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- \documentclass[a4paper, 11pt]{scrartcl}
- %\usepackage[ngerman]{babel}
- \usepackage{amssymb}
- \usepackage[ansinew]{inputenc}
- \pagestyle{headings}
- \begin{document}
- %\tableofcontents
- \newpage
- \section{Einführung}
- Definition 1. Es sei
- \[ F : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R},
- y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}. \]
- Die Gleichung
- \[ F(x,y(x),....,y^{(n)}(x)) = 0 \textrm{ für } x \in J, J \textrm{ Intervall} \]
- heißt gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung n für eine gersuchte skalare Funktion $ y : J \to \mathbb{R} $
- Die Gleichung heißt linaer, wenn sie linear ist in $y$ und allen $ y^{(i)} $
- \[ F(x,y(x),....,y^{(n)}(x)) = \sum_{i=0}^n a_i(x)y^{(i)}-b(x) \]
- mit gegebenen Koeffizienten-Funktionen $ a_0(x),....,a_n(x),b(x) $.
- In der allgemeinen Form
- \[ F(x, \underbrace {y,y^{(1)},\\\dots,y^{(n)} } _ \textrm{Argument $x$ lässt man in der Regel weg!} ) = 0 \]
- heißt die Gleichung implizit, in der Form
- \[ y^{(n)} = G(x,y,\\\dots,y^{(n-1)}) \]
- explizit.
- Wenn $ \frac{\partial }{\partial y^{n}} F \neq 0 $ kann man im Prinzip die explizite Form immer herstellen ( Satz über implizitze Funktionen ).
- Hängt $F$ nicht explizit von $x$ ab, so heißt die Gleichung autonom.
- \end{document}
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