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Jan 6th, 2017
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  1. \documentclass[11pt]{article}
  2.  
  3. \usepackage[utf8]{inputenc}
  4. \usepackage[T1]{fontenc}
  5. \usepackage[francais]{babel}
  6. \usepackage[top=1.5cm, bottom=1.5cm, left=1.5cm, right=1.5cm]{geometry}
  7. \usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs}
  8.  
  9. \pagestyle{empty}
  10.  
  11. \begin{document}
  12. Simon \bsc{Léonard} \FrenchEnumerate{2}8
  13. \fontfamily{phv}\selectfont
  14.     \begin{center}\LARGE{Devoir maison}\end{center}
  15.  
  16.     {\Large Exercice 25p141}
  17.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  18.             \begin{align*}
  19.                 M &= (23x+1) (-17x+1) + (23x+1)^2\\
  20.                 &= (23x+1) \bigl[(-17x+1) + (23x+1)\bigr]\\
  21.                 &= (23x+1) (6x+2)
  22.             \end{align*}
  23.  
  24.             \begin{align*}
  25.                 A &= (13x-14)(25x-11)-(13x-14)^2\\
  26.                 &= (13x-14) \bigl[(25x-11)-(13x-14)\bigr]\\
  27.                 &= (13x-14) (25x-11-13x+14)\\
  28.                 &= (13x-14) (12x+3)
  29.             \end{align*}
  30.             \begin{align*}
  31.                 N &= (8-18x)^2-(16x-3)(8-18x)\\
  32.                 &= (8-18x) \bigl[(8-18x)-(16x-3)\bigr]\\
  33.                 &= (8-18x) (8-18x-16x+3)\\
  34.                 &= (8-18x) (-34x+11)
  35.             \end{align*}
  36.             \begin{align*}
  37.                 U &= (11-2x)(9-7x)+(2x-11)(11x+2)\\
  38.                 &=(11-2x)(9-7x)-(11-2x)(11x+2)\\
  39.                 &= (11-2x)\bigl[(9-7x)-(11x+2)\bigr]\\
  40.                 &= (11-2x)(9-7x-11x-2)\\
  41.                 &= (11-2x)(-18x+7)
  42.             \end{align*}
  43.         \end{minipage}
  44.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  45.             \begin{align*}
  46.                 E &= (6x+23)(6x-5)-(19x-6)(5-6x)\\
  47.                 &=(6x+23)(6x-5)+(6x-5)(19x-6)\\
  48.                 &=(6x-5)(6x+23+19x-6)\\
  49.                 &= (6x-5)(25x+17)
  50.             \end{align*}
  51.             \begin{align*}
  52.                 L &= (16x+13)(21x-3)+(16x+13)\\
  53.                 &= (16x+13)(21x-3+1)\\
  54.                 &= (16x+13)(21x-2)
  55.             \end{align*}
  56.             \begin{align*}
  57.                 S&=(-14x+5)-(4x-7)(-14x+5)\\
  58.                 &=(-14x+5)(1-4x+7)\\
  59.                 &= (-14x+5)(-4x+8)
  60.             \end{align*}
  61.         \end{minipage}
  62.  
  63.     {\Large Exercice 26p141}
  64.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  65.             \begin{align*}
  66.                 H&=x^2-121\\
  67.                 &= (\sqrt{x^2}+\sqrt{121})(\sqrt{x^2}-\sqrt{121})\\
  68.                 &= (x+11)(x-11)
  69.             \end{align*}
  70.             \begin{align*}
  71.                 E&=(x-4)^2-36\\
  72.                 &=\Bigl[\sqrt{(x-4)^2}+\sqrt{36}\Bigr]\\
  73.                 &\quad\times\Bigl[\sqrt{(x-4)^2}-\sqrt{36}\Bigr]\\
  74.                 &=(x-4+6)(x-4-6)\\
  75.                 &=(x+2)(x-10)
  76.             \end{align*}
  77.  
  78.             \begin{align*}
  79.                 R&=x^2-5\\
  80.                 &= (\sqrt{x^2}+\sqrt{5})(\sqrt{x^2}-\sqrt{5})\\
  81.                 &= (x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})
  82.             \end{align*}
  83.         \end{minipage}
  84.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  85.             \begin{align*}
  86.                 T&=25-(2-x)^2\\
  87.                 &=\Bigl[\sqrt{25}+\sqrt{(2-x)^2}\Bigr]\Bigl[\sqrt{25}-\sqrt{(2-x)^2}\Bigr]\\
  88.                 &=(5+2-x)(5-2+x)\\
  89.                 &=(7-x)(3+x)
  90.             \end{align*}
  91.             \begin{align*}
  92.                 Z&=(x+3)^2-(2x+4)^2\\
  93.                 &=\Bigl[\sqrt{(x+3)^2}+\sqrt{(2x+4)^2}\Bigr]\\
  94.                 &\quad\times\Bigl[\sqrt{(x+3)^2}-\sqrt{(2x+4)^2}\Bigr]\\
  95.                 &=(x+3+2x+4)(x+3-2x-4)\\
  96.                 &=(3x+7)(-x-1)
  97.             \end{align*}
  98.         \end{minipage}
  99.  
  100.     \newpage
  101.     {\Large Exercice 28p142}
  102.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  103.             \begin{align*}
  104.                 T&=9x^2+12x+4\\
  105.                 &=(3x+2)^2
  106.             \end{align*}
  107.             \begin{align*}
  108.                 H&=x^2+169-26x\\
  109.                 &=(x-13)^2
  110.             \end{align*}
  111.             \begin{align*}
  112.                 A&=144x+144x^2+36\\
  113.                 &=(12x+6)
  114.             \end{align*}
  115.         \end{minipage}
  116.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  117.             \begin{align*}
  118.                 L&=49x^2+25-70x\\
  119.                 &=(7x-5)^2
  120.             \end{align*}
  121.             \begin{align*}
  122.                 E&=9x^2-24x+16\\
  123.                 &=(3x-4)^2
  124.             \end{align*}
  125.             \begin{align*}
  126.                 S&=-22x+121x^2+1\\
  127.                 &=(11x-1)^2
  128.             \end{align*}
  129.         \end{minipage}
  130.  
  131.     {\Large Exercice 29p142}
  132.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  133.             \begin{align*}
  134.                 P &=(6x-4)(2x+5)-(3x+2)(2x+5)\\
  135.                 &=(2x+5)\bigl[(6x-4)-(3x+2)\bigr]\\
  136.                 &=(2x+5)(6x-4-3x-2)\\
  137.                 &=(2x+5)(3x-6)
  138.             \end{align*}
  139.             \begin{align*}
  140.                 Y&=(4x-5)^2-(9-13x)^2\\
  141.                 &=(4x-5+9-13x)(4x-5-9+13x)\\
  142.                 &=(-9x+4)(17x-14)
  143.             \end{align*}
  144.         \end{minipage}
  145.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  146.             \begin{align*}
  147.                 T&=25x^2+9-30x\\
  148.                 &=(5x-3)^2
  149.             \end{align*}
  150.             \begin{align*}
  151.                 H&=(5x-7)(3x-2)-(x-8)(3x-2)\\
  152.                 &=(3x-2)(5x-7-x+8)\\
  153.                 &=(3x-2)(4x-1)
  154.             \end{align*}
  155.         \end{minipage}
  156.  
  157.     {\Large Exercice 30p142}
  158.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  159.             \begin{align*}
  160.                 M&=(4x-3)^2-28x+21\\
  161.                 &=(4x-3)^2-7(4x-3)\\
  162.                 &=(4x-3)(4x-3-7)\\
  163.                 &=(4x-3)(4x-10)
  164.             \end{align*}
  165.             \begin{align*}
  166.                 A&=5x-7+(7-5x)^2\\
  167.                 &=(7-5x)^2-(7-5x)\\
  168.                 &=(7-5x)(7-5x-1)\\
  169.                 &=(7-5x)(6-5x)
  170.             \end{align*}
  171.         \end{minipage}
  172.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  173.             \begin{align*}
  174.                 T&=-4x^2+20x-25+4x^2-25\\
  175.                 &=-50+20x\\
  176.                 &=-10(5-2x)
  177.             \end{align*}
  178.             \begin{align*}
  179.                 H&=(5x-3)^2-(3-2x)^2\\
  180.                 &=\bigl[ (5x-3)+(3-2x) \bigr]\bigl[ (5x-3)-(3-2x) \bigr]\\
  181.                 &=3x(7x-6)
  182.             \end{align*}
  183.         \end{minipage}
  184.  
  185.     {\Large Exercice 31p142}
  186.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  187.             \begin{align*}
  188.                 S&=(3x+2)(4x-1)+(8x-2)(7x-8)\\
  189.                 &=(3x+2)(4x-1)+2(4x-1)(7x-8)\\
  190.                 &=(4x-1)(3x+2+7x-8)\\
  191.                 &=(4x-1)(10x-6)
  192.             \end{align*}
  193.             \begin{align*}
  194.                 T&=(6x + 1)(3 - x) - 36x^2 + 1\\
  195.                 &=(6x + 1)(3 - x) - (6x+1)(6x-1)\\
  196.                 &=(6x+1)(3-x-6x+1)\\
  197.                 &=(6x+1)(4-7x)
  198.             \end{align*}
  199.             \begin{align*}
  200.                 R &= (4x + 4)(x - 5) + ( 3x + 3)( x - 9)\\
  201.                 &=4(x+1)(x-5)+3(x+1)(x-9)\\
  202.                 &=(x+1)\bigl[ 4(x-5)+3(x-9) \bigr]\\
  203.                 &=(x+1)(4x-20+3x-21)\\
  204.                 &=(x+1)(7x-41)
  205.             \end{align*}
  206.             \begin{align*}
  207.                 O&=(x+1)(7-x)-(-1-x)(x+7)\\
  208.                 &=(x+1)(7-x)+(x+1)(x+7)\\
  209.                 &=(x+1)(7-x+x+7)\\
  210.                 &=14(x+1)
  211.             \end{align*}
  212.         \end{minipage}
  213.         \begin{minipage}[t]{6cm}
  214.             \begin{align*}
  215.                 P&=x^2+6x+9-(2x-3)(x+3)\\
  216.                 &=(x+3)^2-(2x-3)(x+3)\\
  217.                 &=(x+3)(x+3-2x+3)\\
  218.                 &=(x+3)(6-x)
  219.             \end{align*}
  220.             \begin{align*}
  221.                 H&=(3x-4)(x+5)-(-6x+1)(x+5)\\
  222.                 &=(x+5)(3x-4+6x-1)\\
  223.                 &=(x+5)(9x-5)
  224.             \end{align*}
  225.             \begin{align*}
  226.                 E&=(8x-1)^2-(5x+2)(8x-1)\\
  227.                 &=(8x-1)(8x-1-5x-2)\\
  228.                 &=(8x-1)(3x-3)
  229.             \end{align*}
  230.         \end{minipage}
  231.  
  232.     {\Large Exercice 59p142}
  233.         \begin{align*}
  234.             48^2-47^2-46^2+45^2&=\\
  235.             2304-2209-2116+2025&=4
  236.         \end{align*}
  237.         \begin{align*}
  238.             82^2-81^2-80^2+79^2&=\\
  239.             6724-6561-6400+6241&=4
  240.         \end{align*}
  241.         \begin{align*}
  242.             166^2-165^2-164^2+163^2&=\\
  243.             27556-27225-26896+26569&=4
  244.         \end{align*}
  245.         Le résulat de ce programme sera toujours égal à 4.
  246.         \begin{align*}
  247.             n&\in \mathbb{N} \\
  248.             &\quad n^2-(n-1)^2-(n-2)^2+(n-3)^2\\
  249.             &=n^2-(n^2-2n+1)-(n^2-4n+4)+(n^2-6n+9)\\
  250.             &=n^2-n^2+2n-1-n^2+4n-4+n^2-6n+9\\
  251.             &=9-5\\
  252.             &=4
  253.         \end{align*}
  254.         Je n'ai jamais trouvé le même résultat au calcul :
  255.         $$123456789515^2+123456789512^2-(123546879514^2+123456789513^2)$$
  256.         Mais il devrait faire 4 :
  257.         \begin{align*}
  258.             &\quad n^2+(n-3)^2-\bigr[(n-1)^2+(n-2)^2\bigl]\\
  259.             &=n^2+n^2-6n+9-(n^2-2n+1+n^2-4n+4)\\
  260.             &=n^2+n^2-6n+9-n^2+2n-1-n^2+4n-4\\
  261.             &=9-5\\
  262.             &=4
  263.         \end{align*}
  264. \end{document}
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