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Cap01Ex06

a guest Apr 23rd, 2019 64 Never
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  1. \documentclass[12pt]{article}
  2. \usepackage{amsmath}
  3. \usepackage{graphicx}
  4. \usepackage{hyperref}
  5. \usepackage[latin1]{inputenc}
  6. \usepackage{amsmath}
  7.  
  8.  
  9.  
  10. \begin{document}
  11.  
  12. Cap\'{i}tulo 1
  13.  
  14.  
  15. \medskip Exerc\'{i}cio 6
  16.  
  17.  
  18. \medskip Provemos que a condi\c{c}\~{a}o necess\'{a}ria e suficiente para termos tal igualdade \'{e} $A \subset C$. Ou seja, provemos que $A \subset C \iff A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$.
  19. \begin{itemize}
  20.    \item $A \subset C \implies A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$.
  21.    \begin{itemize}
  22.        \item $A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap C$.
  23.        \newline Seja $x \in A \cup (B \cap C).$ Por defini\c{c}\~{a}o, $x \in A \text{ ou } x \in B \cap C$.
  24.        \begin{itemize}
  25.            \item Caso $x \in A$
  26.            \newline Imediatamente, temos que $x \in A \cup B$. Por hip\'{o}tese, tamb\'{e}m temos que $A \subset C$, ent\~{a}o, $x \in C$. Logo, $x \in A \cup B \text{ e } x \in C$. Dessa forma $x \in (A \cup B) \cap C$.
  27.            \item Caso $x \in B \cap C$
  28.            \newline Pela defini\c{c}\~{a}o de intersec\c{c}\~{a}o, $x \in B \text{ e } x \in C$. Por $x \in B$, temos que $x \in A \cup B$. Assim, $x \in (A \cup B) \cap C$.
  29.            
  30.        \end{itemize}
  31.        \item $(A \cup B) \cap C \subset A \cup (B \cap C)$
  32.        \newline Seja $x \in (A \cup B) \cap C$. Logo, $x \in C \text{ e } x \in A \cup B$.
  33.        \begin{itemize}
  34.            \item Caso $x \in A$
  35.               \newline Trivial.
  36.             \item Caso $x \in B$
  37.                \newline De imediato, teremos que, por $x \in C$, $x \in B \cap C$. Logo, $x \in A \cup (B \cap C)$.
  38.            
  39.        \end{itemize}
  40.    \end{itemize}
  41.    Ent\~{a}o, $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$.
  42.    \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C \implies A \subset C$.
  43.        \newline Seja $x \in A$. Temos, imediatamente, que $x \in A \cup (B \cap C).$ Por hip\'{o}tese, temos que $x \in (A \cup B) \cap C$. Ou seja, $x \in A \cup B \text{ e } x \in C$. A partir disso, temos que $A \subset C$.
  44. \end{itemize}
  45. Portanto, $A \subset C$ \'{e} uma condi\c{c}\~{a}o necess\'{a}ria e suficiente.
  46. \end{document}
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