Task 35

\documentclass{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{esvect}

\begin{document}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
 \pagenumbering{arabic}

  %Вопрос 35%
  \section{Докажите, что при $x\to 0$ справедливы соотношения $e^x-1\sim x$, $(1+x)^\alpha -1\sim \alpha x, \alpha\in\mathbb{R}$. Запишите эти эквивалентности в виде равенств(асимптотических формул).}
   \begin{enumerate}
       \item \textbf{Утверждение.}  $e^x-1\sim x, x\to 0$
       \\\textbf{Доказательство.} $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =$\Bigg\{\begin{matrix} \mbox{$e^x-1=t$}\\
       \mbox{$x=\ln{(t+1)}$}\\
       \mbox{$t\to 0$}
       \end{matrix}\Bigg\} = $\lim_{x\to 0}\frac{t}{\ln{(t+1)}}$ = 1
       \\ Запись в виде равенства: $$e^x-1=x+o(x)$$
        \item \textbf{Утверждение.}  $(1+x)^\alpha \sim \alpha x, x\to 0$
       \\\textbf{Доказательство.}$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha -1}{\alpha x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{\alpha\ln{(1+x)}}-1}{\alpha x}=\frac{\alpha\ln{(1+x)}}{\alpha x}=1$
       \\ Запись в виде равенства: $$(1+x)^\alpha -1=\alpha x+o(x)$$


   \end{enumerate}

\end{document}