\documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
    top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage[T2A]{fontenc}			% кодировка
\usepackage[utf8]{inputenc}			% кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel}	% локализация и переносы
% Математика
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}

\usepackage{amsmath}
%Заговолок
\author{Киселев Кирилл, 778}
\title{Домашнее задание №12}


\date{\today}



\begin{document}
\maketitle
\newpage


3.

а.) $\mathbb{Q} [x]/(x^4+ 1)$

Рассмотрим многочлен $x^4 + 1$. Проверим, является ли он приводимым во множестве рациональных чисел.

Если многочлен приводимый, то имеются рациональные корни. Заметим, что $\forall x \in \mathbb{R}: x^4 + 1 \geq 1 > 0$.  То есть уравнение $x^4 + 1 = 0 \Rightarrow$ многочлен является неприводимым. Поэтому данное факторкольцо является полем.\\


б.) $\mathbb{R} [x]/(x^4+ 1)$

Рассмотрим многочлен $x^4 + 1$. Во множестве действительных чисел данный мночлен имеет комплексные корни $\pm \sqrt{i}$. То есть многочлен является приводимым. Таким образом, данное факторкольцо не  является полем. \\


в.) $\mathbb{F}_3 [x]/(x^4+ 1)$

Проверим, имеет ли многочлен $x^4 + 1$  корни в поле чисел $\mathbb{F}_3$

Переберем всевозможные варианты.\\

$x = 0 \Rightarrow x^4 + 1 = 0 + 1 = 1 \neq 0$

$x = 1 \Rightarrow x^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0$

$x = 2 \Rightarrow x^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0$

Таким образом, многочлен является неприводимым. Следовательно, данное факторкольцо не является полем.\\

в.) $\mathbb{F}_3 [x]/(x^4+ 1)$

Проверим, имеет ли многочлен $x^4 + 1$  корни в поле чисел $\mathbb{F}_3$

Переберем всевозможные варианты.

$x = 0 \Rightarrow x^4 + 1 = 0 + 1 = 1 \neq 0$

$x = 1 \Rightarrow x^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0$

$x = 2 \Rightarrow x^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0$

Таким образом, многочлен является неприводимым. Следовательно, данное факторкольцо не является полем.\\



г.) $\mathbb{F}_{17} [x]/(x^4+ 1)$

Проверим, имеет ли многочлен $x^4 + 1$  корни в поле чисел $\mathbb{F}_{17}$

Заметим, что при $x = 8: x^4 + 1 = 8^4 + 1 = 241 = 0$

Таким образом, данный многочлен является приводимым, поэтому факторкольцо

 $\mathbb{F}_{17}[x]/(x^4+ 1)$ не является полем.\\


\textbf{Ответ}:
 \begin{enumerate}
 \item да.
  \item нет.
 \item да.
 \item нет.

 \end{enumerate}


4.

Мы знаем, что \[ \forall y \in \mathbb{R}, y  \equiv c \text{ } (mod  \text{ } 73) \Rightarrow (y - c) \vdots 73 \Rightarrow (y - c) = 73k, \text{ } k \in \mathbb{Z} \]


Поэтому для нашей задачи мы можем сказать, что \[7x - 2 = 73k, k \in \mathbb{Z} \]
\[7x - 73k = 2\]

\[x = \frac{73k + 2}{7} = 10k + \frac{3k + 2}{7}\]
\[\frac{3k + 2}{7} \in \mathbb{Z} \]

\[\text{Пусть k = 4} \Rightarrow x = 42\]

\textbf{\[x = 42 + 73t, t \in \mathbb{Z}\]}


\textbf{Ответ:} $ x = 42 + 73t, t \in \mathbb{Z} $.


5.

Нам надо проверит простоту элементов в кольце гауссовых целых чисел

$\mathbb{Z}(i) = \lbrace a + bi: a, b \in \mathbb{Z} \rbrace, i^2 = -1.$



1.) Проверим простоту числа 17.

$17 = (4 - i) (4 + i) = 16 - i^2 = 16 + 1 = 17 \Rightarrow$ число 17 не является простым в кольце гауссовых целых чисел.\\


2.)
Проверим простоту числа 11.

Пусть 11 является произведением некоторых чисел. Тогда модуль числа 11 есть произвдение модулей чисел в его разложении.

Тогда $11 = 1 \cdot 11$.


 Но 11 непредставимо в виде суммы двух квадратов. Следовательно, число является простым.\\

 3.)
Проверим простоту числа $2 + 3i$.

$|2 + 3i| = 2^2 + 3^2 = 13$.

Пусть $2 + 3i$ является произведением некоторых чисел. Тогда модуль числа $2 + 3i$ есть произвдение модулей чисел в его разложении.

$|2 + 3i| = 2^2 + 3^2 = 13$.



Тогда $13 = 1 \cdot 13$.


Но единственный вариант представления числа 13 как сумму квадратов есть $2^2 + 3^2$

Но не существует числа $a + bi$, для которого a, b $\in \mathbb{Z}, a^2 + b^2 = 3$

Следовательно, число $2 + 3i$ нельзя представить в виде произведения двух чисел, поэтому оно простое.
\\

6.

Поле $\mathbb{F}_{13}	$ содержит 13 чисел.

Проверим, какие из них удовлетворяют равенству.

x = 0 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 2 \neq 0$

x = 1 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 =  11 \neq 0$

x = 2 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 9  \neq 0$

x = 3 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 9 \neq 0$

x = 4 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 =  11\neq 0$

x = 5 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 2 \neq 0$

x = 6 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 =  8\neq 0$

x = 7 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 =  3\neq 0$

x = 8 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 =  \textbf{0}$

x =  9$\Rightarrow x^2 - 5x + 2 =  12\neq 0$

x = 10 $\Rightarrow x^2 - 5x + 2 =  \textbf{0}$\\

Видим, что x = 8, x = 10 - корни уравнения. А уравнение второй степени имеет не более 2х корней. Тогда мы нашли все корни этого уравнения.

\textbf{Ответ:} 8, 10.
\end{document}