eq = {7.876174155966237*10^8 q[1] q[2] +
     3.089573929076111*10^11 q[1]*q[3] -
     1.383164420023547*10^11 q[1]*q[4] -
     8.69327863244762*10^10 q[1]*q[5] -
     5.782276395051118*10^10 q[1]*q[6] -
     3.882747274312769*10^10 q[1]*q[7] -
     2.718153431333784*10^10 q[1]*q[8] -
     1.871727631370937*10^10 q[1]*q[9] -
     1.160739768204187*10^10 q[1]*q[10] -
     8.06637222864757*10^9 q[1]*q[11] -
     5.963897903744298*10^9 q[1]*q[12] -
     4.915457539792909*10^9 q[1]*q[13] ==
    41.5726614785708351779158 .23696667442628*10^8 q[3]*q[2] +
     3.089573929076111*10^11 q[1]*q[3] -
     3.14514257979788*10^11 q[3]*q[4] -
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     8.200749083805965*10^10 q[3]*q[6] -
     5.199209763929092*10^10 q[3]*q[7] -
     3.48884718739484*10^10 q[3]*q[8] -
     2.32869468208448*10^10 q[3]*q[9] -
     1.380239079268908*10^10 q[3]*q[10] -
     9.323329484842843*10^9 q[3]*q[11] -
     6.754539699898449*10^9 q[3]*q[12] -
     5.502821647682379*10^9 q[3]*q[13] == 39.090711539551680838935,
   8.61522790311153*10^8 q[4]*q[2] +
     3.14514257979788*10^11 q[3]*q[4] +
     1.383164420023547*10^11 q[1]*q[4] -
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     4.581328545341369*10^10 q[4]*q[8] -
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     7.691599943122406*10^9 q[4]*q[12] -
     6.186520887032309*10^9 q[4]*q[13] == 39.71119902430646942368,
   9.04024901520535*10^8 q[5]*q[2] +
     3.018556794730371*10^11 q[4]*q[5] +
     1.364812421413417*10^11 q[3]*q[5] +
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     7.692872367401133*10^9 q[5]*q[12] -
     6.187349069941687*10^9 q[5]*q[13] == 43.43412393283520093215,
   9.58107308865949*10^8 q[6]*q[2] +
     2.662069346680555*10^11 q[5]*q[6] +
     1.251939130894869*10^11 q[4]*q[6] +
     8.200749083805965*10^10 q[3]*q[6] +
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     2.71540993739268*10^10 q[6]*q[10] -
     1.613848374025927*10^10 q[6]*q[11] -
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     8.3069156585462*10^9 q[6]*q[13] == 66.30774855209701225155,
   1.023694674428333*10^9 q[7]*q[2] +
     2.416484550106671*10^11 q[6]*q[7] +
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     2.128903059755466*10^10 q[7]*q[11] -
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     1.013051826593238*10^10 q[7]*q[13] == 59.676973696887311026395,
   1.09740654139634*10^9 q[8]*q[2] +
     2.335526899537523*10^11 q[7]*q[8] +
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     3.48884718739484*10^10 q[3]*q[8] +
     2.718153431333784*10^10 q[1]*q[8] -
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     1.267694594748506*10^10 q[8]*q[13] == 59.676973696887311026395,
   1.226485374572291*10^9 q[9]*q[2] +
     1.632980324637583*10^11 q[8]*q[9] +
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   1.421056739280782*10^9 q[10]*q[2] +
     1.319053049676902*10^11 q[9]*q[10] +
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      q[11] - 5.811111845727664*10^10 q[10]*q[12] -
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     4.915457539792909*10^9 q[1]*q[13] == 9.5778412995448368};
{val, sol} =
 NMaximize[{q@2, And @@ eq}, Array[q, 13],
  Method -> {"SimulatedAnnealing", "PerturbationScale" -> 10}]