Co do samego wpisania rzeczy do tej tabeli, to masz odwrotną kolejność. Najpierw musisz je wpisać, a dopiero potem wypisać (funkcją showTable dla przykładu):

function pushParams(){
	params.progres.push({
		round : params.round,
		playerMove : playerChoice,
		computerMove : computerChoice,
		result : params.playerScore + " : " + params.computerScore,
		lastWinner : params.winner,
	});
}

Tutaj akurat rzeczy wrzucane do tej tablicy to albo parametry globalne obiektu (params.round) albo zmienne globalne zmieniane w trakcie gry (playerChoice, computerChoice)

Próbujesz odwzorować (wypisać) tę tabelkę 1:1 praktycznie kodem z zadania z boxami, a to można zrobić prościej, np tak:

function showTable(){
	scoreModal.innerHTML += '';
	for (var i = 0; i < params.progres.length; i++) {
    scoreModal.innerHTML +=
      '<tr><td>' +
      params.progres[i].round +
      '</td><td>' +
      params.progres[i].playerMove +
      '</td><td>' +
      params.progres[i].computerMove+
      '</td><td>' +
      params.progres[i].lastWinner+
      '</td></tr>';
}