%\documentstyle{artcle}
\documentclass[12pt,leqno,b5paper,twoside]{book}
\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{scrextend}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{geometry}
%\usepackage{paralist}
\usepackage{moj}
\pagestyle{headings}
\newgeometry{tmargin=3cm, bmargin=3cm, lmargin=2.5cm, rmargin=2.5cm}


\begin{document}

%\titleformat*{\section}{\normalsize \bfseries}{}{}{}[]

\titleformat{\section}[runin]{\normalfont\bfseries\scshape}{\thesection.}{0em}{}
%\titlelabel{\thetitle.}
%\sectionfont{\fontsize{12}{15}\selectfont}
%\titleformat*{\section}[runin]% runin puts it in the same paragraph
\renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}

\deffootnotemark{(\textsuperscript{\thefootnote})\enskip}
%\setlenght{\footnote{0.5cm}}

\setcounter{chapter}{1}

\setcounter{page}{51}


%\Roman{\chapter{Granica i ciągłość funkcji}}
\chapter{Granica i ciągłość funkcji}
\setcounter{equation}{5}
\begin{equation}
nierownosc szesc \label{ns}
\end{equation}
\setcounter{equation}{20}
\begin{equation}
dwudzieste pierwsze \label{twoo}
\end{equation}
\setcounter{equation}{24}
\begin{equation}
dwudzieste piate \label{eqn}
\end{equation}

\setcounter{section}{16}

\newpage


Na rysunku 23 mamy dany wykres funkcji $y=3\frac{\sin{x}}{x}$. Gdy $x$ jest bliskie 0, $y$ jest bliskie 3.

\begin{figure}[ht!]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.6\textwidth]{wyk.png}\caption{Wykres.}
	\end{center}
\end{figure}


\section{ Wnioski i zastosowania. }
\begin{enumerate}%[label=\roman*),itemjoin={,\quad}]
	\item[$1^{\text{o}}$] Funkcje $\sin{x}$ i $\cos{x}$ są ciągłe w każdym punkcie $x_{0}$.



Istotnie, wiemy, że
\begin{align*}
&\sin({x_{0}+h}) = \sin{x_{0}}\cos{h}+\cos{x_{0}}\sin{h}, \\
&\cos({x_{0}+h})=\cos{x_{0}}\cos{h}-\sin{x_{0}}\sin{h}
\end{align*}

Gdy $h\rightarrow 0$, to w myśl \eqref{eqn} $\sin{h} \rightarrow 0$, $\cos{h}\rightarrow 1$, więc prawe strony tych tożsamości dążą odpowiednio do $\sin{x_{0}}$ i $\cos{x_{0}}.$

\item[$2^{\text{o}}$] Funkcje $\tg{x}$ i $\ctg{x}$ są ciągłe (tam, gdzie są określone), jako ilorazy funkcyj ciągłych.

\item[$3^{\text{o}}$] Funkcja wykładnicza $a^{x}$, gdzie $a>0$, jest ciągła w każdym punkcie $x_{0}$.

Istotnie w myśl \eqref{twoo} mamy
\begin{displaymath}
\lim_{h\rightarrow 0}a^{x_{0}+h}=\lim_{h\rightarrow 0}(a^{x_{0}}\cdot a^{h})=a^{x_{0}}\cdot \lim_{h\rightarrow 0}a^{h}=a^{x_{0}}\cdot 1=a^{x_{0}}.
\end{displaymath}
\end{enumerate}

Wykażemy jeszcze, że gdy $a>1$, to
\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow\infty}a^{x}=\infty,\quad \lim_{x\rightarrow -\infty} a^{x} =0.
\end{equation}
Pierwszy z tych wzorów wynika stąd, że jeśli $x>n$, to $a^{x}>a^{n}$, a ciąg $\{a^{n}\}$ dąży do $\infty$ (str. 50), więc $a^{x}\rightarrow\infty$. Drugi wynika z pierwszego i z tego, że $\lim_{x\rightarrow  - \infty} \limits a^{x} = \lim_{x\rightarrow\infty} \limits (1/a^{x})$.


\section{ Liczba $e$ } Wykażemy, że \\
\textit{Ciąg}
\begin{align}
a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n} \quad (n=1, 2, \ldots) \label{cgn}
\end{align}
jest rosnący i ograniczony, więc zbieżny (str. 35).

Granicę tego ciągu oznaczamy literą $e$. Wykazano, że jest to liczba niewymierna o wartości przybliżonej
\begin{displaymath}
e=2,71828\hspace{1.5 mm}18284\hspace{1.5 mm}59\ldots
\end{displaymath}
Liczba $e$ odgrywa równie ważną rolę, jak liczba $\pi$.


D\hspace{0.4 mm}o\hspace{0.4 mm}w\hspace{0.4 mm}ó\hspace{0.4 mm}d. Ciąg \eqref{cgn} jest rosnący, bo podstawiając w nierówności \eqref{ns} na str. 16 wartość $x=-1/n^{2}$, $n>1$, otrzymujemy
\begin{displaymath}
(1-\frac{1}{n^{2}})^{n}>1-\frac{1}{n}, \quad \text{czyli} \quad (1+\frac{1}{n})^{n}(1-\frac{1}{n})^{n}>1-\frac{1}{n},
\end{displaymath}
skąd
\begin{displaymath}
(1+\frac{1}{n})^{n}(\frac{n-1}{n})^{n-1}>1, \quad \text{czyli} \quad (1+\frac{1}{n})^{n}>(\frac{n}{n-1})^{n-1},
\end{displaymath}
a więc
\begin{displaymath}
a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}>(\frac{n}{n-1})^{n-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}=a_{n-1}.
\end{displaymath}

Aby wykazać, że ciąg \eqref{cgn} jest ograniczony, zauważmy, że w myśl wzoru Newtona (str. 17) dla $n>2$ mamy

\begin{align*}
a_{n}&=1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2} \cdot \frac {1} {n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3} \cdot \frac{1}{n^3}+\ldots + \\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\frac{n(n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n} \cdot \frac{1}{n^{n}}= \\
&=1+1+\frac{1-\frac{1}{n}}{1\cdot 2}+\frac{(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{1\cdot 2\cdot 3}+\ldots+\frac{(1-\frac{1}{n})\cdot\ldots\cdot(1-\frac{n-1}{n})}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}<\\ &<1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}.
\end{align*}

Ostatnia suma, bez wyrazu pierwszego, jako postępu geometycznego o ilorazie $\frac{1}{2}$, równa się
\begin{align*}
\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}, \quad \text{czyli} \quad 2\bigg(1-\frac{1}{2^n}\bigg), \quad \text{zatem} \quad a_{n}<1+2\bigg(1-\frac{1}{2^n}\bigg)<1+2=3.
\end{align*}
Ciąg \{${a_{n}}$\} jest więc zbieżny. Jego granica
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n}=e
\end{align}
leży między 2 i 3 bo $2\le a_{n} <3$ \footnote{1 złoty złożony na 100$\%$ wzrasta po $\frac{1}{n}$ do kwoty $1+\frac{1}{n}$. Gdy procent doliczamy do kapitału co $\frac{1}{n}$ roku, otrzymujemy po roku kwotę $(1+\frac{1}{n})^{n}$. Przy kapitalizacji ciągłej, tj. gdy $n\to\infty$, 1 złoty złożony na 100$\%$ wzrośnie więc po roku do kwoty $e=2,718\ldots$}. \\





\end{document}