Cap01Ex06

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\begin{document}

Cap\'{i}tulo 1


\medskip Exerc\'{i}cio 6


\medskip Provemos que a condi\c{c}\~{a}o necess\'{a}ria e suficiente para termos tal igualdade \'{e} $A \subset C$. Ou seja, provemos que $A \subset C \iff A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$.
\begin{itemize}
    \item $A \subset C \implies A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$.
    \begin{itemize}
        \item $A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap C$.
        \newline Seja $x \in A \cup (B \cap C).$ Por defini\c{c}\~{a}o, $x \in A \text{ ou } x \in B \cap C$.
        \begin{itemize}
            \item Caso $x \in A$
            \newline Imediatamente, temos que $x \in A \cup B$. Por hip\'{o}tese, tamb\'{e}m temos que $A \subset C$, ent\~{a}o, $x \in C$. Logo, $x \in A \cup B \text{ e } x \in C$. Dessa forma $x \in (A \cup B) \cap C$.
            \item Caso $x \in B \cap C$
            \newline Pela defini\c{c}\~{a}o de intersec\c{c}\~{a}o, $x \in B \text{ e } x \in C$. Por $x \in B$, temos que $x \in A \cup B$. Assim, $x \in (A \cup B) \cap C$.

        \end{itemize}
        \item $(A \cup B) \cap C \subset A \cup (B \cap C)$
        \newline Seja $x \in (A \cup B) \cap C$. Logo, $x \in C \text{ e } x \in A \cup B$.
        \begin{itemize}
            \item Caso $x \in A$
               \newline Trivial.
             \item Caso $x \in B$
                \newline De imediato, teremos que, por $x \in C$, $x \in B \cap C$. Logo, $x \in A \cup (B \cap C)$.

        \end{itemize}
    \end{itemize}
    Ent\~{a}o, $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$.
    \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C \implies A \subset C$.
        \newline Seja $x \in A$. Temos, imediatamente, que $x \in A \cup (B \cap C).$ Por hip\'{o}tese, temos que $x \in (A \cup B) \cap C$. Ou seja, $x \in A \cup B \text{ e } x \in C$. A partir disso, temos que $A \subset C$.
\end{itemize}
Portanto, $A \subset C$ \'{e} uma condi\c{c}\~{a}o necess\'{a}ria e suficiente.
\end{document}