\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\title{\begin{Huge}DETERMINAZIONE DELLA COSTANTE ELASTICA DI UNA MOLLA\end{Huge}}
\author{\begin{Large}\textbf{Gruppo 4}\end{Large}\\ \\Christian Aoufia\\Marco Cavazza\\Maria Chiara Fratti\\Matilde Garello\\Alessandra Grieco\\Lorenzo Pelloni}
\date{\today}
\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage

\section{Introduzione}
L'esperimento consiste nel misurare, tramite modalità diverse, le costanti elastiche di due molle, una regolare e una precompressa. La procedura si divide in 4 moduli:  \\ \\
- Determinare la costante elastica di una molla in modo statico;\\
- Utilizzo della molla come dinamometro statico per la determinazione di una massa incognita;\\
- Determinare la costante elastica con metodo dinamico e confronto risultati con il primo modulo;\\
- Determinare la costante elastica di una molla precompressa e la forza di precompressione (con metodo statico).\\

\section{Teoria}
Una molla è un corpo elastico che come tale tende a tornare alla posizione di equilibrio una volta impressa una deformazione. La forza di richiamo è data dalla legge di Hooke:
$$ \vv F = -k \vv{(L-L_0)} $$
\noindent Appendendo dunque una massa \textit{m} alla molla in posizione verticale, si crea una situazione di equilibrio statico:
$$k(L-L_0)=mg$$
\noindent E' possibile dunque misurare la costante elastica della molla conoscendo l'allungamento e la massa.
Se inoltre imprimiamo un allungamento iniziale $L_m$ e lasciamo successivamente il sistema libero di muoversi, il moto di un corpo applicato all'estremo della molla è descritto dalla seguente legge oraria:
$$ x(t) = L_m cos(\omega t + \alpha) $$
\noindent dove $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ e $\alpha$ è lo sfasamento iniziale. Poichè $\omega = \frac{2 \pi}{T}$, dove T è il periodo di una oscillazione completa, è possibile risalire alla seguente relazione:
$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
\noindent che ci permette di trovare la costante elastica della molla.
Nel caso della molla precompressa abbiamo anche una $F_0$ di cui tener conto, la forza di precompressione. La situazione statica in questo caso sarà data da:
$$mg=k_p(L-L_0) + F_0$$
\noindent relazione che ancora una volta ci permette di ricavarne la costante $k_p$ e la sua precompressione $F_0$.
\newpage
\section{Materiale occorrente}
\begin{itemize}
 \item Supporto;
 \item 1 molla di costante elastica da determinare;
 \item 1 molla precompressa;
 \item Metro (sensibilità: $1,00 \times 10^{-3}\,m$);
 \item Pesiera con 10 masse campione da $5,00 \times 10^{-2}\,kg$ (errore su   ogni massa: $2,00 \times 10^{-3}kg$):
 \item Massa incognita;
 \item Cronometro (sensibilità: $1,00 \times 10^{-2}\,s$);
\end{itemize}
\section{Procedimento}
\subsection{Metodo statico con regressione lineare}
Il metodo statico consiste nell'appendere la molla al supporto fornito, misurare la sua lunghezza a riposo e successivamente appendere masse note sempre differenti in modo da provocarne un allungamento. Dalle misure di questi allungamenti è possibili ipotizzare una relazione di tipo lineare tra massa e allungamento, andando infine a calcolare la costante elastica della molla. (Nel caso della molla precompressa è necessario tenere conto della forza di precompressione nella regressione, limite entro il quale si annulla la dipendenza lineare tra allungamento e massa).
\subsection{Determinazione della massa incognita}
Utilizzando la molla come dinamometro (utilizzando la costante elastica trovata in precedenza) è possibile assegnare ad un campione ignoto la propria massa con associato il relativo errore.
\subsection{Metodo dinamico con analisi statistica}
Il metodo dinamico consiste nell'appendere una massa nota alla molla e successivamente imprimerne un allungamento iniziale. Il moto della molla sarà di tipo armonico, con periodo strettamente connesso alla costante elastica. La misura del periodo si ha per via indiretta misurando 10 oscillazioni anzichè una. Questo permette di ridurre il fattore umano nell'errore.
\section{Esperimento}
\subsection{Valutazioni preliminari errori}
\subsubsection{Metodo statico}
Data una molla verticale con appesa una massa in condizione di equilibrio, possiamo trovare k attraverso la formula:
$$k = \frac{mg}{L-L_0}$$
Dunque si ha che:
$$\left(\frac{\delta k}{k}\right)^* =\left(\frac{\delta m}{m}\right)^* + \left(\frac{\delta g}{g}\right)^* + \left(\frac{\delta (L-L_0)}{L-L_0}\right)^*  $$
Assumiamo gli errori sulla nostra variabile indipendente m e su g trascurabili e otteniamo:
$$\left( \frac{\delta k}{k} \right)^* \sim \left(\frac{2 \delta L}{L-L_0}\right)^* \sim 10^{-1} \sim 1 \% $$
\subsubsection{Metodo dinamico}
La formula che lega la costante elastica al periodo è data da:
$$k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$$
Dunque si ha che:
$$\left(\frac{\delta k}{k}\right)^* = \left(\frac{\delta m}{m}\right)^* + \left(\frac{2 \delta T}{T}\right)^* \sim \left(\frac{2 \delta T}{T}\right)^*$$
Poichè la misura del periodo è manuale ci si aspetta che l'errore su t sia dell'ordine di $10^{-1}$, il tempo medio di reazione umano. Considerando che l'oscillazione media è di 1 secondo si otterrebbe una incertezza del $10 \%$. Per ridurla misuriamo 10 oscillazioni ogni volta, e solo alla fine dividiamo sia il risultato che l'errore per 10.
In questo modo si ottiene un $t_{10}$ con una deviazione media di circa $10^{-1}\, s$ che dividendo assume un errore stimato di $ 10 ^{-2}$ ovvero dell' 1$\%$.
\subsection{Determinazione della costante elastica con il metodo statico}
\subsubsection{Metodo dei minimi quadrati}
\vspace{0.02\linewidth}
\begin{minipage}[b]{0.3\linewidth}
\strut\vspace*{0.15\linewidth}
\begin{tabular}{|l|l|}

\hline \textbf{Massa (kg)} & \textbf{L (m)} \\ \hline
0,05 & 0,327\\
0,10 & 0,348\\
0,15 & 0,368\\
0,20 & 0,389\\
0,25 & 0,409\\
0,30 & 0,427\\
0,35 & 0,448\\
0,40 & 0,468\\
0,45 & 0,487\\
0,50 & 0,507\\
\hline

\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.6 \linewidth}
\noindent
La seconda legge della dinamica applicata alla massa appesa alla molla mette in evidenza una dipendenza lineare tra valore della massa e allungamento della molla. Possiamo verificare questa dipendenza sperimentlmente attraverso una regressione lineare sulle misure ponendo:
$$A=L_0$$
$$B=\frac{g}{k_s}$$
Quindi deve essere:
$$L=Bm+A$$
\end{minipage}
\vspace{0.03\linewidth}

\noindent Notiamo che, affinchè la regressione sia accurata, dobbiamo ottenere un valore di A che sia compatibile con $L_0= (0,307 \pm 0,002) \ m$.

\noindent Riportiamo i valori utili ottenuti con il metodo dei minimi quadrati:
\begin{flalign*}
&A = 0,3082   \ m & \\
&B= 0,39854 \  \frac{m}{kg} & \\
&\sum_{i=1}^{10} m_i^2= 0,9625 \ kg^2 & \\
&\sum_{i=1}^{10} m_i=2,75 \ kg & \\
&\Delta =2,0625  \ kg^2 & \\
\end{flalign*}


\noindent Passiamo quindi a calcolare i valori di L teorici in modo da poter calcolare $\sigma_{y \ gauss}$ e quindi l'errore sui valori di A e B:
\vspace{0.01 \linewidth}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline \textbf{Massa (kg)} & \textbf{L (m)} & $\mathbf{L_{teorico}}$ & $\mathbf{(L_{teorico}-L)^2}$\\ \hline
0,05 & 0,327 & 0,32813 & $1,277\cdot10^{-6}$\\
0,10 & 0,348 & 0,34805 & $2,500\cdot10^{-9}$\\
0,15 & 0,368 & 0,36798 & $4,000\cdot10^{-10}$\\
0,20 & 0,389 & 0,38791 & $1,188\cdot10^{-6}$\\
0,25 & 0,409 & 0,40784 & $1,346\cdot10^{-6}$\\
0,30 & 0,427 & 0,42277 & $1,789\cdot10^{-5}$\\
0,35 & 0,448 & 0,44769 & $9.610\cdot10^{-8}$\\
0,40 & 0,468 & 0,46762 & $1,444\cdot10^{-7}$\\
0,45 & 0,487 & 0,48755 & $3,025\cdot10^{-7}$\\
0,50 & 0,507 & 0,50747 & $2,209\cdot10^{-7}$\\ \hline \\[-13pt]
& & & $\sum=$ $2,24703\cdot10^{-5}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\noindent Otteniamo così:
$$\sigma_{y \ gauss}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}(L-L_{th})^2}{N-2}}= 1,6759 \cdot 10^{-3} \ m$$
\noindent Calcoliamo l'errore su A e B:
$$\delta A=\sigma_{y \ gauss} \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7} m_i^2}{\Delta}}=0,001 \ m$$
$$\delta B=\sigma_{y \ gauss} \sqrt{\frac{N}{\Delta}}=  0,004 \, \frac{m}{kg}$$
\begin{eqnarray*}
A=(0,308 \pm 0,001) \ m \\
B=(0,399 \pm 0,004) \ \frac{m}{kg} \\
\end{eqnarray*}

\noindent Il coefficiente di correlazione lineare della regressione è:
$$r= 0,999$$

\noindent Poichè $N=10$ e $r>0,872$, la dipedenza di L da m è effettivamente lineare.
\\

\noindent Valutiamo la discrepanza tra il valore ottenuto di A ed $L_0$:
 $$|A-L_0| = 0,001 \ m$$
$$ \delta A + \delta L_0 = 0,003 \ m$$

\noindent Poichè $|A-L_0|< \delta A + \delta L_0$, i due valori sono compatibili.
\\

\noindent Possiamo ora passare al calcolo effettivo di di $k_s$:
$$\bar{k_s}= \frac{g}{B}=24,57895 \ \frac{N}{m} $$
$$\delta k_s= \frac{g}{B^2} \delta B= 0,2444 \ \frac{N}{m}$$
\noindent Con il metodo dei minimi quadrati abbiamo quindi ottenuto che:
$$k_s = (24,6 \pm 0,2) \ \frac{N}{m}$$
\\
\subsubsection{Metodo grafico}
\noindent Di seguito è riportata la mappatura dei punti dove è stato rappresentato l'errore ad essi associato. Sono inoltre state disegnate le rette con massima e minima pendenza, in modo da poter successivamente estrapolare per via grafica i risultati dell'esperienza.
\\\\
$[$grafico$]$\\\\
Per calcolare $k_s$ (costante elastica della molla) è necessario ricavare la pendenza (B) della retta graficata.
$$B= \frac{\Delta y / {u_y}}{\Delta x/{u_x}}$$
Dove $u_y$ e $u_x$ rappresentano il numero di mm corrispondenti all'unità (associata alla relativa grandezza) del grafico.
Procediamo al calcolo di $B_{min}$, $B_{max}$:
$$ B_{min}= \frac{\Delta y_{min}/{u_y}}{\Delta x_{min}/{u_x}}=39,6057 \,\frac{m}{kg} $$
$$B_{max}=\frac{\Delta y_{max}/{u_y}}{\Delta x_{max}/{u_x}}= 40,1433 \,\frac{m}{kg}$$
\noindent La migliore approssimazione di B è data dalla media dei valori $B_{max}$ e $B_{min}$ ovvero:
$$B=\frac{B_{max} + B_{min}}{2} = 39,8745 \,\frac{m}{kg}$$
L'errore da associare all misura B corrisponde alla semidispersione:
$$\delta_B = \frac{B_{max}-B_{min}}{2}=0,2688 \,\frac{m}{kg}$$
Pertanto:
$$B=(39,9 \pm 0,3)\,\frac{m}{kg} $$
Procediamo ora al calcolo di $k_s$:
$$k_s=\frac{g}{B}=24,5864\ \frac{N}{m}$$
\\
Visto che g è una costante l'errore relativo associato a $K_p$ risulta essere il medesimo di B per tale ragione l'errore assoluto di $k_s$ sarà il seguente:
$$\delta k_s= \left|\frac{\delta B}{B}\right|K_p = 0,18 \, \frac{N}{m} $$
Pertanto:
$$k_s=(24,59\pm0,18)\,\frac{N}{m}$$
 \\
\subsubsection{Compatibilità delle misure}
Abbiamo ottenuto che:
$$k_{s \ reg}=(24,6\pm0,2)\,\frac{N}{m}$$
$$k_{s \ grafico}=(24,59\pm0,18)\,\frac{N}{m}$$

 \noindent Valutiamo la discrepanza tra le misure per verificare che esse siano compatibili:
 $$|k_{s \ reg} - k_{s \ grafico}| = 0,01 \ \frac{N}{m}$$
$$ \delta k_{s \ reg} + \delta k_{s \ grafico} = 0,38 \ \frac{N}{m}$$

\noindent Poichè $|k_{s \ reg} - k_{s \ grafico}|<\delta k_{s \ reg} + \delta k_{s \ grafico}$, le misure della costante elastica con i due metodi sono compatibili.
 \\
\subsection{Misura della massa incognita}
\noindent Appendendo la massa incognita alla molla si misura una lunghezza della molla $L = (0,499 \pm 0,002) \ m$. Considerando la lunghezza a riposo $(L_o = 0,307 \pm 0,002)\ m$ si ottiene l'allungamento:
$$\Delta L= L - L_0=  0,192 \ m$$
a cui si associa un'errore $\delta \Delta l$ calcolato come somma degli errori assoluti delle lunghezze, ossia:
$$\delta\Delta L = \delta L + \delta L_0 =  0,004 \ m$$
Ricordiamo che il valore di k per metodo dei minimi quadrati vale: $k_s = (24,6 \pm 0,2) \ \frac{N}{m}$
\subsubsection{Metodo grafico}
Intercettando la retta ottenuta precedentemente che rappresenta l'allungamento della molla in funzione della massa, si ottiene un punto di ascissa corrispondente a una massa di $m_g = 0,478 \;kg$. Essendo l'errore del grafico di $\pm 1\; mm$ allora si associa alla massa $m_g$ un errore in $kg$ corrispondente a $1\;mm$. Per la scala del grafico, $1 \;kg$ corrisponde a $50\;cm$ e quindi
$$50\;cm : 1,000\;kg = 0,1\;cm : \delta m_g$$
$$\delta m_g = 0,002 \;kg$$
\\Quindi la massa vale: $$m_g = (0,478 \pm 0,002)\; kg$$
\subsubsection{Metodo analitico}
Nella condizione di equilibrio si ha la seguente equazione (dove con $m_a$ si indica la stessa massa prima indicata con $m_g$):
$$m_a g = k(l-l_o)$$
e quindi
$$m_a = \frac{k}{g}(l - l_o) = 0,479 \;kg$$
\\
L'errore associato $\delta m_a$ dipende solo dall'errore sulla costante $k$ e sull'allungamento $\Delta l$, presupponendo l'errore sull'accelerazione di gravità $g$ trascurabile.\\
$$\delta m_a =\Bigg(\; \Bigg| \frac{\delta k}{k}\Bigg| + \Bigg| \frac{\delta\Delta l}{\Delta l}  \Bigg| \;\Bigg) m_a $$
da cui
$$\delta m_a = 0,108 \, kg $$
\noindent Quindi la massa vale: $$m_a = (0,5 \pm 0,1)\;kg$$
\subsubsection{Compatibilità delle misure}
\noindent Valutiamo la discrepanza tra le due misure della massa incognita per verificare che siano compatibili:
 $$|m_{a} - m_{g}| = 0,022 \  kg$$
$$ \delta m_{a} + \delta m_{g} = 0,102 \ kg$$

\noindent Poichè $|m_{a} - m_{g}|<\delta m_{a} + \delta m_{g}$, le misure della massa incognita con i due metodi sono compatibili.


\subsection{Misura della costante elastica con il metodo dinamico}

   \vspace{0.03\linewidth}
           \begin{minipage}[b]{.35\linewidth}
           \begin{tabular}{|l|l|}
               \hline \textbf{Dato (s) } & \textbf{Ripetizioni} \\ \hline
               8,93 & 1 \\
               8,98 & 1 \\
               8,99 & 4 \\
               9,02 & 2 \\
               9,03 & 2 \\
               9,05 & 1 \\
               9,07 & 2 \\
               9,08 & 1 \\
               9,10 & 1 \\
               9,11 & 2 \\
               9,13 & 2 \\
               9,14 & 2 \\
               9,15 & 1 \\
               9,16 & 1 \\
               9,20 & 2 \\
               9,24 & 1 \\
               9,25 & 1 \\
               9,26 & 1 \\
               9,31 & 1 \\
               9,34 & 1 (Rigettato) \\ \hline
               Misure & 29 \\ \hline
           \end{tabular}
       \end{minipage}  \begin{minipage}[b]{.6\linewidth}
       \subsubsection{Elaborazione dei dati}
       Riportiamo le misure in secondi di 10 oscillazioni effettuate appendendo alla molla una massa di m = $0,5 \, kg$. Otteniamo dunque un valor medio $\bar{t_{10}}=9,107 \, s$
       e una deviazione standard $S_t=0,105 s$
       \noindent Notiamo che il valore $t_s = 9,34 \, s$ si allontana di molto dalla media, dunque verifichiamo la sua rigettabilità. Lo z sospetto associato al valore è di $z_s = \frac{z_s - \bar{t_{10}}}{S_x}=2,2243$, e con una confidenza di $C_z=0,4868$ abbiamo un numero teorico di misure che superano il nostro valore di $N_z = N \times(0,5-C_z)=0,396 < 0,5 $ e il valore risulta rigettabile. \\Otteniamo dunque, con 29 dati, il nuovo valor medio $\bar{t_{10}}=9,099 \, s$ e la nuova deviazione standard $S_t = 0,0968 \, s $.

\end{minipage}      \vspace{0.05\linewidth}


       \noindent Dividiamo i valori in classi utilizzando una deviazione standard come ampiezza di un intervallo e paragoniamo i valori ottenuti con quelli attesi:

       \vspace{0.03\linewidth}
       \begin{minipage}[b]{.4\linewidth}
       \strut\vspace*{--3\baselineskip}
       \begin{tabular}{|l|l|l|l|}
       \hline
       \textbf{Classe} & \textbf{Range} & \textbf{$O_k$} & $E_k$ \\ \hline
       1 & [8,906 , 9,002] & 6 & 4,6023 \\
       2 & [9,002 , 9,099] & 8 & 9,8977 \\
       3 & [9,099 , 9,196] & 9 & 9,8977 \\
       4 & [9,196, 9,292] & 5 & 3,9411 \\
       5 & [8,292 , 9,389] & 1 & 0,6612 \\ \hline
       \end{tabular}
       \end{minipage}
        \begin{minipage}[b]{0.6\linewidth}
       \includegraphics[scale=0.3]{"tabella molla".pdf}
       \end{minipage}
     \vspace{0.01\linewidth}
      \newpage

       \noindent Otteniamo allora un valore del $\chi ^2$:

       $$\chi ^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(E_k-O_k)^2}{Ek} = 1,214 $$
       e di conseguenza una confidenza compresa tra il 0.250 e 0.500. Assegnamo allora $\frac{S_x}{\sqrt{N}}$ come errore alla misura best. Otteniamo:
       $$\bar{t_{10}} = (9,099 \pm 0,018) \, s$$
\subsubsection{Calcolo della costante}
\noindent Ricaviamo allora la miglior stima del periodo emersa dall'analisi dei dati, dividendo i risultati finali per il numero di oscillazioni. ($T= \frac{\bar{t_{10}}}{10}$ , $\delta T = \frac{\delta \bar{t_{10}}}{10}$). Notiamo tuttavia che l'errore è di un ordine di grandezza più piccolo rispetto alla sensibilità dello strumento. Decidiamo dunque di mantenere la sensibilità del cronometro come errore su T.
Otteniamo:
$$ T = (0,91 \pm 0,01) \, s$$
\noindent Ricaviamo la costante della molla sapendo che quest'ultima e il periodo sono legati dalla relazione:
$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$
\noindent Quindi:
$$\bar{k}=\frac{4m\pi^2}{T^2}=23,8420
\, \frac{N}{m}$$
$$\bar{\delta k}=\bar{k}\left(\frac{\delta m}{m}+2\frac{\delta T}{T}\right)=0,619368 \, \frac{N}{m}$$

\noindent In conclusione, con il metodo dinamico si ricava che:
$$k=(23,8 \pm 0,6) \, \frac{N}{m}$$


 \newpage
\subsection{Misura della costante elastica e della forza di precompressione di una molla precompressa}
   \vspace{0.03\linewidth}
           \begin{minipage}[b]{.35\linewidth}
 \strut\vspace*{0.17\linewidth}
\begin{tabular}{l|l}

\hline \textbf{Massa (kg)} & \textbf{L (m)} \\ \hline
0,05 & 0,209\\
0,10 & 0,209\\
0,15 & 0,209\\
0,20 & 0,217\\
0,25 & 0,235\\
0,30 & 0,250\\
0,35 & 0,268\\
0,40 & 0,284\\
0,45 & 0,304\\
0,50 & 0,323\\
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{.6\linewidth}
 \subsubsection{Metodo dei minimi quadrati}
Non consideriamo i valori di L corrispondenti alle tre masse più piccole, poichè sono entrambi pari ad $ L_0$, di conseguenza la forza di gravità esercitata sulla molla a causa di queste non è abbastanza da vincere $F_0$. Tenendo conto anche della forza di precompressione, l'equazione del moto relativa ad una massa appesa ad una molla precompressa risulta comunque in forma lineare. Verifichiamo quindi la linearità della dipendenza dell'allungamento della molla con una regressione lineare ponendo:
$$A=L_0 - \frac{F_0}{k_p}$$
$$B=\frac{g}{k_p}$$

\end{minipage}
\vspace{0.03\linewidth}

\noindent Quindi:
$$L=Bm+A$$
\\
\noindent Con il metodo dei minimi quadrati ($N=7$), otteniamo che:
$$A=0,146214 \ m$$
$$B=0,350 \ \frac{m}{kg}$$
$$\sum_{i=1}^{7} m_i^2=0,9275 \ kg^2$$
$$\sum_{i=1}^{7} m_i=2,45 \ kg$$
$$\Delta=0,49 \ kg^2$$
 \newpage
\noindent Passiamo quindi a calcolare i valori di L teorici in modo da poter calcolare $\sigma_{y \ gauss}$ e quindi l'errore sui valori di A e B:
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{l|l|l|l}
\hline \textbf{Massa (kg)} & \textbf{L (m)} & $\mathbf{L_{teorico}}$ & $\mathbf{(L-L_{th})^2}$\\ \hline
0,20 & 0,217 & 0,21621 & $6,241 \cdot 10^{-7}$\\
0,25 & 0,235 & 0,23371 & $1,6641 \cdot 10^{-6}$\\
0,30 & 0,250 & 0,25121 & $1,4641 \cdot 10^{-6}$\\
0,35 & 0,268 & 0,26871 & $5,041 \cdot 10^{-7}$\\
0,40 & 0,284 & 0,28621 & $4,8841 \cdot 10^{-6}$\\
0,45 & 0,304 & 0,30371 & $8,41 \cdot 10^{-8}$\\
0,50 & 0,323 & 0,32121 & $3,2041 \cdot 10^{-6}$ \\ \hline \\[-13pt]
& & & $\sum=1,24287 \cdot 10^{-5}$
\end{tabular}
\end{table}

\noindent Otteniamo così:

 $$\sigma_{y \ gauss}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}(L-L_{th})^2}{N-2}}= 1,5755 \cdot 10^{-3} \ m$$

\noindent Calcoliamo l'errore su A e B:
$$\delta A=\sigma_{y \ gauss} \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7} m_i^2}{\Delta}}=2,169 \cdot 10^{-3} \ m$$
$$\delta B=\sigma_{y \ gauss} \sqrt{\frac{N}{\Delta}}=5,959 \cdot 10^{-3} \ \frac{m}{kg}$$

\noindent Abbiamo quindi che, tenendo un alto numero di cifre significative in modo da ridurre l'errore sul calcolo di $k_p$ ed $F_0$:
\begin{eqnarray*}
A=(0,146214 \pm 0,002169) \ m \\
B=(0,350000 \pm 0,005959) \ \frac{m}{kg} \\
\end{eqnarray*}

\noindent Il coefficiente di correlazione lineare della regressione è:
$$r= 0,999$$

\noindent Poichè $N=7$ e $r>0,951$, la dipedenza di L da m è effettivamente lineare.
\\

\noindent Possiamo ora passare al calcolo effettivo di di $k_p$ ed $F_0$ (non considerando l'errore su g e sapendo che $L_0=(0,209 \pm 0,002) \ m$:

$$\bar{k_p}= \frac{g}{B}=28,02857 \ \frac{N}{m} $$
$$\delta k_p= \frac{g}{B^2} \delta B= 0,4772 \ \frac{N}{m}$$
$$\bar{F_0}= k_p (L_0 - A)= 1,7598 \ N $$
$$\delta F_0= k_p (L_0 - A)\left[ \frac{\delta k_p}{k_p} + \frac{\delta L_0 + \delta A}{L_0-A}\right]= 0,1468 \ N $$

\noindent Con il metodo dei minimi quadrati abbiamo quindi ottenuto che:
\begin{eqnarray*}
k_p= (28,0 \pm 0,5) \ \frac{N}{m}\\
F_0= (1,76 \pm 0,15) \ N\\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Metodo grafico}
Di seguito è riportata la mappatura dei punti dove è stato rappresentato l'errore ad essi associato. Sono inoltre state disegnate le rette con massima e minima pendenza, in modo da poter successivamente estrapolare per via grafica i risultati dell'esperienza.
\\\\
$[$grafico$]$\\\\
Per calcolare $k_{p}$ (costante elastica della molla precompressa) e $F_0$ (forza di compressione della molla precompressa), è necessario ricavare la pendenza (B) della retta graficata.
$$B= \frac{\frac{\Delta y}{u_y}}{\frac{\Delta x}{u_x}}$$
Dove $u_y$ e $u_x$ rappresentano il numero di mm corrispondenti all'unità (associata alla relativa grandezza) del grafico.
\\
Calcolo di $B_{min}$, $B_{max}$:

$$B_{min}= \frac{\frac{\Delta y_{min}}{u_y}}{\frac{\Delta x_{min}}{u_x}}=0,331754 \ \frac{m}{kg}$$
$$B_{max}= \frac{\frac{\Delta y_{max}}{u_y}}{\frac{\Delta x_{max}}{u_x}}=0,348558 \ \frac{m}{kg}$$
\\
La migliore approssimazione di B è data dalla media dei valori $B_{max}$ e $B_{min}$ ovvero:
$$B=\frac{B_{max} + B_{min}}{2} = 0,3401156 \ \frac{m}{kg}$$
L'errore da associare all misura B corrisponde alla semidispersione:
$$\delta_B = \frac{B_{max}-B_{min}}{2}=0,008 \ \frac{m}{kg}$$
Pertanto:
$$B=(0,340 \pm 0,008) \ \frac{m}{kg}$$
Una volta ottenuto il valore di B e l'errore da cui quest'ultimo è affetto si può procedere al calcolo di $k_p$:
$$k_p=\frac{g}{B}=28,853\ \frac{N}{m}$$
\\
L'errore assoluto su $k_p$ è il seguente:
$$\delta k_p =\frac{g}{B^2} \delta B= 0,6789 \  \frac{N}{m} $$
Pertanto:
$$k_p=(28,9\pm0,7)\ \frac{N}{m}$$
\\

\noindent Il punto di intersezione  della retta passante per i primi 3 punti del grafico (i 3 valori registrati in cui la molla non ha subito una deformazione apprezzabile) e le due rette con pendenza $B_{max}$ e $B_{min}$ individuano 2 punti i quali identificano i due estremi dell'intervallo all'interno del quale si trova la massa critica. Per massa critica si intende la minima massa in grado di provocare un allungamento apprezzabile della molla precompressa.
\\
Dalla lettura del grafico si può evincere che la massa critica minima e la massa critica massima risultano:
$$(M_c)_{min}=0,172\ kg$$
$$(M_c)_{max}=0,182\ kg$$
Per il ragionamento effettuato in precedenza, il valore più probabile della massa critica è rappresentato dalla media aritmetica dei valori sopra elencati.
$$M_c=\frac{(M_c)_{max} + (M_c)_{min}}{2} = 0,177\ kg$$
Anche in questo caso l'errore da assegnare alla $M_c$ è la semidispersione:
$$\delta M_c = \frac{(M_c)_{max} - (M_c)_{min}}{2}=0,005 \ kg$$
Pertanto:
$$(0,177\pm0,005)\ kg$$
\\
Una volta calcolata la massa critica risulta immediato il calcolo della forza di precompressione, cioè la forza minima in grado di provocare un allungamento apprezzabile dallo strumento.
$$F_0=M_cg =1,7364 \ N$$
L'errore da associare a $F_0$ è il seguente (trascurando l'errore su g):
$$\delta F_0= g\delta M_c= 0,05 \ N$$
Pertanto:
$$F_0=(1,74\pm0,05)\ N$$
\\
\subsubsection{Compatibilità delle misure}
\noindent Abbiamo che:
$$k_{p \ reg}= (28,0 \pm 0,5) \ \frac{N}{m}$$
$$k_{p \ grafico}=(28,9\pm0,7)\ \frac{N}{m}$$

\noindent Valutiamo la discrepanza tra le due misure per verficare che esse siano compatibili:

$$|k_{p \ reg} - k_{p \ grafico}| = 0,9 \ \frac{N}{m}$$
$$ \delta k_{p \ reg} + \delta k_{p \ grafico} = 1,2 \ \frac{N}{m}$$

\noindent Poichè $|k_{p \ reg} - k_{p \ grafico}|<\delta k_{p \ reg} + \delta k_{p \ grafico}$, le misure della costante elastica con i due metodi sono compatibili.

\noindent Abbiamo inoltre che:

$$F_{0 \ reg}= (1,76 \pm 0,15) \ N$$
$$F_{0 \ grafico}=(1,74\pm0,05)\ N$$

\noindent Valutiamo la discrepanza tra le due misure per verificare che esse siano compatibili:

$$|F_{0 \ reg} - F_{0 \ grafico}| = 0,02\ N$$
$$ \delta F_{0 \ reg} + \delta F_{0 \ grafico} = 0,2 \ N$$

\noindent Poichè $|F_{0 \ reg} - F_{0\ grafico}|<\delta F_{0 \ reg} + \delta F_{0 \ grafico}$, le misure della forza di precompressione con i due metodi sono compatibili.

\section{Conclusioni}



\end{document}