API tools faq
paste
Advertisement
Guest User

Untitled

a guest
Sep 19th, 2019
147
0
Never
Add comment
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
text 26.86 KB | None | 0 0
raw download clone embed print report
  1. \documentclass[10pt]{article}
  2. \usepackage[utf8]{inputenc}
  3. \usepackage[russian]{babel}
  4. \usepackage{amsmath}
  5. \usepackage{amsfonts}
  6. \usepackage{amssymb}
  7. \usepackage{latexsym}
  8. \usepackage[left=3cm,right=3cm,
  9. top=2cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
  10. \begin{document}
  11. \large{ \begin{center}
  12. \textbf{Летняя практика}
  13. \end{center}}
  14. \textit{\textbf{Цель}: доказать, что $dim\ var_{k} P = dim\ var_{n-k} P$, где $var_{k}\ P$ - это векторное подпространство в $\mathbb{R}[x_1, \dots, x_m]_{n-k}$, порожденное всеми частными производными порядка k от P.} \\ \\
  15. Будем решать нашу задачу пошагово. \\ \\
  16. \textbf{1.1) Докажем, что $Ann P$ есть векторное пространство.} \\
  17. Проверим первое условие, если $x,\ y \in Ann P$, то $x + y \in Ann P$ \\
  18. $(x + y)P = xP + yP = 0 + 0 = 0 \Rightarrow x + y \in Ann P$ \\
  19. Проверим второе условие, если $x \in AnnP$ и $\lambda \in \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ - это поле, то $\lambda x \in AnnP$ \\
  20. $(\lambda x)P = \lambda(xP) = \lambda * 0 = 0 \Rightarrow \lambda x \in AnnP$ \\ \\
  21. Проверим 8 аксиом векторного пространства : \\
  22. 1) Ассоциативность сложения : $(x + y) + z = x + (y + z),\ \forall\ x, y, z \in AnnP$ \\
  23. Так как векторы - это многочлены, их сложение ассоциативно \\
  24. 2) Нейтральный элемент : 0 $\in AnnP$, так как $0P = 0$ \\
  25. 3) Обратный элемент : $x^{-1} = -x, \ \forall\ x \in AnnP$,\ $x + (-x) = 0$ \\
  26. 4) Коммутивность сложения : $x + y = y + x \ \forall \ x, y \in AnnP$ выполняется, так векторы - многочлены \\
  27. 5) Нейтральный элемент единица присутствует: $1x = x1 = x \ \forall \ x \in AnnP$ \\
  28. 6) Ассоциативность умножения на скаляр присутствует : $\lambda (\mu x) = (\lambda \mu)x $ \\
  29. 7) Дистрибутивность умножения на скаляп пристуствует : $(\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x$ \\
  30. 8) Дистрибутивное умножение относительно векторов : $\lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y$ \\
  31. Все аксиомы выполнены $\Rightarrow AnnP$ - векторное пространство. \\ \\
  32. \textbf{1.2) Докажем, что $AnnP$ является идеалом в $\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]$}. \\ \\
  33. Проверим, что $AnnP$ - абелева группа по сложению \\
  34. 1) Ассоциативность есть \\
  35. 2) Нейтральный элемент - 0 есть \\
  36. 3) Обратный для каждого многочлена есть : $-x$ \\
  37. 4) Коммутативность сложения есть (так как элементы группы - многочлены) \\ \\
  38. Проверим условие идеала : $\forall x \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m] $ и $\forall y \in AnnP : xy \in AnnP$ \\
  39. $xyP = x(yP) = x * 0 = 0 \in AnnP$ верно, так как дифференциальные операторы ассоциативны. \\
  40. Все условия выполнены $\Rightarrow AnnP$ - это идеал. \\ \\
  41. \textbf{2) Докажем, что $dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/Ann_kP) = dim\ var_kP$}. \\ \\
  42. Для начала поймем, что $\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/Ann_kP$ - это фактор пространство, где элементы имеют вид : $x + Ann_kP$, где $ x \notin Ann_kP$, они являются линейными многообразиями, если говорить на языке линейной алгебры \\ \\ \\
  43. Введем такое отображение, у которого $Im\phi = var_kP$, а $Ker\phi = Ann_kP$, наше отображение будет действовать на многочлен $P$ так, что будет браться производная $k$ - ого порядка от многочлена $P$, поэтому образом этого отображения как раз будут все многочлены порядка $n - k$, полученные взятием производной порядка $k$ от многочлена $P$, а это по определению $var_kP$, ядром же будут многочлены состовляющие аннигилятор $P$, тогда по известой нам формуле:
  44. $$ dim(Im\phi) + dim(Ker\phi) = dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m])$$ Заменим ядро и образ в этой формуле: $$dim(var_kP) + dim(Ann_kP) = dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]) $$
  45. \textbf{Теперь докажем утверждение: если $S$ - векторное пространство, $P$ - его подпространство, то $dim(S/P) = dim(S) - dim(P)$}. \\ \\
  46. Пусть $e_1 \dots e_m$ - базис $S$, $e1 \dots e_z$ - базис $P$, тогда введем отношение эквивалентности на $S$ : $x \sim y(P)$, если $x - y \in P$. \\
  47. 1) Рефлексивность выполняется : $x - x = 0 \in P$ \\
  48. 2) Симметричность выполняется : $x - y \in P \Rightarrow y - x \in P$, так как $P$ - векторное пространство \\
  49. 3) Транзитивность выполняется : $x - y \in P $ и $y - z \in P \Rightarrow x - y + y - z = x - z \in P$ \\
  50. Заметим, что если $x \in P$, то $x \equiv 0(P)$, так как $x - x \in P$. \\
  51. Любой вектор $x$ представим в виде линейной комбинации базисных векторов, тогда $x = a_1e_1 + \dots + a_me_m$, возьмем по модулю P, тогда все базисные векторы, которые порождают $P$ обнулятся, тогда $\forall x \in S$, который $\notin P$ представляется в виде линейной комбинации $a_{z+1}e_{z+1} \dots + a_me_m$, значит факторпространство $S/P$ порождено векторами $e_{z+1}, \dots, e_m$, значит $dim(S/P) = dim(S) - dim(P)$. \\
  52. Применим полученный результат:
  53. \begin{equation*}
  54. \begin{cases}
  55. dim(var_kP) + dim(Ann_kP) = dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m])
  56. \\
  57. dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/Ann_kP) + dim(Ann_kP) = dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m])
  58. \end{cases}
  59. \end{equation*}
  60. Отсюда видно, что $dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/Ann_kP) = dim(var_kP)$ \\ \\
  61. \textbf{3) Докажем, что $\tilde{l}p$ задает корректное отображение $l_p$}. \\ \\
  62. Зададим наше отображение $l_p$ так : $(x + Ann_kP) \times (y + Ann_{n-k}P) \to xyP$, $x \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]_k,\ x \notin Ann_kP,\ y \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]_{n-k},\ y \notin Ann_{n-k}P$, проверим его корректность: \\
  63. Возьмем $h_1 \in Ann_kP$ и $h_2 \in Ann_{n-k}P$, тогда перемножим по нашему отображению и посмотрим, что получится : \\
  64. $(x + h_1) \times (y + h_2) \to ((x + h_1) \times (y + h_2))P = (xy + xh_2 + h_1y + h_1h_2)P = xyP + h_1yP + xh_2P + h_1h_2P = xyP$, все члены, где есть $h_i$ обнуляются, так как умножение ассоциативно и коммутативно и $h_i \in Ann_iP$, поэтому отображение корректно. Так же стоит сказать, что мы должны получить $a \in \mathbb{R}$, мы это получаем, так как при умножении многочлена $P$ на и на $x$, и на $y$(взятие производной $n$ - ого порядка) мы получаем либо ненулевое число, либо ноль. \\ \\
  65. Докажем, что отображение билинейно: \\
  66. Рассмотрим для одного аргумента, так как для второго аналогично, $((\lambda x_1 + h_{11} + \mu x_2 + h_{12}) \times (y + h_2))P = (\lambda x_1y + \lambda x_1h_2 + h_{11}y + h_{11}h_2 + \mu x_2y + \mu x_2h_2 + h_{12}y + h_{12}h_2)P = \lambda x_1yP + \mu x_2yP = ((\lambda x_1 + h_{11}) \times (y + h_2))P + ((\mu x_2 + h_{12}) \times (y + h_2))P$, значит билинейно по каждому аргументу. \\
  67. Теперь докажем, что это отображение невырождено: \\
  68. Берем $x \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]_k$, такой что $x \notin Ann_kP$(условие того что $v \neq 0$), умножаем $v + Ann_kP$ на $P$, получаем многочлен $R \in var_kP$, для которого мы можем подобрать такой дифференциальный оператор $y \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]_{n-k}$, такой что $y \notin Ann_{n-k}P$ и $yR = const \neq 0$, аналогично со вторым аргументом, поэтому отображение $l_p$ невырождено. \\ \\
  69. \textbf{4) Докажем, если $\exists$ невырожденное билинейное отображение $F$ : $V \times W \to \mathbb{R}$, то $dim\ V = dim\ W$ }. \\ \\
  70. Пусть $v_1, \dots, v_n $ - базис в пространстве $V$, а $w_1, \dots, w_k $ - базим в пространстве $W$, тогда матрица билинейной формы $F$ будет выглядеть так:
  71. \begin{equation*}
  72. A_F = \left(
  73. \begin{array}{cccc}
  74. F(v_1, w_1) & F(v_1, w_2) & \ldots & F(v_1, w_k)\\
  75. F(v_2, w_1) & F(v_2, w_2) & \ldots & F(v_2, w_k)\\
  76. \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
  77. F(v_n, w_1) & F(v_n, w_2) & \ldots & F(v_n, w_k)
  78. \end{array}
  79. \right)
  80. \end{equation*}
  81. Допустим, что $n \neq k$ и без ограничения общности $k > n$, тогда наша матрица билинейной формы $A_F$ $\in Mat_{n \times m}(\mathbb{R})$. Пусть $\exists $ \begin{equation*}
  82. \alpha = \left(
  83. \begin{array}{c}
  84. \alpha_1\\
  85. \alpha_2\\
  86. \vdots\\
  87. \alpha_k
  88. \end{array}
  89. \right) \neq
  90. \left(
  91. \begin{array}{c}
  92. 0\\
  93. 0\\
  94. \vdots\\
  95. 0
  96. \end{array}
  97. \right)
  98. \end{equation*}
  99. $\alpha$ таков, что $A_F * \alpha = 0$ (такой $\alpha$ всегда найдется, так как матрица прямоугольная), перемножим и применим свойство билинейности : \\
  100. \begin{equation*}
  101. \left(
  102. \begin{array}{cccc}
  103. F(v_1, w_1) & F(v_1, w_2) & \ldots & F(v_1, w_k)\\
  104. F(v_2, w_1) & F(v_2, w_2) & \ldots & F(v_2, w_k)\\
  105. \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
  106. F(v_n, w_1) & F(v_n, w_2) & \ldots & F(v_n, w_k)
  107. \end{array}
  108. \right)
  109. \left(
  110. \begin{array}{c}
  111. \alpha_1\\
  112. \alpha_2\\
  113. \vdots\\
  114. \alpha_k
  115. \end{array}
  116. \right) =
  117. \end{equation*}
  118. \begin{equation*}
  119. \left(
  120. \begin{array}{c}
  121. F(v_1, w_1)\alpha_1 + F(v_1, w_2)\alpha_2 + \ldots + F(v_1, w_k)\alpha_k\\
  122. F(v_2, w_1)\alpha_1 + F(v_2, w_2)\alpha_2 + \ldots + F(v_2, w_k)\alpha_k\\
  123. \vdots\\
  124. F(v_n, w_1)\alpha_1 + F(v_n, w_2)\alpha_2 + \ldots + F(v_n, w_k)\alpha_k
  125. \end{array}
  126. \right) =
  127. \left(
  128. \begin{array}{c}
  129. F(v_1, \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \ldots + \alpha_k w_k)\\
  130. F(v_2, \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \ldots + \alpha_k w_k)\\
  131. \vdots\\
  132. F(v_n, \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \ldots + \alpha_k w_k)
  133. \end{array}
  134. \right)
  135. \end{equation*}
  136. Вектор $x = \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \ldots + \alpha_k w_k \neq 0 \in W$ (Не равен 0, так как все коэффициенты оновременно не равны нулю и $w_i$ - вектор базиса $W$. \\
  137. Получили, что $\forall\ y = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \ldots + \beta_n v_n\in V$ : \\
  138. $F(y, x) = \beta_1 F(v_1, x) + \dots + \beta_n F(v_n, x) = 0$, получили противоречие с условием невырожденности формы, значит матрица должна быть квадратной, значит $dim\ V = dim\ W$. \\ \\
  139. \textbf{5) Докажем, что $\mathcal{A}(P) = \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/AnnP$ является алгеброй с двойственностью Пуанкаре.} \\ \\
  140. Для начала докажем, что $\mathcal{A}(P)$ является алгеброй: \\
  141. Мы можем воспринимать $\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]$ - $AnnP$ как векторное пространство - подпространство, так и кольцо - идеал, поэтому у нас получается $\mathcal{A}(P)$ является одновременно и факторкольцом и факторпространством, значит оно является факторалгеброй. \\ \\
  142. Теперь дадим определение \textbf{градуированной алгебры}:
  143. Алгебра $A$ называется градуированной, если $A$ можно градуировать так, что, $A = \bigoplus_{i=0}^{\infty}A_i = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \dots$, где $i$ - это степень всех элементов, входящих в $A_i$, причем если $a \in A_i$, $b \in A_j$, то $ab \in A_{i+j}$. \\ \\
  144. Дадим определение \textbf{алгебры с двойственностью Пуанкаре} - это такая алгебра $A$, которая удовлетворяет трем условиям : \\
  145. 1) $A$ можно градуировать на конечное количество $A_i$, то есть $A = \bigoplus_{i=0}^{n}A_{i}$, число $n$ называется формальной размерностью $A$ \\
  146. 2) $dimA_0 = 1$ и $dimA_n = 1$, причем $A_n \cong \mathbb{Q}$ \\
  147. 3) Умножение $A_i \times A_{n-i} \to A_n \cong \mathbb{Q}$ задает билинейную форму, причем эта форма невырождена \\ \\
  148. Докажем, что $\mathcal{A}(P)$ является алгеброй с двойственностью Пуанкаре:\\
  149. 1) Градуировать $\mathcal{A}(P)$ мы можем, в каждый $A_i$ войдут мономы степени $i$, $A_i$ будет конечно, так как степень $P = n$ \\
  150. 2) $dimA_0 = 1$, так как это будут $const$, а их пораждает $1$, $dimA_n = 1$, так как есть лишь один многочлен $Z \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]$ степени $n$, такой что $Z \notin AnnP$ и $ZP = const$ \\
  151. 3) С умножением мы разобрались в прошлых пунктах и доказали, что требуемое билинейное отображение действительно является корректным и невырожденным \\
  152. \\
  153. Разберем пример алгебры с двойственностью Пуанкаре: \\
  154. Возьмем фактор алгебру $A = \mathbb{Q}[v_1, v_2, v_3]/(v_1^2 + v_2v_3, v_2 + v_3, v_1v_2v_3)$, видно что идеал, по которому берем фактор - однородный, значит алгебра, которая получится в результате фактора - будет градиентной. Построим таблицу для удобства : \\ \\
  155. \begin{tabular}{ | c | c | c | }
  156. \hline
  157. $i$ & базис $\mathbb{Q}[v_1, v_2, v_3]_i$ & $dim\ \mathbb{Q}[v_1, v_2, v_3]_i$ \\ \hline
  158. 0 & $1$ & 1 \\
  159. 1 & $v_1, v_2, v_3$ & 3 \\
  160. 2 & $v_1^2, v_2^2, v_3^2, v_1v_2, v_2v_3, v_1v_3$ & 6 \\
  161. 3 & $v_1^3, v_2^3, v_3^3, v_1v_2^2, v_1v_3^2, v_1^2v_2, v_1^2v_3, v_2^2v_3, v_3^2v_2, v_1v_2v_3$ & 10 \\
  162. \hline
  163. \end{tabular} \\ \\
  164. Не сложно заметить, что $dim\ \mathbb{Q}[v_1, v_2, v_3]_i = \binom{2 + i}{2}$. \\ Теперь попытаемся понять какова будет размерность $A_i$. \\
  165. 1) $dimA_0 = 1$, по условию двойственности, и это правда, базисом будет $1$. \\
  166. 2) $dimA_1$. В нашем идеале $v_2 + v_3 = 0 \Rightarrow v_2 = v_3$, значит $A_1$ порождена $v_1$ и $v_2 \Rightarrow dimA_1 = 2$ \\
  167. 3) $dimA_2$. $v_1^2 + v_2v_3 = 0 \Rightarrow v_1^2 = v_2v_3$, можем так же используя многочлен из идеала меньшего порядка вывести еще несколько равенст чтобы сократить количество векторов в базисе. \begin{equation*}
  168. \begin{cases}
  169. v_1(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_1v_2 = v_1v_3 \\
  170. v_2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_2^2 = v_2v_3 \\
  171. v_3(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_3v_2 = v_3^2
  172. \end{cases}
  173. \end{equation*}
  174. Получили, что $A_2$ порождают только $v_2v_3$ и $v_1v_2 \Rightarrow dimA_2 = 2$ \\
  175. 4) $dimA_3$. $v_1v_2v_3 = 0$, выведем остальные равенства.
  176. \begin{equation*}
  177. \begin{cases}
  178. v_1^2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_1^2v_2 = v_1^2v_3 \\
  179. v_2^2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_2^3 = v_2^2v_3 \\
  180. v_3^2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_3^2v_2 = v_3^3 \\
  181. v_1v_2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_1v_2^2 = 0 \\
  182. v_1v_3(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_1v_3^2 = 0 \\
  183. v_2v_3(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_3v_2^2 = v_2v_3^2 \\
  184. v_1(v_1^2 + v_2v_3) = 0 \Rightarrow v_1^3 = 0 \\
  185. v_2(v_1^2 + v_2v_3) = 0 \Rightarrow v_1^2v_2 = v_2^2v_3 \\
  186. v_3(v_1^2 + v_2v_3) = 0 \Rightarrow v_1^2v_3 = v_2v_3^2 \\
  187. \end{cases}
  188. \end{equation*} \\
  189. Из равенств находим, что $A_3$ порождает только $v_2v_3^2 \Rightarrow dimA_3 = 1$ \\
  190. Если рассматривать большие $i$, то таким же методом придем к тому, что $dimA_i = 0$, при $i > 3$. Пришли к тому, что наша алгебра $A = \bigoplus_{i=0}^3A_i$, $dimA_i = 1$, при $i = 0, 3$. Можем наблюдать некую симмеричность в размерностях, этим свойством обладают все алгебры с двойственностью Пуанкаре.
  191. \\ \\
  192. \textbf{6) Покажем, что любой фактор кольца многочленов, являющийся алгеброй с двойственностью Пуанкаре, может быть получен как $\mathcal{A}(P) = \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m] / AnnP$ для некоторого однородного многочлена $P$, это утверждение называется двойственностью Маколея.} \\ \\
  193. Дадим определение \textbf{алгебры, порожденной компонентной:} \\
  194. Говорят, что алгера $A = \bigoplus_{i=0}^{\infty}A_i$ порождена компонентой $A_1$, если $\exists v_1, \dots, v_s \in A_1$, такие что любой элемент алгебры $A$ представляется как многочлен от $v_1, \dots, v_s$. \\
  195. Будем рассматривать нашу алгебру $\mathcal{A}(P)$ со стороны сложения как векторное пространство, покажем что из любого однородного многочлена $P$ степени $n$ можно получить алгебру с двойственностью Пуанкаре, и наоборот имея алгебру $A$ и ее порождающие $v_1, \dots, v_s$ можно получить многочлен $P$ : \\
  196. 1) $\Rightarrow$ : Пусть есть многочлен $P,\ dimP = n$. Мы знаем что $AnnP$ - идеал в кольце многочленов дифференцальных операторов, более того этот идеал однородный, так его можно породить однородными дифференциальными многочленами, поэтому при взятии фактора по однородному идеалу, мы получаем градуированную алгебру с двойственностью Пуанкаре $\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m] / AnnP$, ее порождающими будут $\partial_1, \dots, \partial_m$ (так как любой элемент алгберы сможем представить как многочлен от этих порождающих). \\
  197. 2) $\Leftarrow$ : Пусть дана алгебра с двойственностью Пуанкаре, ее порождающие $v_1, \dots v_s$. \\
  198. Докажем лемму : $\frac{1}{n!}(c_1\partial_1 + \dots + c_m\partial_m)^nP(x_1, \dots, x_m) = P(c_1, \dots, c_m)$, $n$ - степень каждого монома в $P$. \\
  199. Суть леммы заключатеся в том, что если мы возьмем линейную комбинацию порождающих алгебры с формальной размерностью $n$, то при действии дифференциального оператора $\frac{1}{n!}(c_1v_1 + \dots + c_mv_m)^n$ на многочлен $P(x_1, \dots, x_m)$ мы получим значение этого многочлена, просто подставив в него наши коэффициенты из поля. \\
  200. Доказательство простое, можно заметить, что моном из дифференциального многочлена не обнулит только соотвествующий моном из $P$ (то есть у мономов степени соотвестующих переменных с индексом $i$ равны), факториал в знаменателе нужен для того чтобы убрать факториалы которые появляются при взятии производной от переменной. Так как мы берем производную $n$ - ого порядка, то многочлен $P$ станет числом, получим сумму чисел, каждая и которых получается при подстановке в моном из $P$ чисел $c_1 \dots, c_m$. \\
  201. Посмотрим пример : \\
  202. $\frac{1}{2!}(2\partial_1 + 3\partial_2 + \partial_3)^2(x_1^2 + 3x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_3^2)$ = \\ $\frac{1}{2}(4\partial_1^2 + 12\partial_1\partial_2 + 4\partial_1\partial_3 + 9\partial_2^2 + 6\partial_2\partial_3 + \partial_3^2)(x_1^2 + 3x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_3^2)$ = \\ $\frac{1}{2}(4 * 2 + 2 * 2 + 12 * 3 + 4 * 4)$ = $(4 + 2 + 6 * 3 + 2 * 4) = (2^2 + 3 * (2 * 3) + 4 * (2 * 1) + 2 * (1^2))$ - могли получить то же самое, подставив вместо $x_i$ соотвествующий $c_i$.\\
  203. Доказали то, что $\forall$ алгебры с двойственносью Пуакаре, являлющейся фактором кольца $\exists$ многочлен $P$. \\
  204.  
  205. \textbf{7) Приведем пример алгебры с двойственностью Пуанкаре, где $d_i$ будут меняться не унимодально.} \\ \\
  206. Пусть $S$ - $G$-алгебра(градуированная), $E = Hom_K(S, K)$ - множество линейных функций из $S$ в кольцо $K$, введем $R = S \times E$ - прямое произведение, элементы которого выглядят так : $(x, \phi)$, где $x \in S$, $\phi \in E$. На $R$ введена операция умножения : $(x, \phi) * (y, \psi) = (xy, x\psi + y\phi) $, операция корректна, так как сумма двух отображений - это отображение и $x\phi(y) = \phi(xy)$, где $x, y \in S$, а $\phi \in E$, по сложению $R$ является векторным пространством, так сумма двух элементов - это покомпонентное сложение, умножение на скаляр так же корректно, а с введенным умножением $R$ является алгеброй. $R$ является $k$-алгеброй(алгеброй над кольцом). Важное замечание, что $R$ может быть стандартно градуирована тогда и только тогда, когда может быть стандартно градуирована алгебра $S$, так как $S$ - это $G$-алгебра, то $R$ можно градуировать, причем градуировать так, чтобы ее функция Гильберта удовлетворяла таким равенствам:
  207. \begin{equation*}
  208. \begin{cases}
  209. H(R, n) = H(S, n) + H(S, s + 1 - n),\ if\ 0 \leqslant n \leqslant s + 1\\
  210. H(R, n) = 0, \ if\ n > s + 1 \\
  211. \end{cases}
  212. \end{equation*}
  213. Теперь возьмем $S = K[x_1, x_2, x_3]/(x_1, x_2, x_3)^4$(идеал состоит из всех мономов от переменных $x_1, x_2, x_3$ степени 4), если провести ее градуировку, и посчитать первые 4 размерности ее компонент $S_i$(как мы проделали в примере в пункте 5), то можно ввести ее функциональнальный ряд Пуанкаре с переменной $\lambda$ : $1 + 3\lambda + 6\lambda^2 + 10\lambda^3 +0\lambda^4$, коэффициенты при $\lambda^{i}$ - это $dimS_i$. Тогда функциональный ряд Пуанкаре алгебры $R$ можем посчитать, используя функцию Гильберта, получится что мы как бы перевернем функциональный ряд Пуанкаре алгебры $S$ и покомпонентно сложим с исходным рядом, (1, 3, 6, 10, 0) + (0, 10, 6, 3, 1), получим функциональный ряд $R$ : $1 + 13\lambda + 12\lambda^2 + 13\lambda^3 + 1\lambda^4$. Так как мы ввели нашу алгебру через k-алгебру, которая является градуированной, то $R$ так же градуирована и удовлетворяет условиям двойственности Пуанкаре, этот пример показывает, что не для любого идеала размерности компонент факторалгебры будут изменяться унимодально.
  214. \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement
Public Pastes
Advertisement
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy.  OK, I Understand
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up, it unlocks many cool features!