\documentclass{article}


\usepackage[T2A]{fontenc}           % кодировка
\usepackage[utf8]{inputenc}         % кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}

\usepackage{wasysym}
\title{Balbin.1}
\author{ilya_balbin }
\date{July 2018}

\begin{document}
\section*{Задание 1.}
Общее выражение для синуса кратного угла $n\alpha$:
\[
\sin{(n\alpha)}=\sum_{k=0}^{[n-1]/2}\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\sin^{2k+1}\alpha.
\]

\section*{Задание 2.}
Представление фукнции в виде ряда Фурье:
\[
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k+1}^{+\infty}A_k\cos{\left(k\frac{2\pi}{\tau}+\theta_k\right)}.
\]

\section*{Задание 3.}
Лемма о накачке:
\begin{multline*}
\left(\exists{n} \in \mathbb{Q}\right)
\left(\forall{\alpha} \in L : |\alpha| \geqslant n\right)
\left(\exists{u}, v, w \in V^*\right) :\\
:\left[\alpha = uvw \land  |uv| \leqslant n \land |v| \geqslant 1 \land
\left(\forall{i} \in \mathbb{N} \cup \{0\}, uv^iw \in L\right)\right].
\end{multline*}

\section*{Задание 4.}
Формула для площади куска поверхности $z$, ограниченного цилиндром с ос-\\
нованием $G$ в пролярных координатах:
\[
\iint_{G}\sqrt{r^2 +
r^2\left(\frac{\partial z}{\partial \rho}\right)^2 +
\left(\frac{\partial z}{\partial \varphi}\right)^2}.
\]

\section*{Задание 5.}
Формула Остроградского -- Гаусса:
\[
\iiint_V\left(\Delta\cdot\mathbf{F}dV\right) =
\oiint_S\widehat{n} \times \mathbf{F} dS.
\]

\section*{Задане 6.}
Выражение для $\pi$ через предел:
\[
\pi = \sqrt{\frac{6}{\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{\substack{k=1\\p_k \in P}}^{n}\left(1 - \frac{1}{p_k^2}\right)}}.
\]

\section*{Задание 7.}
Функция распределения нормальной случайной величины:
\[
F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\nu)^2}{2\sigma^2}}dt.
\]

\section*{Задание 8.}
Определение гамма-функции:
\[
\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i2\pi z} - 1}
\int\limits_L t^{z-1}e^{-t}dt, z \in \mathbb{C}\mathbb{Z}.
\]

\section*{Задание 9.}
Дсиперсия линейной комбинации случайных величин:
\[
D\left[\sum\limits_{i=1}^n c_iX_i\right] =
\sum\limits_{i=1}^n c_i^2D\left[X_i\right] +
2 \sum\limits_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}c_ic_j\mathtt{cov}\left(X_i,X_j\right).
\]

\section*{Задание 10.}
Формула Муавра для корня $n$-й сетепени из комплексного числа:
\[
\sqrt[n]{z} = r^{1/n}\left(\cos{\frac{\varphi + 2\pi k}{n}} +
i\sin{\frac{\varphi  + 2\pi k}{n}}\right)
\]

\section*{Задание 11.}
Треугольник Паскаля:
\begin{center}
\begin{tabular}{rccccccccccccccc}
& & & & & & 1 \\
& & & & & 1 & & 1 \\
& & & & 1 & & 2 & & 1 \\
& & & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\
& & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\
& 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 && 1\\
. & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & .
\end{tabular}
\end{center}

\section*{Задание 12.}
Выражение для ротора $\overrightarrow{F}$ через определитель:
\[\mathtt{rot}\overrightarrow{F} = \nabla \times \overrightarrow{F} =
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_x} & \overrightarrow{e_y} & \overrightarrow{e_z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
F_x & F_y & F_z
\end{vmatrix}.\]

\section*{Задание 13.}
Якобиан:
\[\mathbb{\tau}_{m\times n} =
\begin{Vmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{Vmatrix}.\]
\end{document}