<?php

$width = 600;
$height = 600;

function demo($im) {

    $x1 = 124;
    $y1 = 253;
    imagefilledarc($im, $x1, $y1, 10, 10, 0, 0, 0x000000, 0);
    imagestring($im, 2, $x1-30, $y1+10, "x1, y1", 0x000000);

    $x2 = 445;
    $y2 = 428;
    imagefilledarc($im, $x2, $y2, 10, 10, 0, 0, 0x000000, 0);
    imagestring($im, 2, $x2+0, $y2+10, "x2, y2", 0x000000);

    imageline($im, $x1, $y1, $x2, $y2, 0x000000);

    $xc1 = $x1 + 50;
    $yc1 = $y1 - 200;
    imageline($im, $x1, $y1, $xc1, $yc1, 0x000000);
    imagefilledarc($im, $xc1, $yc1, 10, 10, 0, 0, 0x000000, 0);

    $xc2 = $x2 -5;
    $yc2 = $y2 -200;
    imageline($im, $x2, $y2, $xc2, $yc2, 0x000000);
    imagefilledarc($im, $xc2, $yc2, 10, 10, 0, 0, 0x000000, 0);

    $d1 = 10 * sqrt( pow($x1-$xc1, 2) + pow($y1-$yc1, 2) );
    $ac1 = atan2($yc1-$y1, $xc1-$x1);
    $ap1 = $ac1 + pi() / 2.;
    $xp1 = $x1 + $d1*cos($ap1);
    $yp1 = $y1 + $d1*sin($ap1);
    imageline($im, $x1, $y1, $xp1, $yp1, 0x808080);

    $d2 = 10 * sqrt( pow($x2-$xc2, 2) + pow($y2-$yc2, 2) );
    $ac2 = atan2($yc2-$y2, $xc2-$x2);
    $ap2 = $ac2 - pi() / 2.;
    $xp2 = $x2 + $d2*cos($ap2);
    $yp2 = $y2 + $d2*sin($ap2);
    imageline($im, $x2, $y2, $xp2, $yp2, 0x808080);


    /** Принудительно задается радиус первой (красной) дуги, что неправильно!!! */
    $r1 = 135;
    /** Из него вычисляется положение центра красной дуги, обозначен красной точкой. */
    $r1x = $x1 + $r1*cos($ap1);
    $r1y = $y1 + $r1*sin($ap1);
    imagefilledarc($im, $r1x, $r1y, 10, 10, 0, 0, 0xFF0000, 0);
    imagestring($im, 2, $r1x-40, $r1y-30, "r1x, r1y", 0x000000);

    /** Это результат решения уравнения для заданного радиуса красной дуги */
    $L = (
        2.*($r1x*$x2 + $r1y*$y2)
        - pow($x2, 2)
        - pow($y2, 2)
        - pow($r1x, 2)
        - pow($r1y, 2)
        + pow($r1, 2)
    ) / 2. / (
        cos($ap2)*($x2-$r1x)
        + sin($ap2)*($y2-$r1y)
        + $r1
    );

    $xl = $x2 + $L*cos($ap2);
    $yl = $y2 + $L*sin($ap2);

    imagefilledarc($im, $xl, $yl, 10, 10, 0, 0, 0x00FF00, 0);

    $aspl = atan2($r1y-$yl, $r1x-$xl);

    imagearc($im, $r1x, $r1y, 2*$r1, 2*$r1, rad2deg($ap1)+180, rad2deg($aspl), 0xFF0000);
    imagearc($im, $xl, $yl, 2*$L, 2*$L, rad2deg($aspl), rad2deg($ap2)-180, 0x0000FF);

}

$im = imagecreatetruecolor($width, $height);
imagefilledrectangle($im, 0, 0, $width-1, $height-1, 0xc0c0c0);

demo($im);

header('Content-Type: image/png');
imagepng($im, null, 9);

(Xz-X₁)² + (Yz-Y₁)²
R₁ = 2 ---------------------------
         (Xz-X₁)Cosβ + (Yz-Y₁)Sinβ

            (Xz-X₂)² + (Yz-Y₂)²
R₂ = 2 ---------------------------
         (Xz-X₂)Cosγ + (Yz-Y₂)Sinγ

Xz - Xr₁   Xz - Xr₂
-------- = --------
Yz - Yr₁   Yz - Yr₂

Xz = X₀ + ZCosδ
Yz = Y₀ + ZSinδ
Xr₁ = X₁ + ZCosβ
Yr₁ = Y₁ + ZSinβ
Xr₂ = X₂ + ZCosγ
Yr₂ = Y₂ + ZSinγ

(Xz-X₁)² + (Yz-Y₁)²
R₁ = 2 ---------------------------
         (Xz-X₁)Cosβ + (Yz-Y₁)Sinβ

            (Xz-X₂)² + (Yz-Y₂)²
R₂ = 2 ---------------------------
         (Xz-X₂)Cosγ + (Yz-Y₂)Sinγ

Xz - Xr₁   Xz - Xr₂
-------- = --------
Yz - Yr₁   Yz - Yr₂

Xz = X₀ + ZCosδ
Yz = Y₀ + ZSinδ
Xr₁ = X₁ + R₁Cosβ
Yr₁ = Y₁ + R₁Sinβ
Xr₂ = X₂ + R₂Cosγ
Yr₂ = Y₂ + R₂Sinγ