\documentclass{beamer}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% Стиль презентации
\usetheme{Warsaw}
\begin{document}
\title{Ряды Фурье}
\author{Козлова Оксана, Воронова Анастасия}
\institute{НИУ Высшая Школа Экономики}
\date{Нижний Новгород, 2020}
% Создание заглавной страницы
\frame{\titlepage}
% Автоматическая генерация содержания
\frame{\frametitle{Содержание}\tableofcontents}









\frame{\frametitle{Разложение Фурье для четных и нечетных функций }

Функция $ y=f(x)$ - четная, если для любого значения x из множества X выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
\newline
\newline
Функция $y=f(x)$ -  нечетная, если для любого значения x из множества X выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$
\tableofcontents}

\frame{\frametitle{Разложение Фурье для четных и нечетных функций}
\textbf{Разложение Фурье}
 \newline \Large $  f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx +b_n \sin nx ) \qquad $
  \newline \normalsize\textbf{ Для четных}
   \newline \Large $  f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx  ) \qquad $
   \newline \normalsize\textbf{ Для нечетных}
   \newline \Large $  f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(b_n \sin nx  ) \qquad $
\tableofcontents}

\frame{\frametitle{Условие сходимости ряда Фурье}
\textbf{Теорема Дирихле }
 \newline Если  функция f(x)  – кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [-$\pi$; $\pi$], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках.
\newline 1) \Large $S(x)=f(x) $  \normalsizeв точках непрерывности.
\newline 2) \Large $S(x)= \frac{f(x_0 + 0) + f(x_0 - 0)}{2} $ \normalsize в точке  разрыва $x_0$ функции
\newline 3)\Large $S(-\pi)=S(\pi)= \frac{f(-\pi + 0) + f(\pi - 0)}{2} $ \normalsize на концах отрезка [-$\pi$; $\pi$]
\newline
\newline
\newline функция $f(x)$  называется \textbf{кусочно-монотонной}
\newline на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция будет монотонной.
\tableofcontents}

\frame{\frametitle{Условие сходимости ряда Фурье}

Eсли функция $f(x)$  удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то на отрезке [-$\pi$; $\pi$]  имеет место разложение:
\newline \Large $  f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx +b_n \sin nx ) \qquad $
\newline где :
\newline \Large\Large $ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx \qquad $
\newline
\newline \Large $ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx \qquad $
\newline
\newline  \Large$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx \qquad $

\tableofcontents}

\frame{\frametitle{Пример}
Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ с периодом $2\pi$  заданную на отрезке [-$\pi$; $\pi$]  формулой
\newline
\newline  \Large $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
 x & \textrm{при $ 0 \le x \le \pi $ }\\
 -2x & \textrm{при $ -\pi \le x < 0 $}
  \end{array} \right.$

\tableofcontents}


\end{document}