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Relazione Molla

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Mar 16th, 2019
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  1. \documentclass[11pt]{article}
  2. \usepackage{graphicx}
  3. \usepackage{subcaption}
  4. \usepackage{amsmath}
  5. \usepackage{esvect}
  6. \renewcommand{\figurename}{Fig.}
  7. \usepackage[margin=1in]{geometry}
  8. \begin{document}
  9. \title{DETERMINAZIONE DELLA COSTANTE ELASTICA DI UNA MOLLA}
  10. \author{Christian Aoufia\\Marco Cavazza\\Maria Chiara Fratti\\Matilde Garello\\Alessandra Grieco\\Lorenzo Pelloni}
  11. \date{\today}
  12. \maketitle
  13. \tableofcontents
  14. \newpage
  15.  
  16. \section{Introduzione}
  17. L'esperimento consiste nel misurare, tramite modalità diverse, le costanti elastiche di due molle, una regolare e una precompressa. La procedura si divide in 4 moduli:  \\ \\
  18. - Determinare la costante elastica di una molla in modo statico;\\
  19. - Utilizzo della molla come dinamometro statico per la determinazione di una massa incognita;\\
  20. - Determinare la costante elastica con metodo dinamico e confronto risultati con il primo modulo;\\
  21. - Determinare la costante elastica di una molla precompressa e la forza di precompressione (con metodo statico).\\
  22.  
  23. \section{Teoria}
  24. Una molla è un corpo elastico che come tale tende a tornare alla posizione di equilibrio una volta impressa una deformazione. La forza di richiamo è data dalla legge di Hooke:
  25. $$ \vv F = -k \vv{(L-L_0)} $$
  27. \noindent Appendendo dunque una massa \textit{m} alla molla in posizione verticale, si crea una situazione di equilibrio statico:
  28. $$k(L-L_0)=mg$$
  30. \noindent E' possibile dunque misurare la costante elastica della molla conoscendo l'allungamento e la massa.
  31. Se inoltre imprimiamo un allungamento iniziale $L_m$ e lasciamo successivamente il sistema libero di muoversi, il moto di un corpo applicato all'estremo della molla è descritto dalla seguente legge oraria:
  32. $$ x(t) = L_m cos(\omega t + \alpha) $$
  34. \noindent dove $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ e $\alpha$ è lo sfasamento iniziale. Poichè $\omega = \frac{2 \pi}{T}$, dove T è il periodo di una oscillazione completa, è possibile risalire alla seguente relazione:
  36. $$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
  38. \noindent che ci permette di trovare la costante elastica della molla.
  39. Nel caso della molla precompressa abbiamo anche una $F_0$ di cui tener conto, la forza di precompressione. La situazione statica in questo caso sarà data da:
  41. $$mg=k(L-L_0) + F_0$$
  43. \noindent relazione che ancora una volta ci permette di ricavarne la costante $k$ e la sua precompressione $F_0$.
  44. \newpage
  45. \section{Materiale occorrente}
  46. \begin{itemize}
  47.  \item Supporto;
  48.  \item 1 molla di costante elastica da determinare;
  49.  \item 1 molla precompressa;
  50.  \item Metro (sensibilità: $1,00 \times 10^{-3}\,m$);
  51.  \item Pesiera con 10 masse campione da $5,00 \times 10^{-2}\,kg$ (errore su   ogni massa: $2,00 \times 10^{-3}kg$):
  52.  \item Massa incognita;
  53.  \item Cronometro (sensibilità: $1,00 \times 10^{-2}\,s$);
  54. \end{itemize}
  57. \section{Procedimento}
  58. \subsubsection{Metodo statico con regressione lineare}
  59. Il metodo statico consiste nell'appendere la molla al supporto fornito, misurare la sua lunghezza a riposo e successivamente appendere masse note sempre differenti in modo da provocarne un allungamento. Dalle misure di questi allungamenti è possibili ipotizzare una relazione di tipo lineare tra massa e allungamento, andando infine a calcolare la costante elastica della molla. (Nel caso della molla precompressa è necessario tenere conto della forza di precompressione nella regressione, limite entro il quale si annulla la dipendenza lineare tra allungamento e massa).
  61. \subsubsection{Determinazione della massa incognita}
  62. Utilizzando la molla come dinamometro (utilizzando la costante elastica trovata in precedenza) è possibile assegnare ad un campione ignoto la propria massa con associato il relativo errore.
  64. \subsubsection{Metodo dinamico con analisi statistica}
  65. Il metodo dinamico consiste nell'appendere una massa nota alla molla e successivamente imprimerne un allungamento iniziale. Il moto della molla sarà di tipo armonico, con periodo strettamente connesso alla costante elastica. La misura del periodo si ha per via indiretta misurando 10 oscillazioni anzichè una. Questo permette di ridurre il fattore umano nell'errore.
  68. \section{Esperimento}
  69. \subsection{Valutazioni preliminari errori}
  70. \subsubsection{Metodo statico}
  71. Data una molla verticale con appesa una massa in condizione di equilibrio, possiamo trovare k attraverso la formula:
  72. $$k = \frac{mg}{L-L_0}$$
  73. Dunque si ha che:
  74. $$\left(\frac{\delta k}{k}\right)^* =\left(\frac{\delta m}{m}\right)^* + \left(\frac{\delta g}{g}\right)^* + \left(\frac{\delta (L-L_0)}{L-L_0}\right)^*  $$
  75. Assumiamo gli errori sulla nostra variabile indipendente m e su g trascurabili e otteniamo:
  76. $$\left( \frac{\delta k}{k} \right)^* \sim \left(\frac{2 \delta L}{L-L_0}\right)^* \sim 10^{-1} \sim 1 \% $$
  78. \subsubsection{Metodo dinamico}
  79. La formula che lega la costante elastica al periodo è data da:
  80. $$k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$$
  81. Dunque si ha che:
  82. $$\left(\frac{\delta k}{k}\right)^* = \left(\frac{\delta m}{m}\right)^* + \left(\frac{2 \delta T}{T}\right)^* \sim \left(\frac{2 \delta T}{T}\right)^*$$
  83. Poichè la misura del periodo è manuale ci si aspetta che l'errore su t sia dell'ordine di $10^{-1}$, il tempo medio di reazione umano. Considerando che l'oscillazione media è di 1 secondo si otterrebbe una incertezza del $10 \%$. Per ridurla misuriamo 10 oscillazioni ogni volta, e solo alla fine dividiamo sia il risultato che l'errore per 10.
  84. In questo modo si ottiene un $t_{10}$ con una deviazione media di circa $10^{-1}\, s$ che dividendo assume un errore stimato di $ 10 ^{-2}$ ovvero dell' 1$\%$.  
  85. \subsection{Determinazione della costante elastica con il metodo statico}
  86. \subsection{Misura della massa incognita}
  87. \subsection{Misura della costante elastica con il metodo dinamico}
  88.    
  89.    \vspace{0.03\linewidth}
  90.            \begin{minipage}[b]{.35\linewidth}
  91.            \begin{tabular}{|l|l|}
  92.                \hline \textbf{Dato (s) } & \textbf{Ripetizioni} \\ \hline
  93.                8,93 & 1 \\
  94.                8,98 & 1 \\
  95.                8,99 & 4 \\
  96.                9,02 & 2 \\
  97.                9,03 & 2 \\
  98.                9,05 & 1 \\
  99.                9,07 & 2 \\
  100.                9,08 & 1 \\
  101.                9,10 & 1 \\
  102.                9,11 & 2 \\
  103.                9,13 & 2 \\
  104.                9,14 & 2 \\
  105.                9,15 & 1 \\
  106.                9,16 & 1 \\
  107.                9,20 & 2 \\
  108.                9,24 & 1 \\
  109.                9,25 & 1 \\
  110.                9,26 & 1 \\
  111.                9,31 & 1 \\
  112.                9,34 & 1 (Rigettato) \\ \hline
  113.                Misure & 29 \\ \hline  
  114.            \end{tabular}
  115.        \end{minipage}  \begin{minipage}[b]{.6\linewidth}
  116.        \subsubsection{Elaborazione dei dati}
  117.        Riportiamo le misure in secondi di 10 oscillazioni effettuate appendendo alla molla una massa di m = $0,5 \, kg$. Otteniamo dunque un valor medio $\bar{t_{10}}=9,107 \, s$
  118.        e una deviazione standard $S_t=0,105 s$
  119.        \noindent Notiamo che il valore $t_s = 9,34 \, s$ si allontana di molto dalla media, dunque verifichiamo la sua rigettabilità. Lo z sospetto associato al valore è di $z_s = \frac{z_s - \bar{t_{10}}}{S_x}=2,2243$, e con una confidenza di $C_z=0,4868$ abbiamo un numero teorico di misure che superano il nostro valore di $N_z = N \times(0,5-C_z)=0,396 < 0,5 $ e il valore risulta rigettabile. \\Otteniamo dunque, con 29 dati, il nuovo valor medio $\bar{t_{10}}=9,099 \, s$ e la nuova deviazione standard $S_t = 0,0968 \, s $.
  120.      
  121. \end{minipage}      \vspace{0.03\linewidth}  
  122.      
  123.  
  124.      
  125.      
  126.        \noindent Dividiamo i valori in classi utilizzando una deviazione standard come ampiezza di un intervallo e paragoniamo i valori ottenuti con quelli attesi:
  127.        \begin{table}[h]
  128.        \begin{tabular}{|l|l|l|l|}
  129.        \hline
  130.        \textbf{Classe} & \textbf{Range} & \textbf{$O_k$} & $E_k$ \\ \hline
  131.        1 & [8,906 , 9,002] & 6 & 4,6023 \\
  132.        2 & [9,002 , 9,099] & 8 & 9,8977 \\
  133.        3 & [9,099 , 9,196] & 9 & 9,8977 \\
  134.        4 & [9,196, 9,292] & 5 & 3,9411 \\
  135.        5 & [8,292 , 9,389] & 1 & 0,6612 \\ \hline
  136.        \end{tabular}
  137.        \end{table}
  138.      
  139.        \noindent Otteniamo allora un valore del $\chi ^2$:
  140.      
  141.        $$\chi ^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(E_k-O_k)^2}{Ek} = 1,214 $$
  142.        e di conseguenza una confidenza compresa tra il 0.250 e 0.500. Assegnamo allora $\frac{S_x}{\sqrt{N}}$ come errore alla misura best. Otteniamo:
  143.        $$\bar{t_{10}} = (9,099 \pm 0,018) \, s$$
  145. \subsubsection{Calcolo della costante}
  146. \noindent Ricaviamo allora la miglior stima del periodo emersa dall'analisi dei dati, dividendo i risultati finali per il numero di oscillazioni. ($T= \frac{\bar{t_{10}}}{10}$ , $\delta T = \frac{\delta \bar{t_{10}}}{10}$). Notiamo tuttavia che l'errore è di un ordine di grandezza più piccolo rispetto alla sensibilità dello strumento. Decidiamo dunque di mantenere la sensibilità del cronometro come errore su T.
  147. Otteniamo:
  148. $$ T = (0,91 \pm 0,01) \, s$$
  151. \noindent Ricaviamo la costante della molla sapendo che quest'ultima e il periodo sono legati dalla relazione:
  152. $$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$
  154. \noindent Quindi:
  155. $$\bar{k}=\frac{4m\pi^2}{T^2}=23,8420
  156. \, \frac{N}{m}$$
  157. $$\bar{\delta k}=\bar{k}\left(\frac{\delta m}{m}+2\frac{\delta T}{T}\right)=0,619368 \, \frac{N}{m}$$
  158.      
  159. \noindent In conclusione, con il metodo dinamico si ricava che:
  160. $$k=(23,84 \pm 0,62) \, \frac{N}{m}$$
  161.        
  162.  
  163.  
  164. \subsection{Misura della costante elastica e della forza di precompressione di una molla precompressa}
  165.  
  166. \section{Conclusioni}
  167.  
  168.  
  169. \end{document}
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