Advertisement
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up,
it unlocks many cool features!
- \documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
- \usepackage[left=2cm,right=2cm,
- top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
- \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
- \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
- \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
- % Математика
- \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
- \usepackage{amsmath}
- %Заговолок
- \author{Киселев Кирилл, 778}
- \title{Домашнее задание №12}
- \date{\today}
- \begin{document}
- \maketitle
- \newpage
- 3.
- а.) $\mathbb{Q} [x]/(x^4+ 1)$
- Рассмотрим многочлен $x^4 + 1$. Проверим, является ли он приводимым во множестве рациональных чисел.
- Если многочлен приводимый, то имеются рациональные корни. Заметим, что $\forall x \in \mathbb{R}: x^4 + 1 \geq 1 > 0$. То есть уравнение $x^4 + 1 = 0 \Rightarrow$ многочлен является неприводимым. Поэтому данное факторкольцо является полем.\\
- б.) $\mathbb{R} [x]/(x^4+ 1)$
- Рассмотрим многочлен $x^4 + 1$. Во множестве действительных чисел данный мночлен имеет комплексные корни $\pm \sqrt{i}$. То есть многочлен является приводимым. Таким образом, данное факторкольцо не является полем. \\
- в.) $\mathbb{F}_3 [x]/(x^4+ 1)$
- Проверим, имеет ли многочлен $x^4 + 1$ корни в поле чисел $\mathbb{F}_3$
- Переберем всевозможные варианты.\\
- $x = 0 \Rightarrow x^4 + 1 = 0 + 1 = 1 \neq 0$
- $x = 1 \Rightarrow x^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0$
- $x = 2 \Rightarrow x^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0$
- Таким образом, многочлен является неприводимым. Следовательно, данное факторкольцо не является полем.\\
- в.) $\mathbb{F}_3 [x]/(x^4+ 1)$
- Проверим, имеет ли многочлен $x^4 + 1$ корни в поле чисел $\mathbb{F}_3$
- Переберем всевозможные варианты.
- $x = 0 \Rightarrow x^4 + 1 = 0 + 1 = 1 \neq 0$
- $x = 1 \Rightarrow x^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0$
- $x = 2 \Rightarrow x^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0$
- Таким образом, многочлен является неприводимым. Следовательно, данное факторкольцо не является полем.\\
- г.) $\mathbb{F}_{17} [x]/(x^4+ 1)$
- Проверим, имеет ли многочлен $x^4 + 1$ корни в поле чисел $\mathbb{F}_{17}$
- Заметим, что при $x = 8: x^4 + 1 = 8^4 + 1 = 241 = 0$
- Таким образом, данный многочлен является приводимым, поэтому факторкольцо
- $\mathbb{F}_{17}[x]/(x^4+ 1)$ не является полем.\\
- \textbf{Ответ}:
- \begin{enumerate}
- \item да.
- \item нет.
- \item да.
- \item нет.
- \end{enumerate}
- 4.
- Мы знаем, что \[ \forall y \in \mathbb{R}, y \equiv c \text{ } (mod \text{ } 73) \Rightarrow (y - c) \vdots 73 \Rightarrow (y - c) = 73k, \text{ } k \in \mathbb{Z} \]
- Поэтому для нашей задачи мы можем сказать, что \[7x - 2 = 73k, k \in \mathbb{Z} \]
- \[7x - 73k = 2\]
- \[x = \frac{73k + 2}{7} = 10k + \frac{3k + 2}{7}\]
- \[\frac{3k + 2}{7} \in \mathbb{Z} \]
- \[\text{Пусть k = 4} \Rightarrow x = 42\]
- \textbf{\[x = 42 + 73t, t \in \mathbb{Z}\]}
- \textbf{Ответ:} $ x = 42 + 73t, t \in \mathbb{Z} $.
- 5.
- Нам надо проверит простоту элементов в кольце гауссовых целых чисел
- $\mathbb{Z}(i) = \lbrace a + bi: a, b \in \mathbb{Z} \rbrace, i^2 = -1.$
- 1.) Проверим простоту числа 17.
- $17 = (4 - i) (4 + i) = 16 - i^2 = 16 + 1 = 17 \Rightarrow$ число 17 не является простым в кольце гауссовых целых чисел.\\
- 2.)
- Проверим простоту числа 11.
- Пусть 11 является произведением некоторых чисел. Тогда модуль числа 11 есть произвдение модулей чисел в его разложении.
- Тогда $11 = 1 \cdot 11$.
- Но 11 непредставимо в виде суммы двух квадратов. Следовательно, число является простым.\\
- 3.)
- Проверим простоту числа $2 + 3i$.
- $|2 + 3i| = 2^2 + 3^2 = 13$.
- Пусть $2 + 3i$ является произведением некоторых чисел. Тогда модуль числа $2 + 3i$ есть произвдение модулей чисел в его разложении.
- $|2 + 3i| = 2^2 + 3^2 = 13$.
- Тогда $13 = 1 \cdot 13$.
- Но единственный вариант представления числа 13 как сумму квадратов есть $2^2 + 3^2$
- Но не существует числа $a + bi$, для которого a, b $\in \mathbb{Z}, a^2 + b^2 = 3$
- Следовательно, число $2 + 3i$ нельзя представить в виде произведения двух чисел, поэтому оно простое.
- \\
- 6.
- Поле $\mathbb{F}_{13} $ содержит 13 чисел.
- Проверим, какие из них удовлетворяют равенству.
- x = 0 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 2 \neq 0$
- x = 1 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 11 \neq 0$
- x = 2 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 9 \neq 0$
- x = 3 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 9 \neq 0$
- x = 4 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 11\neq 0$
- x = 5 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 2 \neq 0$
- x = 6 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 8\neq 0$
- x = 7 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 3\neq 0$
- x = 8 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = \textbf{0}$
- x = 9$\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 12\neq 0$
- x = 10 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = \textbf{0}$\\
- Видим, что x = 8, x = 10 - корни уравнения. А уравнение второй степени имеет не более 2х корней. Тогда мы нашли все корни этого уравнения.
- \textbf{Ответ:} 8, 10.
- \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement