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Jun 22nd, 2017
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  1. \documentclass[a4paper, 11pt]{scrartcl}
  2.  
  3. %\usepackage[ngerman]{babel}
  4. \usepackage{amssymb}
  5. \usepackage[ansinew]{inputenc}
  6.  
  7. \pagestyle{headings}
  8.  
  9. \begin{document}
  10.  
  11. %\tableofcontents
  12.  
  13. \newpage
  14.  
  15. \section{Einführung}
  16.  
  17.  
  18. Definition 1. Es sei
  19. \[ F : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n+1} \to  \mathbb{R},
  20.  y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}. \]
  21. Die Gleichung
  22. \[ F(x,y(x),....,y^{(n)}(x)) = 0  \textrm{ für }  x \in J, J \textrm{ Intervall} \]
  23. heißt gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung n für eine gersuchte skalare Funktion  $ y : J \to \mathbb{R} $
  24. Die Gleichung heißt linaer, wenn sie linear ist in $y$ und allen $ y^{(i)} $
  25.  
  26. \[ F(x,y(x),....,y^{(n)}(x)) = \sum_{i=0}^n a_i(x)y^{(i)}-b(x) \]
  27.  
  28. mit gegebenen Koeffizienten-Funktionen $ a_0(x),....,a_n(x),b(x) $.
  29.  
  30. In der allgemeinen Form
  31.  
  32. \[ F(x, \underbrace {y,y^{(1)},\\\dots,y^{(n)} } _ \textrm{Argument $x$ lässt man in der Regel weg!}  ) = 0 \]
  33.  
  34. heißt die Gleichung implizit, in der Form
  35.  
  36. \[ y^{(n)} = G(x,y,\\\dots,y^{(n-1)}) \]
  37.  
  38. explizit.
  39.  
  40. Wenn $ \frac{\partial }{\partial y^{n}} F \neq 0 $ kann man im Prinzip die explizite Form immer herstellen ( Satz über implizitze Funktionen ).
  41.  
  42. Hängt $F$ nicht explizit von $x$ ab, so heißt die Gleichung autonom.
  43.  
  44. \end{document}
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