Omagad

Будем считать, что значения всех функций есть положительные числа.

Тогда $f(n) = (3 + o(1))^n + \Theta(n^{100}) \geq 3^n \Rightarrow \log{f(n)} \geq n \log{\frac{3}{2}} \Rightarrow \log{f(n)} \geq Cn \Rightarrow f(n) = \Omega(n).$

$g(n) = \Theta(n^{100}) \Leftrightarrow \exists C_1, C_2 > 0: C_1n^{100} \leq g(n) \leq C_2n^{100}$.

По определению $h(n) = o(1)$ следует, что $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}h(n) = 0$. Подберем для $B = 1$ такое $N$, что насчиная с этого $N$, выполняется $o(1) < B$.

Также при $a > 1$ $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{100}}{a^x} = 0$. Тогда, начиная с некоторого $N$, $g(n) = \Theta(n^{100}) \leq A \cdot (3 + o(1))^n$.

Тогда $f(n) = (3 + o(1))^n + \Theta(n^{100}) \leq (3+B)^n + A \cdot 3^n \leq (3+B)^n +  A\cdot 3^{n} \leq (3 + B)^n\left(1 + \left(\frac{3}{3 + B}\right)^nA\right) \Rightarrow \log{f(n)} \leq n\log{(3 + B)} + \log{\left(1 + \left(\frac{3}{3 + B}\right)^nA\right)}$. Т.к. $\frac{3}{3 + B} \leq 1$, то $\left(\frac{3}{3 + B}\right)^n \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty \Rightarrow \log{\left(1 + \left(\frac{3}{3 + B}\right)^nA\right)} \rightarrow \log{1} = 0 \Rightarrow \exists C > 0: \log{\left(1 + \left(\frac{3}{3 + B}\right)^nA\right)} < C$.

Тогда верно равенство, начиная с некоторого $N$: $\log{f(n)} \leq n\log{(3 + B)} + C \Rightarrow \log{f(n)} = O(n)$.

Тогда получаем, что $\log{f(n)} = \Theta(n)$.