Advertisement
Guest User

Untitled

a guest
Jan 17th, 2018
65
0
Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
Latex 5.05 KB | None | 0 0
  1. \documentclass[]{article}
  2. \usepackage{amsmath}
  3. \usepackage{listings}
  4. \usepackage{color}
  5. \usepackage{longtable}
  6. \usepackage{pgfplots}
  7. \pgfplotsset{width=15cm,compat=1.9}
  8. \usepackage[T1]{fontenc}
  9. \usepackage[polish]{babel}
  10. \usepackage[utf8]{inputenc}
  11. \usepackage{lmodern}
  12. \selectlanguage{polish}
  13.  
  14. \definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
  15. \definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.6}
  16. \definecolor{codegray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
  17. \definecolor{codepurple}{rgb}{0.58,0,0.82}
  18. \definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92}
  19.  
  20. \lstdefinestyle{mystyle}{  
  21.     commentstyle=\color{codegreen},
  22.     keywordstyle=\color{magenta},
  23.     keywordstyle=[2]\color{codeblue},
  24.     numberstyle=\tiny\color{codegray},
  25.     stringstyle=\color{codepurple},
  26.     basicstyle=\footnotesize,
  27.     breakatwhitespace=false,        
  28.     breaklines=true,                
  29.     captionpos=b,                    
  30.     keepspaces=true,                
  31.     numbers=left,                    
  32.     numbersep=5pt,                  
  33.     showspaces=false,                
  34.     showstringspaces=false,
  35.     showtabs=false,                  
  36.     tabsize=2,
  37.     keywords=[2]{zesp},
  38. }
  39.  
  40.  
  41. \lstset{style=mystyle}
  42.  
  43. \usepackage{geometry}
  44. \usepackage{bbold}
  45. \newgeometry{tmargin=3cm, lmargin=3cm, rmargin=3cm}
  46. %opening
  47. \title{Metody numeryczne}
  48. \author{Wojciech Chrobak}
  49.  
  50. \begin{document}
  51.  
  52.     \maketitle
  53.    
  54.    
  55.     \section*{Zadanie 6 - obowiązkowe}
  56.    
  57.    
  58.     \subsection*{Metoda Laguerre'a}
  59.     Metoda Laguerre'a jest metodą numerycznego poszukiwania \textbf{miejsc zerowych wielomianów}.\\
  60.     W wypadku ogólnym:
  61.     \begin{itemize}
  62.         \item metoda jest zbieżna sześciennie do wszystkich pojedynczych miejsc zerowych (rzeczywistych i zespolonych)
  63.         \item metoda jest zbieżna liniowo do wielokrotnych miejsc zerowych
  64.         \item przypadki braku zbieżności są bardzo rzadkie; w nielicznych przypadkach, w których metodzie grozi stagnacja, można ją przerwać wykonując jeden-dwa kroki metodą Newtona, a potem powrócić do metody Laguerre'a
  65.         \item metoda jest podobna do metody opartej o rozwinięcie w szereg Taylora do drugiego rzędu ale jest lepsza, gdyż uwzględnia stopień wielomianu
  66.         \item metoda wymaga obliczania drugiej pochodnej, ale w wypadku wielomianów jest to bardzo proste
  67.         \item metoda nawet dla rzeczywistych punktów początkowych może prowadzić do zespolonych miejsc zerowych. Jednak z uwagi na specyfikę wielomianów, nie ma sensu upieranie się przy operowaniu na liczbach rzeczywistych
  68.     \end{itemize}
  69.     \subsubsection*{Algorytm}
  70.     Metoda Laguerre'a znalezienia jednego pierwiastka wielomianu $P(x)$ stopnia $n$ jest następująca:
  71.     \begin{itemize}
  72.         \item wybierz dowolny zespolony punkt startowy $x_0$
  73.         \item dla $k = 0, 1, 2, ...$
  74.         \begin{itemize}
  75.             \item jeśli $P(x_k)$ bardzo małe, przerwij pętle
  76.             \item wylicz $$G = \frac{P'(x_k)}{P(x_k)}$$
  77.             \item wylicz $$H = G^2 - \frac{P''(x_k)}{P(x_k)}$$
  78.             \item wylicz $$a = \frac{n}{G \pm \sqrt{(n-1)(nH-G^2)}}$$ znak wybierany jest w ten sposób aby mianownik miał większy moduł dla uniknięcia utraty cyfr znaczących
  79.             \item przypisz $x_{k+1} = x_k - a$
  80.         \end{itemize}
  81.         \item powtarzaj dotąd aż $a$ stanie się dostatecznie małe lub będzie osiągnięta maksymalna ilość iteracji
  82. \end{itemize}  
  83.     \subsubsection*{Strategia postępowania}
  84.     W ten sposób dostaliśmy \textbf{przybliżenie} miejsca zerowego $\overline{z}_{k+1}$ wielomianu $P_{n-k}$
  85.     W celu \textbf{wygładzenia} tego miejsca zerowego, liczby $\overline{z}_{k+1}$ używamy jako warunku początkowego dla metody Laguerre'a zastosowanej do pełnego wielomianu $P_n(z)$. Spodziewamy się, że w ciągu kilku iteracji znajdziemy miejsce zerowe $z_{k+1}$.
  86.     \textbf{Faktoryzujemy} wielomian $P_{n-k}(z)$, to znaczy obliczamy $P_{n-k}(z) = (z-z_{k+1})P_{n-k-1}(z)$.
  87.     Postępujemy tak dopóki nie dojdziemy do wielomianu stopnia 2, któego pierwiastki obliczamy według znanego wzoru.
  88.    
  89.    
  90.     \subsection*{Kod}
  91.     \lstinputlisting[language=C++]{../main.cpp}
  92.    
  93.     \subsection*{Wynik}
  94.     \[
  95.     243z^7 - 486z^6+783z^5-990z^4+558z^3-28z^2-72z+16=0
  96.     \]
  97.     \begin{center}
  98.         \textbf{Miejsca zerowe:} ($\Re, \Im$)
  99.     \end{center}
  100.     \[
  101.     (0.66599495,0.00000000)
  102.     \]
  103.     \[
  104.     (0.66700240,-0.00058032)
  105.     \]
  106.     \[
  107.     (0.33333334,0.00000000)
  108.     \]
  109.     \[
  110.     (0.66700265,0.00058032)
  111.     \]
  112.     \[
  113.     (-0.33333333,0.00000000)
  114.     \]
  115.     \[
  116.     (0.00000000,1.41421356)
  117.     \]
  118.     \[
  119.     (0.00000000,-1.41421356)
  120.     \]
  121.     \[
  122.     z^{10}+z^9+3z^8+2z^7-z^6-3z^5-11z^4-8z^3-12z^2-4z-4=0
  123.     \]
  124.     \begin{center}
  125.         \textbf{Miejsca zerowe:} ($\Re, \Im$)
  126.     \end{center}
  127.     \[
  128.     (0.00001593,-0.99997605)
  129.     \]
  130.     \[
  131.     (0.00001105,0.99997767)
  132.     \]
  133.     \[
  134.     (-0.00001104,1.00002233)
  135.     \]
  136.     \[
  137.     (-0.50000000,-0.86602540)
  138.     \]
  139.     \[
  140.     (0.00000000,-1.41421356)
  141.     \]
  142.     \[
  143.     (-0.50000000,0.86602540)
  144.     \]
  145.     \[
  146.     (-0.00001593,-1.00002395)
  147.     \]
  148.     \[
  149.     (1.41421356,0.00000000)
  150.     \]
  151.     \[
  152.     (0.00000000,1.41421356)
  153.     \]
  154.     \[
  155.     (-1.41421356,0.00000000)
  156.     \]
  157.     \[
  158.     z^4+iz^3-z^2-iz+1=0
  159.     \]
  160.     \begin{center}
  161.         \textbf{Miejsca zerowe:} ($\Re, \Im$)
  162.     \end{center}
  163.     \[
  164.     (0.95105652,0.30901699)
  165.     \]
  166.     \[
  167.     (0.58778525,-0.80901699)
  168.     \]
  169.     \[
  170.     (-0.95105652,0.30901699)
  171.     \]
  172.     \[
  173.     (-0.58778525,-0.80901699)
  174.     \]
  175.    
  176.    
  177.    
  178. \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement