\documentclass[a4paper,titlepage,10pt]{article}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{times}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{url}
\usepackage{rotating}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\usepackage{caption}
\usepackage{titlesec}
\titlelabel{\thetitle.\quad}
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelsep=space,justification=justified,singlelinecheck=off}
\usepackage{amsmath}


\begin{document}
\section{Cel ćwiczenia}
Celem ćwiczenia było zapoznanie się z ruchem drgającym wahadła fizycznego i wyznaczenie momentu bezwładności  brył sztywnych przez pomiar okresu drgań wahadła oraz na podstawie wymiarów geometrycznych.

\section{Układ pomiarowy}
\begin{itemize}
\item Statyw na którym zawiesiliśmy bryłę sztywną.
\item Pręt i pierścień.
\item Metalowy przymiar milimetrowy
\item Suwmiarka.
\item Waga elektroniczna.
\item Sekundomierz.
\end{itemize}

\section{Wykonanie ćwiczenia}
\begin{enumerate}
\item Zmierzyliśmy masę pręta i pierścienia.
\item Wyznaczyliśmy rozmiary pierścienia i uzupełniliśmy tabelki.
\item Umieściliśmy kolejno pręt i pierścień na statywie, wprowadziliśmy go w ruch drgający o amplitudzie nie przekraczającej trzech stopni i zmierzyliśmy czas kilkudziesięciu drgań, dziesięciokrotnie potworzyliśmy pomiar zarówno dla pręta jak i pierścienia. Wyniki zanotowaliśmy w tabelkach.
\end{enumerate}

\section{Wyniki pomiarów}
\begin{table}[!htbp]
\caption{Pomiar masy i długości}
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
\multicolumn{3}{|c|}{Pręt} \\ \hline
 & wartość & niepewność \\ \hline
 m[g] & 685 & 1 \\ \hline
 l[mm] & 746 & 1 \\ \hline
 b[mm] & 97 & 1 \\ \hline
 a[mm] & 276 & 1 \\ \hline
\end{tabular}

 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
\multicolumn{3}{|c|}{Pierścień} \\ \hline
 & wartość & niepewność \\ \hline
 m[g] & 685 & 1 \\ \hline
 $D_{w}$[mm] & 74,6 & 1 \\ \hline
 $D_{z}[mm]$ & 97 & 1 \\ \hline
 $R_{z}[mm]$ & 276 & 1 \\ \hline
 e[mm] & 11 & 0,05 \\ \hline
 a[mm] &13.5 & 1,05 \\ \hline
\end{tabular}

\end{table}

\begin{table}[!htbp]
\caption{Pomiar okresu drań}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
\multicolumn{4}{|c|}{Pręt} \\ \hline
Lp. & Liczba okresów k & Czas t[s] dla k okresów & Okres $T_{i}[s]$ \\ \hline
1 & 30 & 39.32 & 1.310 \\ \hline
2 & 30 & 39.16 & 1.305 \\ \hline
3 & 30 & 39.57 & 1.319 \\ \hline
4 & 30 & 38.91 & 1.297 \\ \hline
5 & 30 & 39.39 & 1.312 \\ \hline
6 & 30 & 39.16 & 1.304 \\ \hline
7 & 30 & 40.02 & 1.334 \\ \hline
8 & 30 & 39.27 & 1.309 \\ \hline
9 & 30 & 38.97 & 1.299 \\ \hline
10 & 30 & 39.44 & 1.314 \\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Wartość średnia okresu $1.3103$} \\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Niepewność  $u(t): 3.38 * 10^{-3}$} \\ \hline


\end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
\multicolumn{4}{|c|}{Pręt} \\ \hline
Lp. & Liczba okresów k & Czas t[s] dla k okresów & Okres $T_{i}[s]$ \\ \hline
1 & 30 & 30.68 & 1.023 \\ \hline
2 & 30 & 30.75 & 1.025 \\ \hline
3 & 30 & 30.87 & 1.029 \\ \hline
4 & 40 & 40.93 & 1.023 \\ \hline
5 & 40 & 40.81 & 1.020 \\ \hline
6 & 30 & 30.52 & 1.017 \\ \hline
7 & 30 & 31.02 & 1.034 \\ \hline
8 & 40 & 41.11 & 1.028 \\ \hline
9 & 40 & 40.57 & 1.014 \\ \hline
10 & 30 & 30.65 & 1.022 \\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Wartość średnia okresu $T: 1.0235$} \\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Niepewność  $u(t): 3.38 * 10^{-3}$} \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\section{Opracowanie wyników pomiaru}
\subsection{Dla pręta}

Ad.1
\begin{equation}
T = 2 * \pi \sqrt{\frac{I_{0}}{mga}}
\end{equation}

Po przekształceniu:

\begin{equation}
I_{0} = \frac{m g a T^{2}}{4 * \pi^2{2}}
\end{equation}

\noindent Gdzie:\newline
m - masa \newline
g - przyśpieszenie grawitacyjne \newline
a - odległość punktu zawieszenia od środka pręta\newline
T - okres \newline


\begin{equation}
I_{0} = \frac{0,658 * 9,81 * 0,097 * 1,3103}{4 * 3,14^{2}} = 2,14 * 10^{-2}
\end{equation}

ad 2. \newline

\begin{equation}
I_{s} = I_{0} - m \cdot a^{2}
\end{equation}

\begin{equation}
I_{s} = 2,14 \cdot 10^{-2} - 0,658 \cdot 0,097^{2} = 1,5 \cdot 10^{-2}
\end{equation}

\begin{equation}
I_{s}^{geom} = \frac{1}{12} m \cdot l^{2}
\end{equation}

\noindent m - masa pręta \newline
l - długość pręta

\begin{align*}
I_{s}^{geom} = \frac{1}{12} \cdot 0,658 \cdot 0,746^{2} = 4,6 \cdot 10^{-2}
\end{align*}



\end{document}