tex doc

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}

\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\title{Диэдральные нормы и метрики на $\mathbb{R}^2$}
\author{[IDENTIFYING INFORMATION REMOVED]}
\date{2018--05--14}

\begin{document}

\maketitle

\section{Введение}

Диэдральные нормы (соотв. диэдральные метрики) --- семейство норм (соотв. метрик) на $\mathbb{R}^2$, обобщающее taxicab-метрику. У диэдральных метрик группа изометрий изоморфна полупрямому произведению $(\mathbb{R}^2, +) \rtimes D_k$, где $D_k$ --- диэдральная группа $k$-угольника.

\section{Неформальное определение и мотивация}

На плоскости $\mathbb{R}^2$ (которую далее мне будет удобно отождествлять с комплексной плоскостью $\mathbb{C}$), снабженной евклидовой метрикой, возможно ``передвигаться'' в любом направлении. Если же вместо евклидовой метрики взять taxicab-метрику, то в каком-то смысле передвигаться можно теперь только в четырех направлениях, естественным образом сопоставляющихся точкам $\pm 1, \pm i$ на единичной окружности. Так, если из точки $0$ мы хотим попасть в точку $3 + 4i$, то надо будет пройти $3$ единицы в направлении $1$ и $4$ единицы в направлении $i$, что дает расстояние $d_{\text{tc}}(0, 3+4i) = 7$, что не равно евклидовому расстоянию $d_e(0, 3+4i) = 5$.

При таком описании taxicab-метрики сразу возникает вопрос: как бы выглядела метрика, в которой можно было бы передвигаться не в $4$ направлениях, а, например, в $5$? Или в $6$? Или в произвольном количестве направлений?

Ответом на этот вопрос служат метрики, которые я, за неимением лучшего названия, окрестил \emph{диэдральными}.
\begin{definition}
Пусть $k$ --- натуральное число, большее или равное $3$, и пусть $0 \leq j < k$ -- целое число. Луч на комплексной плоскости, начинающийся в $0$ и содержащий точку $e^{i\frac{2\pi j}{k}}$, называется \textbf{$j$-той главной осью $k$-того порядка}.
\end{definition}
\begin{definition}
Пусть $k$ --- натуральное число, большее или равное $3$. Назовем \textbf{$k$-угольной диэдральной метрикой} метрику, которая сопоставляет точкам $z, w \in \mathbb{C}$ длину кратчайшей ломаной, идущей из $z$ в $w$ и состоящей исключительно из отрезков, параллельным главным осям $k$-того порядка.
\end{definition}
Из такой ``геометрической'' формулировки выполнимость аксиом метрического пространства почти очевидна. Расстояние между $z$ и $w$ в $k$-угольной диэдральной метрике будем обозначать $\mathrm{M}_k(z,w)$. Также введем т.н. \textbf{\textit{$k$-угольную диэдральную норму}} на $\mathbb{C}$:
$$
\|z\|_{k\mathrm{D}} := \mathrm{M}_k(z,0).
$$
\section{Более формальное определение}
\begin{proposition}\label{prop:norm}
Пусть $k \in \mathbb{N}$ и $k \geq 3$. $k$-угольная диэдральная метрика однозначным образом восстанавливается из соответствующей диэдральной нормы по формуле $\mathrm{M}_k(z,w) = \|z-w\|_{k\mathrm{D}}$.
\end{proposition}
Из Предложения \ref{prop:norm} следует, что для введения диэдральной метрики достаточно ввести диэдральную норму.
\end{document}