Aux sources mathématiques des inégalités de richesse
https://www.pourlascience.fr/sd/economie/aux-sources-mathematiques-des-inegalites-de-richesse-18601.php

Aux sources mathématiques des inégalités de richesse
Un modèle mathématique simple décrit la répartition de la richesse dans les économies modernes avec une précision
sans précédent. Et remet en question quelques idées reçues sur le libre marché.
BRUCE BOGHOSIAN | 19 décembre 2019

| POUR LA SCIENCE N° 507

|

Auteur
Bruce M. Boghosian
Bruce M. Boghosian est professeur de mathématiques à l’université Tufts, aux ÉtatsUnis. Il étudie les systèmes dynamiques appliqués et les applications de la théorie des probabilités.

L'essentiel
L’inégalité en matière de richesse s’accroît à un rythme alarmant dans de nombreux
pays, en particulier aux États-Unis.
Un modèle simple de répartition de la richesse conçu par des physiciens et des
mathématiciens rend compte des inégalités de richesse dans un grand nombre de pays
avec une précision sans précédent.
Plusieurs modèles mathématiques du libre marché présentent des comportements
analogues à ceux de systèmes physiques complexes tels que les matériaux
ferromagnétiques.

© Hanna Barczyk

L’inégalité en matière de richesse s’accroît à un
rythme alarmant non seulement aux États-Unis et
en Europe, mais aussi dans des pays aussi divers que la
Russie, l’Inde et le Brésil. Selon la banque
d’investissement Crédit Suisse, la part du patrimoine
global des ménages détenue par le 1 % le plus riche de la
population mondiale est passée de 42,5 à 47,2 % entre la
crise financière de 2008 et 2018. Pour le dire autrement,
en 2010, 388 individus détenaient autant de richesses
que la moitié la plus pauvre de la population mondiale,
soit environ 3,5 milliards de personnes ; aujourd’hui,
l’organisation non gouvernementale Oxfam estime ce
nombre à 26. Et les statistiques de presque tous les pays
qui mesurent la richesse dans leurs enquêtes sur les
ménages indiquent qu’elle est de plus en plus
concentrée.
Bien que les origines des inégalités de richesse fassent
l’objet de vifs débats, une approche élaborée par des
physiciens et des mathématiciens, dont mon groupe à
l’université Tufts, aux États-Unis, suggère qu’elles se
trouvent depuis longtemps sous nos yeux – dans une
bizarrerie arithmétique bien connue. Cette méthode
utilise des modèles de répartition de richesse à base
d’agents, fondés sur des transactions deux à deux entre
agents ou acteurs économiques, dont chacun cherche à
optimiser ses propres résultats financiers. Dans le
monde moderne, rien ne peut sembler plus juste ou plus
naturel que deux personnes qui décident d’échanger des
biens, de s’entendre sur un prix et de se serrer la main.
En effet, la stabilité apparente d’un système économique
résultant de cet équilibre de l’offre et de la demande
entre les différents acteurs est considérée comme un
sommet de la pensée des Lumières, à tel point que de
nombreuses personnes en sont venues à associer le libre
marché à la notion même de liberté. Nos modèles
mathématiques, qui sont déroutants de simplicité et qui
reposent sur des transactions volontaires, suggèrent
cependant qu’il est temps de réexaminer sérieusement
cette idée.
En particulier, le « modèle affine de richesse » (nommé
ainsi en raison de ses propriétés mathématiques) décrit
avec une grande précision la répartition de la richesse
entre les ménages dans divers pays développés, tout en
révélant une asymétrie subtile qui tend à concentrer la
richesse. À notre avis, cette approche purement
analytique, qui ressemble à une radiographie en ce sens
qu’elle n’est pas tant utilisée pour représenter le
désordre du monde réel que pour le dépouiller et en
révéler le squelette sous-jacent, permet de mieux
comprendre les facteurs qui accroissent aujourd’hui la
pauvreté et les inégalités.

Inexorable oligarchie

En 1986, le sociologue et statisticien américain John
Angle décrivait pour la première fois les flux et la
répartition des richesses comme le résultat de
transactions effectuées par des paires d’agents
économiques, qui peuvent être des individus, des
ménages, des entreprises, des fonds ou d’autres entités.
Au tournant du siècle, les physiciens Slava Ispolatov,
Pavel Krapivsky et Sidney Redner, à l’université de
Boston, ainsi qu’Adrian Dragulescu, maintenant au
Constellation Energy Group, et Victor Yakovenko, de
l’université du Maryland, ont montré que l’on pouvait
analyser les modèles de ce type avec les outils de la
physique statistique. Il s’avère que dans beaucoup de ces
modèles, la richesse se déplace inexorablement d’un
agent à l’autre même s’ils sont fondés sur des échanges
équitables entre acteurs égaux.

En 2002, Anirban Chakraborti, à l’institut Saha de
physique nucléaire de Calcutta, en Inde, a introduit ce
qui est devenu le « modèle du vide-grenier », ainsi
nommé parce qu’il présente certaines caractéristiques de
transactions économiques réelles entre deux individus.
Il a également utilisé des simulations numériques pour
montrer que dans ce modèle, la richesse se concentre
inexorablement dans les mains de quelques-uns et fait
émerger une oligarchie.

Le modèle du vide-grenier, un modèle simple développé par le
physicien Anirban Chakraborti, suppose que la richesse se déplace
d’une personne à l’autre lorsque la première commet une « erreur »
dans un échange économique. Si le montant payé pour un bien est
exactement égal à ce que celui-ci vaut, aucune richesse ne change
de mains. Mais si une personne paie trop cher ou si l’autre accepte
moins que la valeur de l’article, une part de richesse est transférée.
Comme personne ne veut risquer d’être ruiné, Anirban Chakraborti
a supposé que le montant qui peut potentiellement être perdu est
une fraction de la richesse de la personne la plus pauvre. Il a
constaté que même si l’on choisit au hasard, par un tirage à pile ou
face, le résultat de chaque transaction, la multiplication de ces
ventes et achats entraîne inévitablement la concentration de toute
la richesse dans les mains d’une seule personne, une situation
d’inégalité extrême.

Pour comprendre comment cela se produit, supposons
que vous soyez invité à jouer à un jeu au casino. Vous
devez miser sur la table une certaine somme, disons
100 euros, puis on tire une pièce à pile ou face. Si le
résultat est face, le casino vous paie 20 % de ce que vous
avez misé, et vous disposerez alors de 120 euros sur la
table. Si le résultat est pile, le casino prend 17 % de votre
mise et il vous restera donc 83 euros. Vous pouvez jouer
autant de fois que vous le souhaitez. À chaque fois, vous
gagnez 20 % de ce qui est sur la table si le tirage donne
face, et vous en perdez 17 % si le tirage donne pile.
Devriez-vous accepter de jouer à ce jeu ?

Vous pourriez faire deux raisonnements, tous deux
plutôt convaincants, pour vous aider à prendre la bonne
décision. Vous pouvez penser : « La probabilité de gagner
20 euros est de ½, et la probabilité de perdre 17 euros
est de ½. Mon espérance de gain au premier tirage est
donc :

½ × (+ 20 €) + ½ × (− 17 €) = 1,50 €.

Cette espérance est positive. En d’autres termes, mes
chances de gagner et de perdre sont égales, mais la
somme récoltée si je gagne sera supérieure à celle
perdue dans le cas contraire. » De ce point de vue, il
semble avantageux de jouer à ce jeu.

Ou bien, comme un joueur d’échecs, vous pourriez
anticiper plusieurs coups : « Et si je jouais à ce jeu
10 parties successives de pile ou face ? Un résultat
vraisemblable est qu’il y aura 5 ‘‘pile’’ et 5 ‘‘face’’. Or
chaque fois qu’un ‘‘face’’ apparaît, ma mise est
multipliée par 1,2, tandis que chaque fois que c’est
‘‘pile’’, ma mise est multipliée par 0,83. Après 5 victoires
et 5 défaites, dans n’importe quel ordre, le montant dont
je disposerai sur la table sera donc :

1,2 × 1,2 × 1,2 × 1,2 × 1,2 × 0,83 × 0,83 × 0,83 × 0,83 ×
0,83 × 100 € = 98,02 €.

Autrement dit, je perdrai environ 2 € de ma mise initiale
de 100 €. » Avec un peu plus de calculs, on pourrait voir
qu’il faut environ 93 victoires pour compenser 91 pertes.
De ce point de vue, il semble désavantageux de jouer à ce
jeu.

La contradiction entre les deux arguments présentés ici
peut paraître surprenante à première vue, mais elle est
bien connue en théorie des probabilités et en finance.
Son lien avec les inégalités de richesse l’est toutefois
moins. Pour étendre la métaphore du casino aux
mouvements des richesses dans une économie
(excessivement simplifiée), imaginons un système de
1 000 individus qui s’engagent dans des échanges deux à
deux. Supposons que chacun détienne une certaine
somme initiale (qui pourrait être exactement la même
pour tous). Choisissons deux agents au hasard et
demandons-leur d’effectuer des transactions, puis
faisons de même avec deux autres agents, et ainsi de
suite. En d’autres termes, ce modèle suppose des
transactions séquentielles entre des paires d’agents
choisies au hasard. Notre plan est d’effectuer des
millions ou des milliards de transactions de ce genre
dans notre groupe de 1 000 personnes et de voir
comment la richesse sera finalement distribuée.

À quoi ressemble une transaction entre deux agents ?
Comme les gens évitent naturellement d’être ruinés,
nous supposons que le montant en jeu, que nous
noterons Δw (se prononce « delta w »), ne représente
qu’une fraction fixe de la richesse de la personne la plus
pauvre, Shauna. De cette façon, même si Shauna perd
dans une transaction avec la personne la plus riche,
appelons-la Éric, la somme perdue restera toujours
inférieure à sa propre fortune totale. Cette hypothèse
n’est pas déraisonnable et, en fait, elle tient compte
d’une limite que la plupart des gens s’imposent
instinctivement dans leur vie économique.
Pour commencer – juste parce que ces chiffres nous sont
familiers –, supposons que Δw représente 20 % de la
richesse w de Shauna si elle gagne, et – 17 % de w si elle
perd. En fait, notre modèle suppose que les
pourcentages de gain et de perte sont égaux, mais cela
ne modifie pas le résultat général (cela découle du fait
que (1 + a) (1 – a) = 1 – a2, qui est strictement inférieur
à 1 pour tout nombre réel a non nul censé représenter la
fraction de gain, par exemple 0,2 pour Δw = 20 %). De
plus, une valeur de Δw supérieure ou inférieure ne fera
que déformer l’échelle de temps, de sorte qu’il faudra
plus ou moins de transactions avant d’être en mesure de
voir le résultat final, lequel restera inchangé.

Puisque notre objectif est de modéliser une économie de
marché équitable et stable, commençons par supposer
que personne n’a d’avantage d’aucune sorte. Pour
déterminer la direction dans laquelle Δw est déplacé,
tirons donc simplement à pile ou face. Si c’est face,
Shauna récolte d’Éric 20 % du montant qu’elle détenait ;
si c’est pile, elle doit en donner 17 % à Éric. Ensuite, on
choisit au hasard une autre paire d’agents parmi les
1 000 et l’on recommence. Faisons-le 1 million ou 1
milliard de fois. Que se passe-t-il ?

Si l’on simule cette économie, qui est une variante du
modèle de vide-grenier, on obtient un résultat
remarquable : après un grand nombre de transactions,
l’un des agents finit par devenir un « oligarque » qui
détient pratiquement toute la richesse, et les 999 autres
se retrouvent avec pratiquement rien. Peu importe
quelle était la richesse initiale de chacun. Peu importe
que tous les tirages à pile ou face aient été ou non
absolument équitables. Il importe peu que l’espérance de
gain de l’agent le plus pauvre soit positive dans chaque
transaction, alors que celle de l’agent le plus riche est
négative. N’importe quel agent de cette économie peut
devenir l’oligarque – en fait, tous ont la même chance de
le devenir si leur richesse initiale est la même. En ce
sens, il y a égalité des chances. Mais un seul d’entre eux
devient l’oligarque, et tous les autres voient leur richesse
moyenne décroître vers zéro à mesure que les
transactions se multiplient. Et pour couronner le tout,
plus le rang de richesse d’une personne est bas, plus la
diminution est rapide.

Ce résultat est d’autant plus surprenant qu’il est valable
même si tous les agents ont une richesse initiale
identique et sont traités de façon symétrique. Les
physiciens décrivent les phénomènes de ce type comme
des « brisures de symétrie ». Le tout premier tirage à pile
ou face transfère de l’argent d’un agent à l’autre, ce qui
crée un déséquilibre entre les deux. Et une fois que l’on a
des disparités de richesse, aussi petites soient-elles, les
transactions successives enrichiront peu à peu les agents
les plus riches au détriment des plus pauvres, amplifiant
ainsi les inégalités jusqu’à ce que le système devienne
oligarchique.

Si des inégalités sont présentes dès le départ, la richesse
de l’agent le plus pauvre diminuera probablement le plus
rapidement. Au profit de qui ? Elle doit aller à des agents
plus riches, puisqu’il n’y a pas d’agents plus pauvres. La
situation n’est pas bien meilleure pour le deuxième
agent le plus pauvre. À long terme, tous les participants
à cette économie, sauf les plus riches, verront leur
richesse décroître exponentiellement. Dans des articles
indépendants parus en 2015, mes collègues et moi, à
l’université Tufts, et Christophe Chorro, de l’université
Panthéon-Sorbonne, à Paris, ont prouvé
mathématiquement ce que les simulations d’Anirban
Chakraborti avaient découvert, à savoir que le modèle de
vide-grenier déplace la richesse inexorablement d’un
côté à l’autre.

Cela signifie-t-il que les agents les plus pauvres ne
gagnent jamais ou que les agents les plus riches ne
perdent jamais ? Pas du tout. Encore une fois, la
configuration ressemble à celle d’un casino : tantôt on
perd, tantôt on gagne, mais plus on reste longtemps
dans le casino, plus on risque de perdre. Le libre marché
est, pour l’essentiel, un casino que l’on ne peut jamais
quitter. Lorsque le petit flux de richesse décrit plus haut,
qui passe du pauvre au riche dans chaque transaction,
est multiplié par les 7,7 milliards d’individus de la
population mondiale et par le très grand nombre de
transactions qu’ils font, le petit flux devient un torrent,
et l’inégalité de richesse s’accentue inévitablement.

Quand la richesse se condense

On pourrait bien sûr se demander si ce modèle, même
s’il est mathématiquement exact, a quelque chose à voir
avec la réalité. Après tout, il décrit une économie
totalement instable qui dégénère inévitablement en une
oligarchie extrême, et une telle oligarchie n’existe pas
dans le monde réel. Effectivement, le modèle de videgrenier ne permet pas à lui seul d’expliquer la répartition
empirique de la richesse. Pour pallier ce défaut,
plusieurs collègues, à l’université Tufts, et moi l’avons
affiné de trois façons pour le rendre plus réaliste.
Dans un article publié en 2017, nous avons incorporé au
modèle une redistribution de la richesse. Pour qu’il reste
suffisamment simple, nous avons imposé que chaque
agent fasse, après chaque transaction, un pas vers la
richesse individuelle moyenne. La taille de ce pas était
une fraction, notée χ (la lettre grecque chi), de la
différence entre la richesse de l’agent et la richesse
moyenne. Cela équivaut à un impôt sur la fortune pour
les riches (le taux d’imposition par unité de temps est χ)
et à une subvention complémentaire pour les pauvres.
L’effet est de transférer de la richesse de ceux qui sont
au-dessus de la moyenne à ceux qui sont au-dessous.
Nous avons constaté que cette simple modification
stabilise la répartition des richesses et empêche
l’apparition d’une oligarchie. Étonnamment, cela a
permis à notre modèle d’être en accord à mieux que 2 %
près avec les données empiriques sur la répartition de la
richesse aux États-Unis et en Europe entre 1989 et 2016.
Le paramètre unique χ semble résumer l’effet d’une
multitude d’impôts ou taxes et de subventions qu’il
serait beaucoup trop difficile de prendre en compte
séparément dans un modèle aussi schématique que
celui-ci.

En outre, il est bien documenté que les riches
bénéficient d’avantages économiques systémiques, tels
que des taux d’intérêt plus bas sur les prêts et de
meilleurs conseils financiers, alors que les pauvres
souffrent de désavantages économiques systémiques tels
que les prêts sur salaire et le manque de temps pour faire
des achats aux meilleurs prix. Comme l’écrivain James
Baldwin l’a dit un jour : « Quiconque a déjà lutté contre
la pauvreté sait à quel point il est coûteux d’être
pauvre. »

Par conséquent, dans le même article de 2017
mentionné ci-dessus, nous avons aussi tenu compte de
ce que nous appelons l’avantage lié à la richesse. Nous
avons biaisé le tirage à pile ou face en faveur de
l’individu le plus riche d’une quantité proportionnelle à
un nouveau paramètre ζ (la lettre grecque zêta),
multiplié par le rapport entre la différence de richesse
des deux agents et la richesse moyenne. Ce raffinement
assez simple, qui représente et résume une multitude de
biais en faveur des riches, améliore l’accord entre le
modèle et la partie supérieure des distributions de
richesse constatées.

L’inclusion du biais lié à la richesse reproduit le
phénomène d’oligarchie partielle et en donne aussi une
définition mathématique précise. Chaque fois que l’effet
de l’avantage lié à la richesse obtenue dépasse celui de la
redistribution (plus précisément, chaque fois que ζ est
supérieur à χ), une fraction infinitésimale de la
population détient une proportion non nulle, égale à
1 – χ/ζ, de la richesse de la société. L’apparition de
l’oligarchie partielle est en fait une transition de phase
pour un autre modèle de transactions économiques,
comme l’ont décrit pour la première fois en 2000 les
physiciens Jean-Philippe Bouchaud, président de la
société Capital Fund Management et professeur à l’École
polytechnique, à Palaiseau, et Marc Mézard, de l’École
normale supérieure, à Paris. Dans notre modèle, quand ζ
est inférieur à χ, le système n’a qu’un seul état stable,
dépourvu d’oligarchie ; lorsque ζ est supérieur à χ, un
nouvel état, oligarchique, apparaît et devient l’état
stable (voir l’encadré 3). Le modèle du vide-grenier à
deux paramètres (χ et ζ) ainsi obtenu est capable de
reproduire à 1 ou 2 % près les données empiriques sur la
répartition de la richesse aux États-Unis et en Europe
entre 1989 et 2016.

Une telle transition de phase a peut-être joué un rôle
crucial dans la concentration de richesse qui a suivi
l’éclatement de l’Union soviétique en 1991. L’imposition
aux anciens États de l’URSS d’une « thérapie de choc »,
comme on a surnommé cette stratégie économique, a
entraîné une forte diminution de la redistribution de la
richesse (c’est-à-dire une diminution de χ) par leurs
gouvernements et un bond concomitant de l’avantage lié
à la richesse (augmentation de ζ) sous l’effet combiné
des soudaines privatisations et déréglementations. La
baisse de « température » χ/ζ qui en a résulté a provoqué,
dans les anciens pays communistes, une concentration
de la richesse, et ces pays sont devenus oligarchiques
presque du jour au lendemain. À ce jour, on peut
qualifier d’oligarchies au moins 10 des 15 anciennes
républiques soviétiques.

Une troisième amélioration de notre modèle, en 2019, a
consisté à y inclure la richesse négative – l’un des
aspects les plus inquiétants des économies modernes. En
2016, par exemple, environ 10,5 % de la population
étatsunienne était endettée en raison de prêts
hypothécaires, de prêts étudiants et autres. Nous avons
donc introduit un troisième paramètre, noté κ (la lettre
grecque kappa), qui décale la distribution de richesse
vers le bas et qui prend donc en compte la richesse
négative. Nous avons supposé que la richesse la plus
faible que l’agent le plus pauvre pouvait détenir à tout
moment était – S, où S est égal à κ fois la richesse
moyenne par individu. Avant chaque transaction, nous
avons prêté de la richesse S aux deux agents afin que
chacun ait une richesse positive. Ils ont ensuite effectué
leurs transactions selon le modèle de vide-grenier
étendu, décrit plus haut, après quoi ils ont tous les deux
remboursé leur dette S.

Le modèle à trois paramètres (χ, ζ, κ) ainsi obtenu,
nommé « modèle affine de richesse », est en mesure de
s’accorder avec les données empiriques sur la répartition
de la richesse aux États-Unis à moins de 0,15 % près sur
une période de trois décennies. Avec les données
européennes pour 2010, l’accord est généralement
meilleur qu'à 0,35-0,5 % près.

Pour effectuer ces comparaisons avec les données
réelles, nous avons dû résoudre le « problème inverse ».
En d’autres termes, la répartition empirique de la
richesse étant donnée, il nous a fallu déterminer les
valeurs de χ, ζ et κ pour lesquelles les résultats du
modèle sont les plus proches des données. À titre
d’exemple, pour décrire la distribution de richesse des
ménages américains en 2016, les paramètres optimaux
sont χ = 0,036, ζ = 0,050 et κ = 0,058. Nous avons
confronté le modèle affine de richesse à des données
empiriques provenant de nombreux pays et époques. À
notre connaissance, il décrit les données sur la
répartition de la richesse avec plus de précision que tout
autre modèle existant.

Ruissellement vers le haut

Il est remarquable que le modèle de répartition de la
richesse qui s’ajuste le mieux aux données empiriques
soit un modèle qui serait complètement instable sans
redistribution, plutôt qu’un modèle fondé sur un
supposé équilibre des forces du marché. En fait, ces
modèles mathématiques démontrent que, loin de
« ruisseler » vers les pauvres, la tendance naturelle de la
richesse est de s’écouler vers le haut, de sorte que la
répartition « naturelle » de la richesse dans une
économie de marché correspond à une oligarchie totale.
Seule la redistribution fixe des limites à l’inégalité.
Les modèles mathématiques attirent également
l’attention sur l’influence énorme qu’ont la rupture de
symétrie, le hasard et les avantages préalables (dus par
exemple aux héritages) sur la distribution de la richesse.
Et la présence d’une rupture de symétrie va à l’encontre
des arguments qui justifient les inégalités de richesse
par l’idée que les individus portent l’entière
responsabilité de leurs résultats économiques
simplement parce qu’ils effectuent des transactions
volontairement ou par l’idée que l’accumulation de
richesses résulte de l’intelligence et des efforts investis.
Il est vrai que la position d’un individu sur le spectre de
la richesse est corrélée dans une certaine mesure à ces
attributs, mais la forme globale de ce spectre peut
s’expliquer à mieux que 0,33 % près par un modèle
statistique qui les ignore complètement. Le hasard joue
un rôle beaucoup plus important que celui qu’on lui
attribue d’habitude ; aussi, la glorification dont
bénéficient généralement les riches dans les sociétés
modernes et, inversement, la stigmatisation des pauvres
sont totalement injustifiées.

Qui plus est, seul un mécanisme de redistribution
soigneusement conçu est en mesure de compenser, dans
une économie de marché, la tendance naturelle des
richesses à passer des pauvres aux riches. On confond
souvent redistribution et impôts, mais les deux notions
doivent rester bien distinctes. Les citoyens versent des
impôts à leur gouvernement pour financer les activités
de ce dernier. Quant à la redistribution, les
gouvernements peuvent la mettre en œuvre, mais il est
préférable de la considérer comme un flux de richesses
entre personnes destiné à compenser les injustices
inhérentes à l’économie de marché. Dans un système de
redistribution uniforme, tous ceux dont la richesse est
inférieure à la moyenne recevraient des fonds nets,
tandis que tous ceux plus riches que la moyenne
paieraient. Et c’est précisément parce que les niveaux
actuels d’inégalité sont si extrêmes que les bénéficiaires
seraient beaucoup plus nombreux que les payeurs.
Étant donné la complexité des économies réelles, nous
trouvons gratifiant qu’une approche analytique simple
développée par des physiciens et des mathématiciens
décrive les distributions réelles de richesse de plusieurs
pays avec une aussi grande précision. Il est également
assez curieux de constater que ces distributions
présentent des caractéristiques subtiles mais essentielles
de systèmes physiques complexes. Et surtout, le fait
qu’une esquisse aussi simple et plausible du libre marché
fasse apparaître qu’il est tout sauf libre et équitable
devrait être à la fois un motif d’inquiétude et un appel à
l’action.

Article paru dans
Pour la Science n°507 - Janvier 2020

En savoir plus
Jie Li et al., The affine wealth model : An agent-based model of asset exchange that
allows for negative-wealth agents and its empirical validation, Physica A, vol. 516,
pp. 423-442, 2019.
A. Devitt-Lee et al., A nonstandard description of wealth concentration in large-scale
economies, SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 78(2), pp. 996-1008, 2018.
J.-P. Bouchaud et M. Mézard, Wealth condensation in a simple model of
economy, Physica A, vol. 282, pp. 536-545, 2000.