\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{listings} \lstloadlanguages{Java}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{verbatim}
\usepackage[absolute]{textpos}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancypagestyle{plain}{% define header for first page of document
\fancyhead[L]{DN1241 - Numeriska Metoder - KTH 2009\\ Alexander Georgii-Hemming Cyon - 8706080333\\ Emil Arfvidsson - 890122-4975}
%\fancyhead[R]{\thepage} % "thepage" printar ut sidonumret.
}
%Header for remaining pages in document
\fancyhead{} %[L]{KTH}
\fancyfoot[R]{\thepage}

\title{3A.15 Badringen – bézierkonstruerad torus}
\author{}

\thispagestyle{empty}
\begin{document} \lstset{language=Java, breaklines=true, breakindent=1.25em, tabsize=4}
	\maketitle												%lowleft-x lowleft-y upri-x upri-y
	\includegraphics[scale = 0.35,keepaspectratio = false,bb = 20 20 575 575]{badring.png}
	\newpage

\tableofcontents
\newpage

\section{Sammanfattning}
Hur många kilogram kan en badring lyfta? Hur stor volym har din badring? Hur ritar man en 3-Dimensionell bild av en badring med matematik? De är förstås frågor du alltid har frågat dig själv! Vi har svaren på dessa samt ytterligare frågor, då vi har arbetat med Labbuppgiften \emph{Badringen}. Uppgiften går ut på att bestämma styrpunkterna till en (sluten) kubisk bézierkurva, för att sedan låta denna kurva bilda tvärstittet för en badring. Själva ringen får man genom att låta detta tvärsnitt rotera kring Z-axeln. Med hjälp av numeriska metoder kan vi bestämma volymen för vår badring samt hur stor dess bärkraft är.

\section{Bakgrund}
Badringar kan vara farliga vattenleksaker om de inte är tillverkade på rätt sätt. Lekmiljörådet har därför givit riktlinjer som samtliga badringar måste uppfylla. Hålets minsta diameter ska vara 24 cm, denna s.k. trångcirkel ska vara nötningsförstärkt o.s.v. Det är inte lätt att tillverka badringar. Vi börjar med att beräkna vårt tvärsnitt, för att åtstadkomma detta behöver vi bézierkurvans styrpunkter \emph{b} och \emph{c}, kurvans start och slut punkt $p_1$ respektive $p_2$ är samma punkt och dess kordinat är $(0,0)$ detta är givet. För att kunna bestämma bézierkurvans styrpunkter \emph{b} och \emph{c}, har vi fått fyra punkter kurvan måste genomlöpa. Dessa punkter har kordinaterna: $ (8, −3)$, $(12, 2)$, $(6.5, 9.5)$ samt $(2, 5.5)$.

\section{Problem}
I och med att kurvan måste gå igenom samtliga punkter blir vårt ekvationssystem överbestämt, vi kan alltså inte beräkna ett precist värde av bézierkurvans styrpunkter utan bara approximera dem. För att göra detta behöver vi start gissningar för \emph{b} respektive \emph{c}. Det visade sig att de numeriska metoder vi använde för att approximera styrpunkterna var mycket känsliga för hur precisa värden vi hade på startgissningarna. Detta blev mycket problematiskt då det resulterade i att vi trodde att vi hade gjort något fel i vår matematiska uträkning.



\section{Metoder}
En kubisk bézierkurva är en kurva som börjar i startpunkten $p_1$ och slutar i slutpunkten $p_2$, kurvan går från $p_1$ i riktningen mot styrpunkten \emph{b} (där av namnet 'styrpunkt') och svänger sedan av för att skära den punkt som ligger på $3/4$ av avståndet mellan mittpunkten mellan $p_1$-$p_2$ samt mittpunkten mellan \emph{b}-\emph{c}

För att approximera styrpunkterna \emph{b} och \emph{c} behövde vi mycket goda startgissningar. Dessa fastställde vi enbart genom 'trial and error' metoden. Vi började med startgissningar som var väldigt oakurata för att sedan förbättra dessa genom geometrisk avläsning i figuren över kurvan, som vi ritade med matlabs 'plot'-funktion. Efter åtskilliga startgissningar fann vi till slut tillräckligt bra värden för att \emph{Newtons}-metod skulle fungera.

För att uppnå så bra approximation av styrpunkterna som möjlig använde vi som ovan nämnt använde vi oss av \emph{Newtons}-metod för lösning av vårt ickelinjära ekvationssystem. Ekvationsystem har åtta obekanta, \emph{t-värdena} för de fyra punkterna bézierkurvan ska genomlöpa, samt de båda styrpunkternas koordinater.

\emph{Newtons}-metod går ut på att nyttjar \emph{Minstakvadratmetoden} för att minimera felen i våra startgissningar. Detta görs genom att man tar hänsyn till lutningarna i varje punkt, information som erhålls ifrån Jacobianen och justerar koordinaterna efter dessa lutningar. Hur stora felen får vara bestäms innan algoritmen körs och bestämmer även när algoritmen skall terminera. När vi erhållit en god approximation för bézierkurvans nyckelvärden kan vi rita upp tvärsnittet mer precist än med våra startgissningar, samt beräkna $Area_{tvarsnitt}$. $Area_{tvarsnitt}$ erhålls från en ekvation som var given i labbpeket:
$$1/2 * \int_0^1 \! xz'-zx' \, dt.$$
$$ x_{tp} = 24/2 + |\,  \int_0^1 xzx' dt  \,|/Area_{tvarsnitt} $$

\section{Resultat}
\emph{Newtons}-metod gav oss en god approximation för \emph{t-värdena} för de fyra givna punkterna samt \emph{X-} och \emph{Y}-koordinaterna för våra styrpunkter \emph{b} och \emph{c}.
\\\emph{t-värdena}:
\\$t_1 = 0.1532$, $t_2 = 0.4074$, $t_3 = 0.7422$ samt $t_4 = 0.9154$
\\$b = ( 22.9477, -14.0179)$ respektive $c = ( 7.2888, 27.1677)$
Vi vet hur goda våra approximationer är, eftersom \emph{Newtons}-metod terminerar när normen för vår felvektor blivit mindre än ett fixt 'toleransvärde'. Vi satte detta värde till $1*10^{-14}$, vilket resuluterar i att felet är i den storleksordningen.





\section{Tillförlitlighet}
Ganska troligt

\section{Slutsats}
Det är slut

\end{document}