API tools faq
paste
Advertisement
Khristina

Курсовая по проге

Khristina
May 19th, 2019
352
0
Never
Add comment
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
Latex 36.95 KB | None | 0 0
raw download clone embed print report
  1. \documentclass[a4paper, 12pt]{article}
  2. \usepackage{setspace, amsmath}
  3. \usepackage{amssymb}
  4. \usepackage[utf8]{inputenc}
  5. \usepackage[english, russian]{babel}
  6. \usepackage[left=20mm, top=20mm, right=10mm, bottom=20mm, nohead, footskip=10mm]{geometry}
  7. \usepackage{hyperref} % для вставки гиперссылок
  8. \usepackage{subcaption}
  9. \usepackage{amsmath}
  10. \usepackage{amssymb}
  11. \usepackage{graphicx} % для картинок
  12. \usepackage{wrapfig}
  13. \graphicspath{{pictures/}}
  14. \DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}
  15.  
  16. \usepackage{ulem}
  17.  
  18. \begin{document}
  19. \begin{titlepage}
  20. \begin{center}
  21. \hfill \break
  22. \large \textbf{ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" имени М.В.~ЛОМОНОСОВА}\\
  23. %\large \textbf{ имени М.В.~ЛОМОНОСОВА }\\
  24. \Large \textbf{ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ}\\
  25. \Large \textbf{ЛАБОРАТОРИЯ ИНЖЕНЕРНОЙ ФИЗИКИ}\\
  26. \vspace{0.2cm}
  27. \hrule
  28. \vspace{2.2cm}
  29.  
  30.  
  31. \vfill
  32. \textsc{\Large { \bf ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ: СРАВНЕНИЕ СТАНДАРТНОЙ И УЛУЧШЕННОЙ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ }}\\[15mm]
  33.  
  34.  
  35. {\fontfamily{ptm} \fontsize{16pt}{0.5cm}
  36. \selectfont Курсовая работа студентки II курса
  37.  
  38. Степановой Христины Сергеевны }
  39.  
  40. \end{center}
  41. \vspace{6.0cm}
  42. \hfill\begin{minipage}{0.5\textwidth}
  43. \begin{flushright}
  44. { \Large
  45.  
  46. Научный руководитель:\\
  47. \ м.н.с
  48.  
  49. Шишаков Виталий Владимирович\\
  50. }
  51. \end{flushright}
  52.  
  53. \end{minipage}%
  54. \vspace{2.0cm}
  55.  
  56.  
  57. \begin{center}
  58. { \Large
  59. Москва
  60.  
  61. 2019
  62. }
  63. \end{center}
  64. \end{titlepage}
  65.  
  66. \newpage
  67. \textbf{Анотация}
  68. \vspace{0.4cm}
  69. \newline
  70. \underline{Цель работы:}
  71. \;{Реализация алгоритма вычисления потенциала простого слоя по стандартным квадратурным формулам и по формулам повышенной точности, полученным в [3]. Сравнение точности этих формул.}
  72. \vspace{0.2cm}
  73. \newline
  74. \underline{Результат работы:}
  75. \;{Алгоритмы реализованы, оценка точности получена.}
  76. \vspace{1.0cm}
  77. \newline
  78. \textbf{Описание программы}
  79. \vspace{0.4cm}
  80. \newline{В данной работе представно 8 программ – все для вычисления потенциала простого слоя. В первых 4-х программах реализован алгоритм вычисления потенциала простого слоя по стандартной квадратурной фомуле, в 4-х остальных – по улучшенной квадратурной формуле, полученной в [3]. Таким образом, в данной работе представлено 2 алгоритма вычисления потенциала простого слоя. Для каждого алгоритма проведено по 4 теста, в каждом из которых менятся лишь формула для вычисления потенциала. Первые 2 теста проведены для уравнения Лапласа, а два последних – для уравнения Гельмгольца.}
  81. \vspace{0.3cm}
  82. \newline
  83. \textit{\textbf{1. Алгоритм №1. Вычисление потенциала простого слоя по стандартной квадратурной формуле}}
  84. \vspace{0.2cm}
  85. \newline
  86. На поверхности Ф введена следующая параметризация:
  87. \begin{center}
  88. $y_1 = f_1(u,v), \quad y_2 = f_2(u,v), \quad y_3 = f_3(u,v)$
  89. \end{center}
  90. где u, v – параметры, $(u,v) \in [0, A] \times [0, B]$ при этом параметризация обладает свойством:
  91. \begin{equation}\label{eq1}
  92. \sum_{j=1}^3 \ ((y_j)'_u)^2  > 0,\quad \sum_{j=1}^3 \ ((y_j)'_v)^2  > 0,\quad\quad \forall (u,v) \in [0, A] \times [0, B],
  93. \end{equation}
  94. \begin{center}
  95. $u_n = (n + \frac{1}{2} ) h,\quad n = 0, ... , N - 1;
  96. \quad\quad v_m = (m + \frac{1}{2})H,\quad m = 0, .... , M - 1, $
  97. \end{center}
  98. где M, N –  число участков разбиения, $h = \frac{A}{N}, H = \frac{B}{H}.$
  99. \vspace{0.1cm}\newline
  100. Числа M и N задаются в самой программе.
  101. Введем вектор нормали (не единичный) $\eta(y)=(\eta_1(y), \eta_2(y), \eta_3(y))$ в точке поверхности $y=(y_1, y_2, y_3) \in$ Ф, где
  102. \begin{center}
  103. $\eta_1 =
  104. \begin{vmatrix}
  105.  (y_2)_u& (y_3)_u\\
  106.   (y_2)_v& (y_3)_v
  107. \end{vmatrix},
  108. \quad
  109. \eta_2 =
  110. \begin{vmatrix}
  111.  (y_3)_u& (y_1)_u\\
  112.   (y_3)_v& (y_1)_v
  113. \end{vmatrix},
  114. \quad
  115. \eta_3 =
  116. \begin{vmatrix}
  117.  (y_1)_u& (y_2)_u\\
  118.   (y_1)_v& (y_2)_v
  119. \end{vmatrix}$
  120. \end{center}
  121. \vspace{0.1cm}
  122. и обозначим $|\eta(y)| = \sqrt{(x_1-y_1(u,v))^2+(x_2-y_2(u,v))^2+(x_3-y_3(u,v))^2}$\;.
  123. \vspace{0.1cm} \newline
  124. Плотность потенциала $\mu$ в точке $y(u_n, v_m)$ обозначим через $\mu_{nm}$.
  125. \vspace{0.1cm} \newline
  126. Вычисление потенциала простого слоя для уравнения Лапласа осуществляется по формуле:
  127. \begin{center}
  128. $K_0 (x) = \frac{1}{4\pi}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sum\limits_{m=0}^{M-1}\mu_{nm}\frac{hH|\eta(y(u_n, v_m))|}{|x-y(u_n, v_m)|},$
  129. \end{center}
  130. Для уравнения Гельмгольца:
  131. \begin{center}
  132. $K_k (x) = \frac{1}{4\pi}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sum\limits_{m=0}^{M-1}\mu_{nm}e^{ik|x-y(u_n, v_m)|}\frac{hH|\eta(y(u_n, v_m))|}{|x-y(u_n, v_m)|}.$
  133. \end{center}
  134. Вычисление потенциала по приведенным формулам осуществляется через два цикла for. Т.е. вычисление производится в каждой точке $y(u_n, v_m)$ с последующим суммированием по всем этим точкам.
  135. \vspace{0.3cm}
  136. \newline
  137. \textit{\textbf{2. Алгоритм №2. Вычисление потенциала простого слоя по улучшенной квадратурной формуле}}
  138. \vspace{0.2cm}
  139. \newline
  140. Для алгоритма №2 используются обозначения аналогичные алгоритму №1, также в алгоритме №2 использована прежняя параметризация. Все вычисления производятся аналогично первому алгоритму. Отличие заключается лишь в формулах для вычисления потенциала. Улучшенная формула для вычисления потенциала простого слоя для уравнения Лапласа имеет вид:
  141. \begin{center}
  142. $S_0 (x) = \frac{1}{4\pi}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sum\limits_{m=0}^{M-1}\mu_{nm}|\eta(y(u_n, v_m))|\theta_{nm}(x),$
  143. \end{center}
  144. Для уравнения Гельмгольца:
  145. \begin{center}
  146. $S_k (x) = \frac{1}{4\pi}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sum\limits_{m=0}^{M-1}\mu_{nm}|\eta(y(u_n, v_m))|e^{ik|x-y(u_n, v_m)|}\theta_{nm}(x),$
  147. \end{center}
  148. где $\theta_{nm}(x)-$ канонический интеграл:
  149. \begin{center}
  150. $\theta_{nm}(x) = \Large \displaystyle \int\limits_{u_n-\frac{h}{2}}^{u_n+\frac{h}{2}}du \int\limits_{v_m-\frac{H}{2}}^{v_m+\frac{H}{2}}\frac{dv}{|x-y(u_n, v_m)|}.$
  151. \end{center}
  152. Канонический интеграл будет вычислен ниже.
  153. \vspace{0.4cm}
  154. \newline
  155. \textit{2.1 Формулы для вычисления $\theta_{nm}$}
  156. \vspace{0.4cm}
  157. \newline
  158. Пусть $U=u-u_n, V=v-v_m,$
  159. \begin{center}
  160. $P =\sum\limits_{j=1}^{3}r_j(y_j)'_u, \quad Q =  \sum\limits_{j=1}^{3}r_j(y_j)'_v, \quad  \alpha^2=\sum\limits_{j=1}^{3}((y_j)'_u)^2, \quad \beta^2=\sum\limits_{j=1}^{3}((y_j)'_v)^2, \quad \delta =  \sum\limits_{j=1}^{3}(y_j)'_u(y_j)'_v, $
  161. \end{center}
  162. где производные по $u$ и $v$ берутся в точке $u=u_n, v=v_m$. Согласно условию (1), $\alpha^2>0, \beta^2>0$ во всех точках пространства.
  163. \newline
  164. Тогда
  165. \begin{center}
  166. $\theta_{nm}=\frac{1}{\beta}(I(H)-I(-H))$,
  167. \end{center}
  168. где
  169. \begin{center}
  170. $I(H)=\Large \displaystyle \int\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}dU\ln{
  171. \begin{vmatrix}
  172. \frac{H}{2}+\frac{\delta U + Q}{\beta^2}+\sqrt{(\frac{H}{2}+\frac{\delta U + Q}{\beta^2})^2-\frac{(\delta U+Q)^2}{\beta^4}+\frac{\alpha^2 U^2 + 2PU + r^2}{\beta^2}}
  173. \end{vmatrix}
  174. }$
  175. \end{center}
  176. Введя обозначения
  177. \begin{center}
  178. $\delta_0=\frac{\delta}{\beta^2}, \quad \alpha_0^2 = \frac{\alpha^2}{\beta^2}>0, \quad \varepsilon = \frac{H}{2}+\frac{Q}{\beta^2}, \quad \beta_0 = \frac{\delta H + 2P}{2\beta^2}, \quad \chi_0 = \frac{H^2}{4}+\frac{HQ+r^2}{\beta^2}, $
  179. \end{center}
  180. запишем последний интеграл в виде
  181. \begin{center}
  182. $I(H)=\Large \displaystyle \int\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}dU\ln{
  183. \begin{vmatrix}
  184. \varepsilon+\delta_0U + \sqrt{\alpha_0^2U^2+2\beta_0U+\chi_0}
  185. \end{vmatrix}}$.
  186. \end{center}
  187. Положим $\chi_1^2=\chi_0-\frac{\beta_0^2}{\alpha_0^2}\leq0$.
  188. \vspace{0.1cm}
  189. \newline
  190. Теперь необходимо рассмотреть два случая: $\chi_1>0$ и $\chi_1=0$. Интеграл $I(-H)$ вычисляется по тем же формулам, что и интеграл $I(H)$, но в параметрах $\varepsilon,\; \beta_0, \; \chi_0$ надо заменить $H$ на $-H$.
  191. \vspace{0.4cm}
  192. \newline
  193. 2.1.1 Формулы для вычисления I(H)
  194. \vspace{0.1cm} \newline
  195. 2.1.1.1 Формулы для вычисления I(H) при $\chi_1>0$
  196. \vspace{0.4cm}
  197. Сделаем гиперболическую замену переменной в интеграле I(H) по формулам
  198. \begin{center}
  199. $U=\frac{\chi_1 \sh{t}-\frac{\beta_0}{\alpha_0}}{\alpha_0}, \quad t=\;$arcsh\;$\zeta, \quad \zeta = \frac{\alpha_0 U + \frac{\beta_0}{\alpha_0}}{\chi_1},$
  200. \end{center}
  201. и обозначим
  202. \begin{center}
  203. $t_{\pm}=\;$arcsh\;$\zeta_{\pm},\quad \zeta_{\pm} = \frac{\pm\alpha_0 U + \frac{\beta_0}{\alpha_0}}{\chi_1},$
  204. \end{center}
  205. тогда
  206. \begin{center}
  207. $I(H)=\frac{\chi_1}{\alpha_0}\left(\ln{
  208. \begin{vmatrix}
  209. \varepsilon_1 + \delta_1 \zeta + \chi_1 \sqrt{\zeta^2 + 1}
  210. \end{vmatrix}
  211. }\right)\zeta\bigg|_{\zeta_-}^{\zeta_+}-\frac{\chi_1}{\alpha_0}I_1,$
  212. \end{center}
  213. где
  214. \begin{equation}\label{eq2}
  215. I_1=\frac{\delta_+}{2}I_2-\chi_1 I_3+\frac{\delta_-}{2}I_4,
  216. \end{equation}
  217. \begin{center}
  218. $\delta_{\pm}=\chi_1 \pm \delta_1.$
  219. \end{center}
  220. \vspace{1.0cm}
  221. %\newline
  222. \textbf{Полученные результаты}
  223. \vspace{0.4cm}
  224. \newline
  225. Тестирование квадратурных формул для потенциала простого слоя для уравнения Лапласа и Гельмгольца проведено в случае, когда поверхность Ф является сферой единичного радиуса, которая задана параметрически уравнениями
  226. \begin{equation}\label{eq3}
  227. y_1(u,v) = \sin{v}\cos{u}, \quad y_2(u,v) = \sin{v} \sin{u}, \quad y_3(u,v) = \cos{v}
  228. \end{equation}
  229. причем $(u,v) \in [0,2\pi] \times [0,\pi]$. Заметим, что условия (1) нарушаются в полюсах сферы, но не в точках $y(u_n, v_m)$, поэтому квадратурные формулы остаются в силе.
  230. \newline
  231. В рассматриваемых тестовых примерах для потенциала простого слоя с заданной на единичной сфере плотностью известно точное значение потенциала во всем пространстве, поэтому точные значения потенциала можно сравнить с приближенными, вычисленными по квадратурным формулам. Во всех тестах приближенное значение потенциала простого слоя вычислялось по стандартным квадратурным формулам $K_0(x)$ и $K_k(x)$ и по улучшенным квадратурным формулам $S_0(x)$ и $S_k(x)$ в некоторых точках на вспомогательных сферах, имеющих центры в начале координат и радиусы, равные $1\pm\Delta R$. Тем самым, вспомогательные сферы находятся либо внутри, либо снаружи сферы единичного радиуса, на которой задана плотность потенциала, на расстоянии $\Delta R$ от неё. Затем были рассчитаны значения абсолютных погрешностей в этих точках $|K_k(x)-V_k[\mu](x)|$ и $|S_k(x)-V_k[\mu](x)|$ (здесь $k \geq0$) либо относительных погрешностей (когда абсолютная погрешность делится на модуль точного значения потенциала в данной точке), и для каждой вспомогательной сферы определялись максимумы значений этих погрешностей.
  232. \newline
  233. Координаты точек, которые использовались для оценки максимальной абсолютной либо относительной погрешности:
  234. \begin{center}
  235. $x_j^{ql} = Ry_j(u_q, v_l), \quad j = 1,2,3$
  236. \end{center}
  237. \begin{equation}\label{eq4}
  238. u_q = \frac{2\pi}{2N}q, \quad q=0,1,2;\quad v_l = \frac{\pi}{2M}l, \quad l=0,...,2M,
  239. \end{equation}
  240. где $y_j(u,v)$ определяется формулами (3), R – радиус вспомогательной сферы. То есть эти точки расположены над и под центрами участков разбиения единичной сферы, серединами границ между такими участками и пересечениями этих границ. Отметим, что эти точки распределены не по всей сфере, а находятся вблизи нулевого меридиана.
  241. \newline
  242. Вычисления проводились для различных значений M и N. Значения шагов определяются формулами $h = 2\pi / N, H = \pi / M$. Если N = M = 25, то h = 0.25, H = 0.13; если N = M = 50, то h = 0.126, H = 0.063; если N = M = 100, то h = 0.063, H = 0.031.
  243. \vspace{0.4cm}
  244. \newline
  245. \textit{\textbf{Тест для уравнения Лапласа}}
  246. \vspace{0.4cm}
  247. \newline
  248. В данном тесте использовалась плотность потенциала $\mu(y(u,v))=4\pi$. В таком случае гармонический потенциал простого слоя имеет вид
  249. \begin{center}
  250. $V_0[\mu](x)=
  251. \begin{cases}
  252.   4\pi, &\text{|x| $<1$}\\
  253.   \frac{4\pi}{|x|}, &\text{|x| $>1$}
  254. \end{cases}$
  255. \end{center}
  256. \vspace{0.1cm}
  257. Ниже приведены таблицы с рассчитанными максимальными значениями относительных погрешностей. В левом столбце указано отличие радиуса вспомогательной сферы от единицы: для внутренних сфер радиус равен $1-\Delta R$, для внешних $1+\Delta R$. Также ниже представлены графики зависимости максимальной относительной погрешности от радиуса вспомогательной сферы и зависимости максимальной относительной погрешности от шага разбиения. Можно видеть, что при уменьшении шага разбиения, т.е. при увеличении значений M и N, погрешность уменьшается, т.е. рассчитанные зависимости становятся все ближе к теоретическим. Также можно заметить, что погрешность растёт при уменьшении расстояния до поверхности сферы.
  258. \begin{figure}[h!]
  259. \center{\includegraphics[scale=1.0]{Table1}}
  260. \caption*{\centering Таблица 1.1: Максимальная относительная погрешность квадратурных формул в тесте 1 для точек, находящихся на внешних сферах}
  261. \label{fig:image}
  262. \end{figure}
  263. \begin{figure}[h!]
  264. \center{\includegraphics[scale=1.0]{Table2}}
  265. \caption*{\centering Таблица 1.2: Максимальная относительная погрешность квадратурных формул в тесте 1 для точек, находящихся на внутренних сферах}
  266. \label{fig:image}
  267. \end{figure}
  268. \clearpage
  269. \begin{figure}[h!]
  270. \begin{minipage}[]{0.47\linewidth}
  271. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{11}}
  272. \end{minipage}
  273. \hfill
  274. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  275. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{12}}
  276. \end{minipage}
  277. \vfill
  278. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  279. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{13}}
  280. \end{minipage}
  281. \hfill
  282. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  283. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{14}}
  284. \end{minipage}
  285. \hfill
  286. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  287. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{15}}
  288. \end{minipage}
  289. \hfill
  290. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  291. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{16}}
  292. \end{minipage}
  293. \caption*{\centering Рис. 1.1.1: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по стандартной квадратурной формуле, от расстояния $\Delta R$ (внешние сферы)}
  294. \label{ris:experimentalcorrelationsignals}
  295. \end{figure}
  296. \clearpage
  297. \begin{figure}[h!]
  298. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  299. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{17}}
  300. \end{minipage}
  301. \hfill
  302. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  303. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{18}}
  304. \end{minipage}
  305. \vfill
  306. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  307. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{19}}
  308. \end{minipage}
  309. \hfill
  310. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  311. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{20}}
  312. \end{minipage}
  313. \hfill
  314. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  315. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{21}}
  316. \end{minipage}
  317. \hfill
  318. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  319. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{22}}
  320. \end{minipage}
  321. \caption*{\centering Рис. 1.1.2: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по улучшенной квадратурной формуле, от расстояния $\Delta R$ (внешние сферы)}
  322. \label{ris:experimentalcorrelationsignals1}
  323. \end{figure}
  324. \clearpage
  325. \begin{figure}[h!]
  326. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  327. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1h1}}
  328. \end{minipage}
  329. \hfill
  330. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  331. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1h2}}
  332. \end{minipage}
  333. \vfill
  334. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  335. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1h3}}
  336. \end{minipage}
  337. \hfill
  338. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  339. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1h4}}
  340. \end{minipage}
  341. %\hfill
  342. \center{\includegraphics[width=0.47\linewidth]{1h5}}
  343. \caption*{\centering Рис. 1.1.3: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по стандартной квадратурной формуле, от шага разбиения (внешние сферы)}
  344. \label{ris:experimentalcorrelationsignals3}
  345. \end{figure}
  346. \clearpage
  347. \begin{figure}[h!]
  348. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  349. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1h6}}
  350. \end{minipage}
  351. \hfill
  352. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  353. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1h7}}
  354. \end{minipage}
  355. \vfill
  356. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  357. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1h8}}
  358. \end{minipage}
  359. \hfill
  360. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  361. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1h9}}
  362. \end{minipage}
  363. %\hfill
  364. \center{\includegraphics[width=0.47\linewidth]{1h10}}
  365. \caption*{\centering Рис. 1.1.4: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по улучшенной квадратурной формуле, от шага разбиения (внешние сферы)}
  366. \label{ris:experimentalcorrelationsignal4}
  367. \end{figure}
  368. \clearpage
  369. \begin{figure}[h!]
  370. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  371. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{111}}
  372. \end{minipage}
  373. \hfill
  374. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  375. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{112}}
  376. \end{minipage}
  377. \vfill
  378. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  379. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{113}}
  380. \end{minipage}
  381. \hfill
  382. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  383. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{114}}
  384. \end{minipage}
  385. \hfill
  386. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  387. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{115}}
  388. \end{minipage}
  389. \hfill
  390. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  391. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{116}}
  392. \end{minipage}
  393. \caption*{\centering Рис. 1.2.1: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по стандартной квадратурной формуле, от расстояния $\Delta R$ (внутренние сферы)}
  394. \label{ris:experimentalcorrelationsignals}
  395. \end{figure}
  396. \clearpage
  397. \begin{figure}[h!]
  398. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  399. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{117}}
  400. \end{minipage}
  401. \hfill
  402. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  403. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{118}}
  404. \end{minipage}
  405. \vfill
  406. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  407. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{119}}
  408. \end{minipage}
  409. \hfill
  410. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  411. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{120}}
  412. \end{minipage}
  413. \hfill
  414. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  415. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{121}}
  416. \end{minipage}
  417. \hfill
  418. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  419. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{122}}
  420. \end{minipage}
  421. \caption*{\centering Рис. 1.2.2: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по улечшенной квадратурной формуле, от расстояния $\Delta R$ (внутренние сферы)}
  422. \label{ris:experimentalcorrelationsignals}
  423. \end{figure}
  424. \clearpage
  425. \begin{figure}[h!]
  426. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  427. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2h1}}
  428. \end{minipage}
  429. \hfill
  430. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  431. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2h2}}
  432. \end{minipage}
  433. \vfill
  434. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  435. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2h3}}
  436. \end{minipage}
  437. \hfill
  438. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  439. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2h4}}
  440. \end{minipage}
  441. %\hfill
  442. \center{\includegraphics[width=0.47\linewidth]{2h5}}
  443. \caption*{\centeringРис. 1.2.3: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по стандартной квадратурной формуле, от шага разбиения (внутренние сферы)}
  444. \label{ris:experimentalcorrelationsignal5}
  445. \end{figure}
  446. \clearpage
  447. \begin{figure}[h!]
  448. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  449. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2h6}}
  450. \end{minipage}
  451. \hfill
  452. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  453. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2h7}}
  454. \end{minipage}
  455. \vfill
  456. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  457. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2h8}}
  458. \end{minipage}
  459. \hfill
  460. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  461. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2h9}}
  462. \end{minipage}
  463. %\hfill
  464. \center{\includegraphics[width=0.47\linewidth]{2h10}}
  465. \caption*{\centering Рис. 1.2.4: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по улучшенной квадратурной формуле, от шага разбиения (внутренние сферы)}
  466. \label{ris:experimentalcorrelationsignal5}
  467. \end{figure}
  468. \clearpage
  469. \newpage
  470. \textit{\textbf{Тест для уравнения Гельмгольца}}
  471. \vspace{0.4cm}
  472. \newline
  473. В данном тесте использовалась плотность потенциала $\mu(y(u,v))=k$. В таком случае гармонический потенциал простого слоя имеет вид
  474. \begin{center}
  475. $V_0[\mu](x)=
  476. \begin{cases}
  477.   e^{ik}\frac{\sin{k|x|}}{|x|}, &\text{|x| $<1$}\\
  478.   \sin{k}\frac{e^{ik|x|}}{|x|}, &\text{|x| $>1$}
  479. \end{cases}$
  480. \end{center}
  481. \vspace{0.1cm}
  482. Методика вычисления в тесте 2 аналогична таковой в тесте 1. В таблице 3.1 и 3.2 приведены рассчитанные максимальные значения относительных погрешностей. Построены графики зависимости максимальной относительной погрешности от радиуса вспомогательной сферы и зависимости максимальной относительной погрешности от шага разбиения.
  483. \begin{figure}[h!]
  484. \center{\includegraphics[scale=1.0]{Table3}}
  485. \caption*{\centering Таблица 3.1: Максимальная относительная погрешность квадратурных формул в тесте 3 для точек, находящихся на внешних сферах}
  486. \label{fig:image}
  487. \end{figure}
  488. \begin{figure}[h!]
  489. \center{\includegraphics[scale=1.0]{Table4}}
  490. \caption*{\centering Таблица 3.2: Максимальная относительная погрешность квадратурных формул в тесте 3 для точек, находящихся на внутренних сферах}
  491. \label{fig:image}
  492. \end{figure}
  493. \clearpage
  494. \begin{figure}[h!]
  495. \begin{minipage}[]{0.47\linewidth}
  496. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{41}}
  497. \end{minipage}
  498. \hfill
  499. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  500. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{42}}
  501. \end{minipage}
  502. \vfill
  503. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  504. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{43}}
  505. \end{minipage}
  506. \hfill
  507. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  508. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{44}}
  509. \end{minipage}
  510. \hfill
  511. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  512. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{45}}
  513. \end{minipage}
  514. \hfill
  515. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  516. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{46}}
  517. \end{minipage}
  518. \caption*{\centering Рис. 3.1.1: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по стандартной квадратурной формулы, от расстояния $\Delta R$ (внешние сферы)}
  519. \label{ris:experimentalcorrelationsignals}
  520. \end{figure}
  521. \clearpage
  522. \begin{figure}[h!]
  523. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  524. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{47}}
  525. \end{minipage}
  526. \hfill
  527. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  528. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{48}}
  529. \end{minipage}
  530. \vfill
  531. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  532. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{49}}
  533. \end{minipage}
  534. \hfill
  535. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  536. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{50}}
  537. \end{minipage}
  538. \hfill
  539. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  540. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{51}}
  541. \end{minipage}
  542. \hfill
  543. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  544. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{52}}
  545. \end{minipage}
  546. \caption*{\centering Рис. 3.1.2: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по улучшенной квадратурной формуле, от расстояния $\Delta R$ (внешние сферы)}
  547. \label{ris:experimentalcorrelationsignals1}
  548. \end{figure}
  549. \clearpage
  550. \begin{figure}[h!]
  551. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  552. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3h1}}
  553. \end{minipage}
  554. \hfill
  555. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  556. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3h2}}
  557. \end{minipage}
  558. \vfill
  559. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  560. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3h3}}
  561. \end{minipage}
  562. \hfill
  563. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  564. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3h4}}
  565. \end{minipage}
  566. %\hfill
  567. \center{\includegraphics[width=0.47\linewidth]{3h5}}
  568. \caption*{\centering Рис. 3.1.3: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по стандартной квадратурной формуле, от шага разбиения (внешние сферы)}
  569. \label{ris:experimentalcorrelationsignals3}
  570. \end{figure}
  571. \clearpage
  572. \begin{figure}[h!]
  573. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  574. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3h6}}
  575. \end{minipage}
  576. \hfill
  577. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  578. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3h7}}
  579. \end{minipage}
  580. \vfill
  581. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  582. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3h8}}
  583. \end{minipage}
  584. \hfill
  585. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  586. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3h9}}
  587. \end{minipage}
  588. %\hfill
  589. \center{\includegraphics[width=0.47\linewidth]{3h10}}
  590. \caption*{\centering Рис. 3.1.4: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по улучшенной квадратурной формуле, от шага разбиения (внешние сферы)}
  591. \label{ris:experimentalcorrelationsignal4}
  592. \end{figure}
  593. \clearpage
  594. \begin{figure}[h!]
  595. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  596. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{211}}
  597. \end{minipage}
  598. \hfill
  599. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  600. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{212}}
  601. \end{minipage}
  602. \vfill
  603. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  604. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{213}}
  605. \end{minipage}
  606. \hfill
  607. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  608. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{214}}
  609. \end{minipage}
  610. \hfill
  611. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  612. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{215}}
  613. \end{minipage}
  614. \hfill
  615. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  616. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{216}}
  617. \end{minipage}
  618. \caption*{\centering Рис. 3.2.1: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по стандартной квадратурной формуле, от расстояния $\Delta R$ (внутренние сферы)}
  619. \label{ris:experimentalcorrelationsignals}
  620. \end{figure}
  621. \clearpage
  622. \begin{figure}[h!]
  623. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  624. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{217}}
  625. \end{minipage}
  626. \hfill
  627. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  628. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{218}}
  629. \end{minipage}
  630. \vfill
  631. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  632. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{219}}
  633. \end{minipage}
  634. \hfill
  635. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  636. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{220}}
  637. \end{minipage}
  638. \hfill
  639. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  640. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{221}}
  641. \end{minipage}
  642. \hfill
  643. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  644. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{222}}
  645. \end{minipage}
  646. \caption*{\centering Рис. 3.2.2: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по улучшенной квадратурной формулы, от расстояния  $\Delta R$ (внутренние сферы)}
  647. \label{ris:experimentalcorrelationsignals}
  648. \end{figure}
  649. \clearpage
  650. \begin{figure}[h!]
  651. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  652. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4h1}}
  653. \end{minipage}
  654. \hfill
  655. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  656. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4h2}}
  657. \end{minipage}
  658. \vfill
  659. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  660. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4h3}}
  661. \end{minipage}
  662. \hfill
  663. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  664. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4h4}}
  665. \end{minipage}
  666. %\hfill
  667. \center{\includegraphics[width=0.47\linewidth]{4h5}}
  668. \caption*{\centering Рис. 3.2.3: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по стандартной квадратурной формуле, от шага разбиения (внутренние сферы)}
  669. \label{ris:experimentalcorrelationsignal5}
  670. \end{figure}
  671. \clearpage
  672. \begin{figure}[h!]
  673. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  674. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4h6}}
  675. \end{minipage}
  676. \hfill
  677. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  678. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4h7}}
  679. \end{minipage}
  680. \vfill
  681. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  682. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4h8}}
  683. \end{minipage}
  684. \hfill
  685. \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
  686. \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4h9}}
  687. \end{minipage}
  688. %\hfill
  689. \center{\includegraphics[width=0.47\linewidth]{4h10}}
  690. \caption*{\centering Рис. 3.2.4: Зависимости максимальной относительной погрешности потенциала, вычисленного по улучшенной квадратурной формуле, от шага разбиения (внутренние сферы)}
  691. \label{ris:experimentalcorrelationsignal5}
  692. \end{figure}
  693. \clearpage
  694.  
  695. \vspace{1.0cm}
  696. %\newline
  697. \textbf{Вывод}
  698. \vspace{0.4cm}
  699. \newline
  700. В данной работе рассчитывались значения потенциала для уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца по стандартным квадратурным формулам и квадратурным формулам повышенной точности. Были построены графики зависимости максимальной относительной или абсолютной погрешности от радиуса вспомогательной сферы и зависимости максимальной относительной и абсолютной погрешности от шага разбиения. Была построена таблица относительных или абсолютных погрешностей для различных разбиений и расстояний до центра сферы. Расчёты показывают преимущество квадратурных формул повышенной сложности над стандартными квадратурными формулами.
  701. \vspace{1.0cm}
  702. \clearpage
  703. \textbf{Список литературы}
  704. \vspace{0.4cm}
  705. \newline
  706. [1] А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. – М.: Изд-во МГУ, 2004. – 798 с.
  707. \newline
  708. [2] P.A. Krutitskii, D.Y. Kwak, Y.K. Hyon. Numerical treatment of a skew-derivative problem for the Laplace equation in the exterior of an open arc. Journal of Engineering Mathematics. (2007) v. 59, p. 25-60.
  709. \newline
  710. [3] П.А. Крутицкий, А.Д. Федотова, В.В. Колыбасова. Квадратурная формула потенциала простого слоя. Готовится к печати.
  711. \newline
  712. [4] К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.
  713.  
  714. \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement
Public Pastes
Advertisement
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy.  OK, I Understand
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up, it unlocks many cool features!