%Berechnet das Taylorpolynom zweiten Grades ein der stelle 0

% Taylor aufruf:
taylor2(Y,X,E) :- tfunc(Y,X,O),s(O,E).  %Eigabeformel nimmt die Formel und den zu differenzierenden Wert an


							%%% Konstruiere Hauptfunktion %%%

tfunc(Y,X,G0+G1*x+G2*x^2/2) :- nulltesglied(Y,X,G0),erstesglied(Y,X,G1),zweitesglied(Y,X,G2).
nulltesglied(Y,X,E) :- ein(Y,X,E).
erstesglied(Y,X,E) :- ds(Y,X,A),ein(A,X,E).
zweitesglied(Y,X,E) :- ds(Y,X,D0),ds(D0,X,D1),ein(D1,X,E).



ein(A,X,E) :- rekursivertaylorwert(A,X,O),nulltaylorwert(O,X,O1),s(O1,E). % Der nullte Taylorwert wird eingesetzt und mit dem Rest verbunden


							%%% Tayloerwerte werden Rekursiv gesetzt %%%

rekursivertaylorwert(F+Y,X,EW1+EW2) :- rekursivertaylorwert(F, X, E1),nulltaylorwert(E1,X,EW1),rekursivertaylorwert(Y, X, E2),nulltaylorwert(E2,X,EW2).
rekursivertaylorwert(F*Y,X,EW1*EW2) :- rekursivertaylorwert(F, X, E1),nulltaylorwert(E1,X,EW1),rekursivertaylorwert(Y, X, E2),nulltaylorwert(E2,X,EW2).
rekursivertaylorwert(F-Y,X,EW1-EW2) :- rekursivertaylorwert(F, X, E1),nulltaylorwert(E1,X,EW1),rekursivertaylorwert(Y, X, E2),nulltaylorwert(E2,X,EW2).
rekursivertaylorwert(F/Y,X,EW1/EW2) :- rekursivertaylorwert(F, X, E1),nulltaylorwert(E1,X,EW1),rekursivertaylorwert(Y, X, E2),nulltaylorwert(E2,X,EW2).
rekursivertaylorwert(X,_,X).

							%%% Der Taylorwert wird einzeln auf null gesetzt (X=0) %%%

nulltaylorwert(sin(X+Y),X,E) :- E is sin(Y).
nulltaylorwert(-sin(X+Y),X,E) :- E is -sin(Y).
nulltaylorwert(cos(X+Y),X,E) :- E is cos(Y).
nulltaylorwert(-cos(X+Y),X,E) :- E is -cos(Y).
nulltaylorwert(sin(X),X,0).
nulltaylorwert(-sin(X),X,0).
nulltaylorwert(cos(X),X,1).
nulltaylorwert(-cos(X),X,-1).
nulltaylorwert(X^N,X,0) :- number(N).
nulltaylorwert(N*X^N,X,0) :- number(N).
nulltaylorwert(N^X,X,1) :- number(N).
nulltaylorwert(X,X,0).
nulltaylorwert(X,X,0).
nulltaylorwert(X,_,X).



							%%% Trigonomisch verkettete Funktionsregeln %%%

diff(sin(Y),X,IN*cos(Y)) :- X\=Y, diff(Y,X,IN).
diff(cos(Y),X,IN*(-sin(Y))) :- X\=Y, diff(Y,X,IN).
diff(tan(Y),X,IN*sin(Y)/cos(Y)) :- X\=Y, diff(Y,X,IN).


							%%% Produktregel %%%

diff(X1*X2,X,X1*Y2+X2*Y1) :- diff(X1,X,Y1),diff(X2,X,Y2),
    not(number(X1)),not(number(X2)).


							%%% Haupt Regeln %%%

diff(X,X,1).
diff(C,X,0) :- number(C), X\==C.
diff(C*X,X, C) :- number(C), X\==C.
diff(-F,X,-DF) :- diff(F,X,DF).


							%%% Potenz Regeln %%%

diff(X^N,X,N*X^Z):- Z is N-1, number(N).
diff(K*X^N,X,K*N*X^Z):- Z is N-1, number(N), number(K).
diff(e^X,X,e^X).
diff(e^N*X,X,N*e^N*X):- number(N).


							%%% Verkettungsregeln für Polynome mit Potenzen%%%

diff(P^N, X, DP*(P^Z)*N) :- P\=X, Z is N-1, diff(P,X,DP).


							%%% Summieren und Differenzieren %%%

diff(A+B,X,DFX+DFY) :- diff(A,X,DFX),diff(B,X,DFY).
diff(A-B,X,DFX-DFY) :- diff(A,X,DFX),diff(B,X,DFY).


							%%% Trigonometrische Funktionen %%%
diff(sin(X),X,cos(X)).
diff(cos(X),X,-sin(X)).
diff(tan(X),X,sin(X)/cos(X)).


							%%% Termvereinfachung %%%

simplification0(X*X,X^2) :- not(number(X)).
simplification0(1*X,X).
simplification0(X*1,X).
simplification0(X/1,X).
simplification0(0+X,X).
simplification0(X+0,X).
simplification0(0*_,0).
simplification0(_*0,0).
simplification0(0/_,0).


							%%% Kürzung %%%

simplification0(N+V,X) :- number(N),number(V), X is N+V.
simplification0(N*X*V,E) :- number(N),number(V), Z is N*V, simplification0(Z*X,E).
simplification0(N*X/V,E) :- number(N),number(V), Z is N/V, simplification0(Z*X,E).
simplification0(N*X^1,N*X) :- number(N).


							%%% Ende Main %%%
simplification0(X,X).


							%%% Simplifizierung %%%

s(A+B,X) :- s(A,E1),s(B,E2),simplification0(E1+E2,X).
s(A-B,X) :- s(A,E1),s(B,E2),simplification0(E1-E2,X).
s(A*B,X) :- s(A,E1),s(B,E2),simplification0(E1*E2,X).
s(A/B,X) :- s(A,E1),s(B,E2),simplification0(E1/E2,X).
s(X,X).

% abfrage fuer ableitung
ds(F,X,DF) :- diff(F,X,S),s(S,REC),simplification0(REC,DF).