<br>
<br>
<br>
8.1. Oblicz miarę łukową kąta AOB (rys.), jeśli:<br>
 $r=\frac{1}{2}, \ l=3$  <br>
 $r=\frac{1}{4}, \ l=\frac{1}{2}$ <br>
 $r=2\frac{1}{2}, \ l=\frac{\pi}{3}$ <br>
 $r=3, \ l=4\pi$ <br>
 $r=\pi, \ l=4\pi$ <br>
 $r=\sqrt{3}, \ l=\frac{3\pi}{4}$ <br>
<br>
8.2. Zamień radiany:<br>
 $18 ^{\circ}$  <br>
 $20 ^{\circ}$  <br>
 $-2 ^{\circ}$  <br>
 $-108 ^{\circ}$  <br>
 $252 ^{\circ}$  <br>
 $-300 ^{\circ}$  <br>
 $135 ^{\circ}$  <br>
 $-210 ^{\circ}$  <br>
<br>
<br>
8.3.<br>
Zamień na stopnie:<br>
 $\frac{7}{10}\pi$  <br>
 $\frac{5}{2}\pi$  <br>
 $-\frac{2}{9}\pi$  <br>
 $-\frac{\pi}{18}$  <br>
 $\frac{11}{15}\pi$  <br>
 $-\frac{41}{6}\pi$  <br>
 $\frac{11}{4}\pi$  <br>
 $\frac{13}{3}\pi$  <br>
<br>
8.4.<br>
Wyznacz miarę kąta ostrego, który tworzą wskazówki zegara o godzinie:<br>
 $15^{30}$  <br>
 $17^{40}$  <br>
 $22^{20}$  <br>
 $12^{15}$  <br>
 $2^{10}$  <br>
 $23^{00}$  <br>
<br>
8.5.<br>
Od północy wskazówka minutowa obróciła się o kąt: <br>
 $-\frac{14}{3}\pi$  <br>
 $-\frac{49}{3}\pi$  <br>
 $-\frac{61}{6}\pi$  <br>
 $-\frac{15}{2}$  <br>
 $-\frac{101}{5}\pi$  <br>
 $-\frac{61}{30}\pi$  <br>
<br>
8.6. Ziemia wykonuje obrót dookoła swej osi w czasie 23 godzin 56 minut. Oblicz, o jaki kąt obraca się Ziemia w czasie 45 minut.<br>
<br>
8.7. Koło obraca się dookoła osi z prędkością kątową:<br>
 $\omega = \frac{\pi}{2}$ rad/s <br>
 $\omega = 4$ rad/s <br>
 $\omega = 100$ rad/s <br>
 $\omega = n$ rad/s <br>
Ile obrotów wykona koło w ciągu minuty?<br>
<br>
<br>
8.8 Wyznacz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha, \alpha\in\langle 0,2\pi \rangle$,<br>
  sin $\alpha =\frac{12}{13}$<br>
  cos $\alpha =-\frac{4}{5}$<br>
  tg  $\alpha =1\frac{7}{8}$<br>
  ctg $\alpha =-0,75$<br>
  sin $\alpha =0$<br>
  cos $\alpha=-1$<br>
  tg $\alpha = -\frac{5}{12}$<br>
  ctg $\alpha = 3 \frac{3}{7}$<br>
<br>
<br>
8.9. Wyznacz pozostałe wawrtości funkcji trygonometryczych kąta $\alpha$, jeśli:<br>
 sin $\alpha=\frac{2}{3}, \alpha \in ( \frac{\pi}{2},\pi )$ <br>
 cos $ \alpha=-\frac{3}{4},\alpha \in ( \pi, \frac{3\pi}{2})$<br>
 tg $\alpha=2, \alpha \in ( \pi, \frac{3\pi}{2})$ <br>
 ctg $\alpha=-2\sqrt{2}, \alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$<br>
 ctg $\alpha=-3, \alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$<br>
 tg $\alpha=-\sqrt{17}, \alpha \in ( \frac{\pi}{2},\pi )$ <br>
<br>
8.10. Oblicz wartość wyrażenia  cos $\alpha-$cos$\beta$, jeśli sin$\alpha=\frac{1}{3}$, $sin \beta=\frac{\sqrt{7}}{5}$ i $\alpha, \beta \in (\frac{\pi}{2},\pi)$<br>
<br>
8.11.<br>
Oblicz wartość wyrażenia cos$\alpha \cdot $cos$\beta+$sin$\alpha\cdot $sin$\beta$, jeśli cos$\alpha=\frac{5}{13}$,sin$\beta=-\frac{5}{13}$ i $\alpha, \beta \in (\frac{3\pi}{2},{2\pi})$.<br>
<br>
<br>
8.12.<br>
Oblicz wartość wyrażenia:<br>
 sin$\frac{\pi}{6}+$sin$\frac{\pi}{4}+$sin$\frac{\pi}{2}$ <br>
 cos$\frac{\pi}{4}-$cos$\frac{\pi}{3}-$cos$\frac{\pi}{2}$ <br>
 ctg$\frac{\pi}{6}+$ctg$\frac{\pi}{4}\cdot $ctg$\frac{\pi}{3}$ <br>
 tg$\frac{\pi}{6}\cdot $tg$\frac{\pi}{4}-$tg$\frac{\pi}{3}$<br>
 tg$\frac{\pi}{24}\cdot $tg$\frac{\pi}{12}\cdot $tg$\frac{\pi}{4}\cdot $tg$\pi$ <br>
 ctg$\frac{\pi}{10}\cdot $ctg$\frac{3\pi}{10}\cdot $ctg$\frac{5\pi}{10}\cdot $ctg$\frac{7\pi}{10}$<br>
 cos$\frac{12\pi}{2}+$cos$\frac{12\pi}{3}+$cos$\frac{12\pi}{4}+$cos$\frac{12\pi}{6}$<br>
 sin$\frac{\pi}{2}\cdot $sin$\frac{3\pi}{2}\cdot $sin$\frac{5\pi}{2}\cdot $sin$\frac{7\pi}{2}$<br>
<br>
8.13.<br>
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych:<br>
 sin$(\pi+\frac{\pi}{6})+$tg$(2\pi-\frac{\pi}{4})$<br>
 cos$(\pi-\frac{\pi}{4})\cdot $ctg$(\pi+\frac{\pi}{3})$<br>
 sin$(2\pi-\frac{\pi}{3})\cdot $cos$(2\pi+\frac{\pi}{6})$<br>
 tg$(\pi+\frac{\pi}{6})\cdot $ctg$(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})$<br>
 sin$(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})+$cos$(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})$ <br>
 cos$(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6})+$tg$(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4})$ <br>
 ctg$(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4})\cdot $tg$(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{6})$ <br>
 sin$(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{6})\cdot $sin$(2\pi-\frac{\pi}{3})$<br>
<br>
<br>
8.14.<br>
Oblicz wartość wyrażenia: <br>
 sin$\frac{2\pi}{3}\cdot $cos$3\pi\cdot $tg$\frac{7\pi}{6}\cdot $ctg$\frac{5\pi}{4}$<br>
 sin$\frac{7\pi}{4}\cdot $cos$\frac{5\pi}{6}-$cos$\frac{7\pi}{4}\cdot $sin$\frac{5\pi}{6}$<br>
 tg$\frac{3\pi}{4}\cdot $sin$\frac{7\pi}{6}+$ctg$\frac{5\pi}{4}\cdot $cos$\frac{4\pi}{3}$<br>
 cos$(-\frac{\pi}{6})\cdot $tg$(-\frac{5\pi}{6})\cdot $sin$(-\frac{\pi}{3})\cdot $ctg$(-\frac{2\pi}{3})$<br>
 sin$(-\frac{7\pi}{6})\cdot $cos$(-\frac{5\pi}{4})+$tg$(-\frac{5\pi}{3})\cdot $ctg$(-\frac{3\pi}{4})$ <br>
<br>
8.15. Wyznacz $\alpha$,$\alpha\in\langle 0,2\pi)$, wiedząc, że <br>
 tg $\alpha=1$ i sin $\alpha<0$ <br>
 cos $\alpha=\frac{1}{2}$ i tg $\alpha>0$ <br>
 sin $\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$ i cos $\alpha<0$ <br>
 cos $\alpha=-\frac{1}{2}$ i ctg $\alpha >0$<br>
 cos $\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ i sin $\alpha<0$<br>
 sin $\alpha=-1$ i cos $\alpha=0$<br>
 ctg $\alpha=-1$ i sin $\alpha>0$<br>
 tg $\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ i cos $\alpha>0$<br>
 cos $\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ i sin $\alpha<0$<br>
 tg $\alpha=-\sqrt{3}$ i sin $\alpha>0$<br>
<br>
8.16. Sprawdż, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi. Podaj konieczne założenia. <br>
 $\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}+\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\frac{2}{\cos\alpha}$<br>
 $\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}$<br>
 $\frac{\cos\alpha+tg\alpha}{\sin\alpha\cdot  \cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}$<br>
 $\frac{\sin\alpha+ctg\alpha}{\sin\alpha\cdot  \cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}$<br>
 $\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}$<br>
 $\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$<br>
 $(\frac{1}{\cos\alpha}-\frac{1}{\sin\alpha})\cdot (1+tg\alpha+ctg\alpha)=\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$<br>
 $(\frac{1}{\cos\alpha}+\frac{1}{\sin\alpha})\cdot (tg\alpha+ctg\alpha)-\cos\alpha=0$<br>
 $(1-\cos\alpha)\cdot (\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{tg\alpha})-\sin\alpha=0$<br>
<br>
8.17.<br>
Wykaż, że dane równość nie jest tożsamością trygonometryczną.<br>
 $\frac{\sin\alpha\cdot tg\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}$<br>
 $\frac{1-\sin^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{\cos\alpha}=tg\alpha\cdot \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)$<br>
<br>
8.18.<br>
Wyznacz okres podstawowy następujących funkcji:<br>
 $y=\sin 3x$<br>
 $y=\cos \frac{x}{3}$<br>
 $y=-tg 5x+1$<br>
 $y=4 ctg 2x$<br>
 $y=\frac{1}{2}\sin(\pi x )$<br>
 $y=tg(\sqrt{3}\cdot  x)-2$<br>
 $y=\cos(\frac{2x}{\pi})$<br>
 $y=ctg(4\pi x)$<br>
<br>
8.19.<br>
Zbadaj, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste.<br>
 $y=x\cdot \sin x$<br>
 $y=\frac{\sin x}{2+\sin^2x}$<br>
 $y=\frac{\cos x}{3+\cos x}$<br>
 $y=x^2\cdot  ctg x$<br>
 $y=tg x \cdot  ctg x $<br>
 $y=\sin x\cdot  tg x$<br>
 $y=(\sin x -\cos x)^2-1$<br>
 $y=\frac{x}{ctg x +tg{x}}$<br>
<br>
8.20.<br>
Wyznacz zbiór wartości funkcji:<br>
 $f(x)=\sin x +2$<br>
 $f(x)=\cos(x-5\pi)-1$<br>
 $f(x)=tg^2x-3$<br>
 $f(x)=2-ctg^2x$<br>
 $f(x)=tg x\cdot  \cos x$<br>
 $f(x)=ctg^2x\cdot \sin^2x$<br>
<br>
8.21.<br>
Wyznacz zbiór wartości funkcji. <br>
 $f(x)=\frac{3}{2}\cos x$<br>
 $f(x)=-5\sin x +2$<br>
 $f(x)=4\sin 2x-1$<br>
 $f(x)=-0,5\cos 3x-2$<br>
<br>
8.22.<br>
Wyznacz zbiór wartości funkcji. <br>
 $f(x)=|3\sin x |-1$<br>
 $f(x)=|\sin x-\frac{1}{2}|$<br>
 $f(x)=|tg^2x-1|$<br>
 $f(x)=2|\cos x|-3$<br>
<br>
8.23.<br>
Wyznacz zbiór wartości funkcji. <br>
 $f(x)=-\sin^2x+4\sin x+12$<br>
 $f(x)=\cos^22x-\cos 2x-2$<br>
 $f(x)=ctg^2x-2ctg x-3$<br>
 $f(x)=tg^3x-tg x$<br>
<br>
8.24.<br>
Wyznacz zbiór wartości funkcji.<br>
 $f(x)=\frac{1}{\sin x}$<br>
 $f(x)=\frac{-3}{\cos x}$<br>
 $f(x)=\frac{1}{\cos^2x-2\cos x-8}$<br>
 $f(x)=\frac{7}{\sin^2x -\sin x -12}$<br>
<br>
8.25.<br>
Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\sin x$, gdzie $x \in \langle -2\pi, 2\pi\rangle$, a następnie podaj:<br>
 argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $\frac{\sqrt{3}}{2}$<br>
 argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $-\frac{1}{2}$.<br>
<br>
8.26.<br>
Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\sin x$, gdzie $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$, a następnie, nie używając kalkulatora, podaj znak wyrażenia:<br>
 $\sin\frac{5\pi}{6}\cdot \sin\frac{4\pi}{3}$<br>
 $\sin\frac{\pi}{4}-\sin\frac{5\pi}{6}$<br>
 $\sin\frac{6\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{5}$<br>
 $\sin(\frac{\pi}{12})-\sin(\frac{9\pi}{10})$<br>
 $\sin 3\cdot \sin(\pi-1)$<br>
 $\sin(2\pi-2)\cdot \sin(\pi+1)$<br>
 $\sin 1- \sin 3$<br>
 $\sin 3+\sin 5$<br>
<br>
8.27.<br>
Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\cos x$, gdzie $x \in \langle -2\pi, 2\pi\rangle$, a następnie podaj:<br>
 argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $\frac{\sqrt{2}}{2}$<br>
 argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $\frac{\sqrt{3}}{2}$.<br>
<br>
8.28.<br>
Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\cos x$, gdzie $x \in \langle -\pi, \pi\rangle$, a następnie, nie używając kalkulatora, podaj znak wyrażenia:<br>
 $\cos\frac{2\pi}{3}\cdot \cos(-\frac{\pi}{6})$<br>
 $\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{3\pi}{4}$<br>
 $\cos(-\frac{\pi}{4})+\cos\frac{5\pi}{6}$<br>
 $\cos(-\frac{\pi}{7})+\cos(-\frac{2\pi}{7})$<br>
 $\cos(-\frac{2\pi}{3})+\cos\frac{\pi}{4}$<br>
 $\cos\frac{5\pi}{6}\cdot \cos\frac{4\pi}{9}$<br>
 $\cos 1+ \cos\frac{7\pi}{8}$<br>
 $\cos2-\cos3$<br>
<br>
8.29.<br>
Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\sin x$, dla $x \in \langle -2\pi, 2\pi\rangle$, a następnie podaj:<br>
 wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br>
 wartość wyrażenia $\sin(-\frac{7}{6}\pi)-\sin(\frac{5}{6}\pi)$<br>
 zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne<br>
 przedziały, w których funkcja jest rosnąca.<br>
<br>
8.30.<br>
Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\cos x$, dla $x \in \langle -\frac{3}{2}\pi, \frac{3}{2}\pi\rangle$, i na jego podstawie:<br>
 wyznacz te argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość równą $\cos 150^{\circ}$<br>
 porównaj liczby $\cos(-\frac{2}{3}\pi)$ i $\cos(\frac{7}{6}\pi)$<br>
 podaj przedziały liczbowe, w których funkcja jest malejąca.<br>
 zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne<br>
<br>
8.31.<br>
We wspólnym układzie współrzędnych naszkicuj wykresy funkcji $f(x)=\sin x$ oraz $g(x)=\cos x$ dla $x\in \langle -\pi,2\pi \rangle$, a następnie:<br>
 wyznacz te argumenty, dla których funkcje $f$ i $g$ przyjmują tę samą wartość<br>
 porównaj liczby $\sin 109^{\circ}$ i $\cos 109^{\circ}$ oraz $\sin 271^{\circ}$ i $\cos271^{\circ}$<br>
 wyznacz wartości funkcji $f$ dla tych argumentów, dla których funkcja $g$ przyjmuje wartość równą $-\frac{1}{2}$<br>
<br>
8.32.<br>
Na podstawie wykresu funkcji $y=\sin x$, w przedziale $x \in \langle -\pi, \pi\rangle$, wyznacz w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>
 miejsca zerowe funkcji $f(x)=\sin x$<br>
 argumenty dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $1$<br>
 argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ <br>
 przedziały, w których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie.<br>
<br>
8.33.<br>
Na podstawie wykresu funkcji $y=\cos x$, w przedziale $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$, wyznacz w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>
 miejsca zerowe funkcji $f(x)=\cos x$<br>
 argumenty dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $-1$<br>
 argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $\frac{1}{2}$ <br>
 przedziały, w których funkcja $f$ przyjmuje wartości niedodatnie.<br>
<br>
8.34. W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji $y=tg x$ dla $x \in (-\pi,\pi\rangle-\{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\}$, a następnie:<br>
 podaj miejsca zerowe funkcji<br>
 określ znak iloczynu $tg(-113^{\circ})\cdot  tg 65^{\circ}\cdot  tg 124^{\circ}$  <br>
 wyznacz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości $1$ lub $-1$<br>
 podaj zbiór, w którym funkcja przyjmuje wartości ujemne.<br>
<br>
8.35.<br>
Naszkicuj wykres funkcji $y=ctg x$ dla $x \in \langle -\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi \rangle - \{0,\pi\}$ i na podstawie wykresu:<br>
 uporządkuj malejąco liczby: $ctg(-61^{\circ}),ctg265^{\circ},ctg3^{\circ},ctg178^{\circ}$<br>
 na osi odciętych zaznacz zbiór tych argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od $-\frac{1}{2}$<br>
 podaj miejsca zerowe funkcji<br>
 wyznacz zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.<br>
<br>
<br>
8.36.<br>
We wspólnym układzie współrzędnych naszkicuj wykresy funkcji $f(x)=tg x$ oraz $g(x)=ctg x$, a następnie wypisz argumenty należące do przedziału $\langle-\pi,\pi\rangle$ dla których:<br>
 wartości obu funkcji są równe<br>
 wartości funkcji $g$ są większe, niż wartości funkcji $f$.<br>
<br>
8.37.<br>
Na podstawie wykresu funkcji $y=tg x$ w przedziale $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, wyznacz w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>
 argumenty, dla których funkcja $f(x)=tg x$ przyjmuje wartość $\sqrt{3}$<br>
 argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $-\frac{\sqrt{3}}{3}$<br>
<br>
8.37.<br>
Na podstawie wykresu funkcji $y=ctg x$ w przedziale $(0, \pi)$, wyznacz w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>
 argumenty, dla których funkcja $f(x)=ctg x$ przyjmuje wartość $-\sqrt{3}$<br>
 argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze od $\frac{\sqrt{3}}{3}$<br>
<br>
8.39.<br>
Naszkicuj wykres funkcji:<br>
 $y=\sin x +2$<br>
 $y=tg x -3$<br>
 $y=2\sin x$ <br>
 $\frac{1}{2}\cos(x-\pi)$<br>
 $y=tg(x-\frac{\pi}{3})$<br>
 $y=3-ctg x$<br>
 $y=tg(x-\frac{\pi}{3}$<br>
 $y=ctg(x+\frac{\pi}{4})+3$<br>
 $y=\frac{1}{2}\cos(x-\pi)$<br>
<br>
8.40.<br>
Naszkicuj wykres funkcji:<br>
 $y=|\sin x|$<br>
 $y=\sin|x|$<br>
 $y=|\cos x-2|$<br>
 $y=tg|x|+1$<br>
 $y=\sin 2x$<br>
 $y=-\cos\frac{1}{2}x$<br>
 $y=ctg 3x$<br>
 $y=tg\frac{1}{2}x$<br>
<br>
8.41.<br>
Naszkicuj wykres funkcji:<br>
 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$<br>
 $y=\sin(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6})$<br>
 $y=3\cos(2x-\frac{\pi}{2})$<br>
 $y=2\cos(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{8})$<br>
<br>
8.42.<br>
Naszkicuj wykres funkcji:<br>
 $y=\cos x\cdot tg x$<br>
 $y=tg x \cdot ctg x$<br>
 $y=\sin x \cdot  ctg x$<br>
 $y=\frac{|\cos x|}{\cos x}$<br>
Wskazówka: Ustal najpierw dziedzinę funkcji. <br>
<br>
8.43. Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=[\sin x]$, gdzie $x \in \langle-2\pi,\frac{5}{2}\pi\rangle$.<br>
<br>
8.44. Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=tg(\frac{\pi}{4}\cdot [x])$, wiedząc, że dziedzina funkcji $f$ zawiera się w przedziale $\langle -4,6 \rangle$. <br>
<br>
8.45. Wyznacz zbiór wartościfunkcji:<br>
 $f(x)=\sin(\frac{\pi}{6}\cos x)$<br>
 $f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}\sin x)$<br>
 $f(x)=\cos(\frac{2\pi}{3}\sin x)$<br>
 $f(x)=\sin(\frac{\pi}{4}\cos^2x)$<br>
 $f(x)=tg(\frac{\pi}{4}\sin x)$<br>
 $f(x)=tg(\frac{\pi}{3}\cos x)$<br>
 $f(x)=ctg(\frac{\pi}{3}\cos x)$<br>
 $f(x)=ctg(\frac{\pi}{6}\sin x)$<br>
<br>
8.46. Rozwiąż równanie z niewiadomą $x$, $x \in\mathbb{R},$, korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.<br>
 $\sin x= \frac{\sqrt{3}}{2}$<br>
 $\cos x = -\frac{1}{2}$<br>
 $tg x=-1$<br>
 $ctg x=\frac{\sqrt{3}}{3}$<br>
<br>
8.47. Rozwiąż równania:<br>
 $\sin(-x)=1$<br>
 $\cos(-x)=1$<br>
 $tg(-x)=-\sqrt{3}$<br>
 $ctg(-x)=\sqrt{3}$<br>
<br>
8.48. Rozwiąż równania:<br>
 $\cos x=\cos(\pi-x)$<br>
 $tg x=tg(\pi-x)+2$<br>
 $\sin x=\sin(x-\pi)+1$<br>
 $2ctg(2\pi-x)=1-ctg x$<br>
<br>
8.49. Rozwiąż równania:<br>
 $|ctg x- 1|=0$<br>
  $|2\cos x|=1$ <br>
 $|3tg x|=\sqrt{3}$<br>
 $|4\sin x|=2$<br>
<br>
8.50. Rozwiąż równania:<br>
 $ctg^2x=3$ <br>
 $2\sin^2x=1$<br>
 $tg^2x-1=0$ <br>
 $4\cos^2x-3=0$<br>
<br>
8.51. Rozwiąż równania w przedziale $\langle -\pi,2\pi\rangle$:<br>
 $tg x=tg\frac{\pi}{4}$<br>
 $\sin x = \sin \frac{7\pi}{6}$<br>
 $ctg x = ctg(-\frac{9\pi}{8})$<br>
 $\cos x=\cos\frac{11\pi}{5}$<br>
 $\sin (-x)=\sin\frac{8\pi}{7}$<br>
 $ctg x =ctg 2$<br>
<br>
8.52. Rozwiąż równania:<br>
 $tg 2x=tg x$<br>
 $\cos 2x=cos x$<br>
 $\sin x =\sin 2x$<br>
 $\sin 3x=\sin(x+\pi)$<br>
 $ctg 3x=ctg(x+\frac{\pi}{4})$<br>
 $tg 2x= tg (3x-\frac{\pi}{6})$<br>
<br>
8.53. Wyznacz wartości parametru $m$,$m\in\mathbb{R}$, dla których dane równanie z niewiadomą $x$ ma rozwiązania:<br>
 $\cos x=2m-9$<br>
 $|tg x+1|=m^2-4$<br>
 $4\sin x+m=1$<br>
 $2\cos x -3=m+5$<br>
 $|\cos x|=-3m^2-4m$<br>
 $\sin^2x-9=m^2-6m$<br>
<br>
8.54. Wyznacz wartości parametru $m$,$m\in\mathbb{R}$, dla których rówananie:<br>
 $\sin x=m^2-3m$ ma trzy rozwiązania w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$<br>
 $|\cos x|=m^2-4(m+1)$ ma trzy rozwiązania w przedziale $\langle -\pi,\pi\rangle$<br>
 $|tg x-1|=m^2-6m$ ma dwa rozwiązania w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$<br>
 $\sin x=m^2-2m$ ma cztery rozwiązania w przedziale $(-\pi,2\pi)$.<br>
<br>
8.55. Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)=a\cdot \sin(bx+c)+d$, gdzie $x\in\mathbb{R}$. Najmniejsza wartość funkcji jest przyjmowana dla argumentu $\pi$, a największa dla argumentu$\frac{\pi}{2}$. Na podstawie danych z rysunku wyznacz współczynniki $a,b,c,d$, wiedząc, że $a>0,b>0$ i $c$ jest najmniejszą liczbą dodatnią spełniającą warunki zadania. <br>
<br>
8.56. Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)=a\cdot  cos(bx+c)+d$, gdzie $x\in \mathbb{R}$. Najmniejsza wartość funkcji jest przyjmowana dla argumentu $\frac{\pi}{2}$, a największa dla argumentu $\frac{3\pi}{2}$. Na podstawie adnych z rysunku wyznacz wspólczynniki $a,b,c,d$, wiedząc, że $a<0,b>0$ i $c$ jest najmniejszą liczbą dodatnią spełniającą warunki zadania. <br>
<br>
8.57. Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)=a\cdot \sin(bx+c)+d$, gdzie $x\in\mathbb{R}$. Najmniejsza wartość funkcji jest przyjmowana dla argumentu $-2$, a największa dla argumentu $3$. Na podstawie danych z rysunku wyznacz współczynniki $a,b,c,d$, wiedząc, że $a<0,b>0$ i $c$ jest największą liczbą ujemną spełniającą warunki zadania. <br>
<br>
8.58. Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)=a\cdot \cos(bx+c)+d$, gdzie $x\in\mathbb{R}$. Najmniejsza wartość funkcji jest przyjmowana dla argumentu $-1$, a największa dla argumentu $8$. Na podstawie danych z rysunku wyznacz współczynniki $a,b,c,d$, wiedząc, że $a>0,b>0$ i $c$ jest największą liczbą ujemną spełniającą warunki zadania. <br>
<br>
8.59. Wiedząc, że $\alpha,\beta\in (0,\frac{\pi}{2})$ oraz, że $\sin\alpha=\frac{1}{3},\sin\beta=\frac{1}{2}$, oblicz:<br>
 $\sin(\alpha+\beta)$<br>
 $\sin(\alpha-\beta)$<br>
 $\cos(\alpha+\beta)$<br>
 $\cos(\alpha-\beta)$<br>
<br>
8.60. Wiedząc, że $\alpha\in (\frac{\pi}{2},\pi),\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$ oraz, że $\sin\alpha=\frac{1}{3},\sin\beta=\frac{1}{2}$, oblicz:<br>
 $\sin(\alpha+\beta)$<br>
 $\sin(\alpha-\beta)$<br>
 $\cos(\alpha+\beta)$<br>
 $\cos(\alpha-\beta)$<br>
<br>
8.61. Wyznacz $\alpha$ i $\beta$, jeśli wiadomo, że $\alpha,\beta\in (0,\frac{\pi}{2})$ oraz $\sin(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}$.<br>
<br>
8.62. Oblicz:<br>
 $\sin\frac{7\pi}{12}$<br>
 $\cos\frac{11\pi}{12}$<br>
<br>
8.63. Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości:<br>
 $\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$<br>
 $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta$<br>
 $\cos\alpha\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)=\cos\beta$<br>
 $\cos\beta\sin(\alpha-\beta)+\sin\beta\cos(\alpha-\beta)=\sin\alpha$<br>
<br>
8.64. Wykaż, że jeśli $\gamma=\alpha+\beta$, to $\sin^2\gamma=\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cdot \cos\alpha\cdot \cos\beta\cdot \cos\gamma$.<br>
<br>
8.65. Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości, podaj konieczne założenia:<br>
 $\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos2\alpha}=tg{\alpha}$<br>
 $\frac{\sin2\alpha}{1-cos2\alpha}=ctg\alpha$<br>
 $\frac{tg\alpha}{tg2\alpha-tg\alpha}=\cos2\alpha$<br>
 $\frac{ctg\alpha}{tg2\alpha+ctg\alpha}=\cos2\alpha$<br>
<br>
8.66. Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości, podaj konieczne założenia:<br>
 $\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=ctg\frac{\alpha}{2}$<br>
 $\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=tg\frac{\alpha}{2}$<br>
 $tg^2\alpha-tg^2\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}{\cos^2\alpha\cos^2\beta}$<br>
 $ctg^2\alpha-ctg^2\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}{\sin^2\alpha\sin^2\beta}$<br>
<br>
8.67. Wiadomo, że $\cos36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$.Wykaż,że:<br>
 $\cos18^{\circ}=\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+10}}{4}$<br>
 $\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$<br>
<br>
8.68. Wiadomo, że:<br>
 $(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}$<br>
 $2(1+\cos\alpha)-\sin^2\alpha=4\cos^4\frac{\alpha}{2}$<br>
<br>
8.69. Niech $x\in\mathbb{R}-\{x:x=k\pi,k\in\mathbb{C}\}$.<br>
 Wykaż, że $\sin x=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$.<br>
 Korzystając ze wzoru z punktu a), oblicz $tg\frac{\pi}{8}$.<br>
<br>
8.70. Niech $x\in\mathbb{R}-\{x:x=\frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{C}\}$.<br>
 Wykaż, że $tg x=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2\frac{x}{2}}$.<br>
 Korzystając ze wzoru z punktu a), oblicz $tg\frac{\pi}{12}$.<br>
<br>