n^6})}}$, а из знаменателя
${n^{10({n^{10}+3n^6})}}$

$$
\sim\frac{(1+4/n^4)^{n^{10}+4n^6}\cdot {n^{10({n^{10}+4n^6})}}}{\sqrt{2\pi}\cdot n^3\cdot n^6^n^6\cdot(1+3/n^4)^{n^{10}+3n^6}\cdot {n^{10({n^{10}+3n^6})}}}\sim
$$
по свойству натуральных логарифмов
$$
\sim\frac{e^{({n^{10}+4n^6})\cdot \ln({1+4/n^4})}\cdot {n^{4n^6- 3}}}{\sqrt{2\pi}\cdot e^{({n^{10}+3n^6)}\cdot\ln({1+3/n^4})}}\sim
$$
разложим $\ln(1+a)$, где a->0, по формуле Маклорена
$$
\sim\frac{e^{({n^{10}+4n^6}) (4/n^4-8/n^8+o(n^{12}))}\cdot{n^{4n^6- 3}}}{\sqrt{2\pi}\cdot e^{({n^{10}+3n^6)}(3/n^4-9/(2n^8)+o(n^{12}))}}\sim

\sim\frac{e^{{4n^6+8n^2}}\cdot{n^{4n^6- 3}}}{\sqrt{2\pi}\cdot e^{{3n^6+4.5n^2}}}\sim
\frac{e^{{n^6+3.5n^2}}\cdot{n^{4n^6- 3}}}{\sqrt{2\pi}}
$$
\end{document}