\documentclass[12pt]{report}


\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}


\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}


\textwidth=14cm \textheight=22cm \oddsidemargin=1.5cm
\topmargin=-0.7cm


\DeclareMathOperator{\Z}{\mathbb{Z}}


\newtheorem{prz}{Przykład}

\begin{document}



\noindent
Anna Gzela, MMAD, grupa1, 266541
\medskip



\noindent
Zad III.60 Wiedząc, że tg$\alpha$=$\sqrt2$/2, oblicz wartość wyrażenia:

$$\left (\frac{3sin$\alpha$-2cos$\alpha$}{5cos$\alpha$-7sin$\alpha$}\right

\noindent

\emph{Rozwiązanie}



\noindent

Wyznaczamy dziedzinę podanego równania. Wiemy, że dla sin\alpha \, oraz \, cos\alpha \, dziedziną\, jest \, zbiór \, liczb \, rzeczywistych. \, Dla \,tg\alpha \, dziedziną \,jest \,zbiór \, x=\pi/2+k\pi, \, gdzie \,  k\in\mathbb{Z}.



\bigskip



\noindent

Dzielimy ułamek przez cos\alpha,  przy założeniu, że cos$\alpha$ \neq 0, więc \, \alpha \neq 0+k\pi, k\in\mathbb{Z}.

\frac{(3sin$\alpha$/cos$\alpha$)-(2cos$\alpha$/cos$\alpha$)}/{(5cos$\alpha$/cos$\alpha$)-(7sin$\alpha$/cos$\alpha$)}\

Poniewać tg$\alpha$=sin$\alpha$/cos$\alpha$, oraz cos$\alpha$/cos$\alpha$=1, ponieważ cos$\alpha$\neq0, możemy zastosować przekształcenie:

\frac{3tg$\alpha$ -2}{5-7tg$\alpha$}.\

Korzystając z danych podanych w treści zadania podstawiamy za tg$\alpha$ wartość $\sqrt2$/2:

\frac({3\sqrt2/2)-2}{5-7\sqrt2/2}.\

Sprowadzamy wyrażenia w liczniku i mianowniku do wspólego mianownika:

\frac{3\sqrt2-4)/2}{10-7\sqrt2/2},\

które, poprzez zastosowanie zależności, że dzielenie to odwrotność mnożenia, przekształcamy do postaci:

\frac{(3\sqrt2-4/2)}*{2/(10 -7\sqrt2)}.\

Po uproszczeniu otrzymujemy odpowiedź:

\frac{3\sqrt2 -4}{10-7\sqrt2}.\





\noindent

Wartość wyrażenia wynosi:

\frac{3\sqrt2 -4}{10-7\sqrt2}.\





\end{document}