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newtheorem{Exc}{Exercice}
Newassociation{correction}{Soln}{mycor}
Newassociation{indication}{Indi}{myind}
renewcommand{Solnlabel}[1]{bf emph{Correction #1}}
renewcommand{Indilabel}[1]{bf emph{Indication #1}}

defexo#1{futurelettestcharMaybeOptArgmyexoo}
defMaybeOptArgmyexoo{ifx[testchar letnextOptArgmyexoo
                        else letnextNoOptArgmyexoo fi next}
defOptArgmyexoo[#1]{begin{Exc}[#1]normalfont}
defNoOptArgmyexoo{begin{Exc}normalfont}

newcommand{finexo}{end{Exc}}
newcommand{flag}[1]{}

newtheorem{question}{Question}




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newcommand{entete}[1]
{
{noindent
  textsf{Biblioth`eque d'exercices}
  hfill textbf{textsf{#1}} \
}{noindent
   textsf{Topologie}
      hfill textsf{Feuille n$^{circ},$2}\
}
hrule
begin{center}
textbf{textsf{Large
     Continuit'e
     }}
end{center}
hrule
vspace*{1cm}
}


begin{document}


 Opensolutionfile{mycor}[ficcorex]
 Opensolutionfile{myind}[ficind]
 entete{'Enoncés}

section*{Applications continues}

exo{ 0 , queffelec, 01/10/2003, 3, {}}
Soit $X$ un espace topologique et $f:Xto mathbb R$.
begin{enumerate}
item Montrer que $f$ est continue si et seulement si pour tout $lambdain mathbb R$,
les ensembles ${x ; f(x)<lambda}$ et ${x ; f(x)>lambda}$ sont des
ouverts de $X$.

item Montrer que si $f$ est continue, pour tout $omega$ ouvert de $mathbb R$,
$f^{-1}(omega)$ est un $F_sigma$ ouvert de $X$ ($F_sigma$= r'eunion
d'enombrable de ferm'es).

end{enumerate}

begin{indication}
begin{enumerate}
  item Utiliser le fait que tout ouvert de $mathbb R$ est l'union dénombrable d'intervalles ouverts.
  item 'Ecrire un intervalle fermé comme union dénombrable d'intervalles
ouverts, puis utiliser la même remarque que ci-dessus.
   end{enumerate}
end{indication}

begin{correction}
begin{enumerate}
  item Sens direct. Si $f$ est continue alors ${x mid f(x) < lambda} =
f^{-1}(]-infty,lambda[)$ est un ouvert comme image réciproque par une application continue de l'intervalle ouvert $]-infty,lambda[$. De même avec
$]lambda,+infty[$.

Réciproque. Tout d'abord, tout intervalle ouvert $]a,b[$, ($a<b$) peut s'écrire
$$]a,b[= ]-infty,b[ cap ]a,+infty[.$$
Donc
$$f^{-1}(]a,b[) = f^{-1}(]-infty,b[) cap f^{-1}(]a,+infty[)$$
est une intersection de deux ouverts donc un ouvert de $X$.
Soit $O$ un ouvert de $mathbb R$, alors $O$ peut s'écrire comme l'union dénombrables d'intervalles ouverts :
$$O = bigcup_{iin I} {]a_i,b_i[}.$$
Donc
$$f^{-1}(O)= bigcup_{iin I} f^{-1}(]a_i,b_i[)$$
est une union d'ouvert donc un ouvert de $X$ .
  item Nous le faisons d'abord pour un intervalle ouvert $]a,b[$.
$$]a,b[ = bigcup_{jinmathbb{N}^*} [a+frac 1n,b-frac 1n].$$
Donc
$$f^{-1}(]a,b[) = bigcup_{jinmathbb{ N} f^{-1}([a+frac 1j,b-frac 1j]),$$
est une union dénombrable de fermés.
Maintenant comme pour la première question, tout ouvert $O$ de $mathbb R$
s'écrit $O = bigcup_{iin I} ]a_i,b_i[$, avec $I$ dénombrable.
Donc on peut écrire
$$f^{-1}(O)= bigcup_{iin I}bigcup_{jinmathbb{N}^*} f^{-1}([a_i+frac 1j,b_i-frac 1j]),$$
qui est une union dénombrable de fermés (mais c'est un ouvert !).
   end{enumerate}
end{correction}
finexo
end{document}