Procijenite  apsolutnu  pogrešku  pri  izračunavanju  volumena  idealnog  plina  formulom  ako  je  poznato  da  je
tx=280
apt=0.2
px=101325
app=20
nx=100
apn=0.1
r=8.3144621
vx=(nx*r*tx)/px
ap=abs((r*tx)/px)*apn  +  abs(nx*r*tx*(-1./(px**2)))*app  +  abs((nx*r)/px)*apt  print  "apsolutna  pogreska:"  ,  ap

-Izracunaj uvjetnost za neku funkciju x zadano
from  math  import  *  x=1.12  conda=abs(x/sqrt(x**2  +  1))  print  "apsolutna  uvjetovanost",conda

-#2. Zaokružite broj π na tri decimale,
#   zatim odredite apsolutnu I relativnu grešku aproksimacije.
from math import *

pix=round(pi,3)
apsgr=abs(pi-pix)
relgr=apsgr/pix

print "apsolutna greska", apsgr
print "relativna greska", relgr

-IzraÄŤunajte apsolutnu i relativnu uvjetovanost funkcije
#          f(x) = ln(x) u okolini toÄŤke x0 = 2.
from math import log

x=2.
condfaps=abs(1./x)
condfrel=abs(1./log(x))

print condfaps
print condfrel

-6. Aproksimirajte funkciju 1/(x^2+1) na intervalu [0, 5]
#   upotrebom 5, 10, 20 čvorova. Izračunajte relativnu pogrešku u čvoru 0.6.
from numpy import *
from scipy import interpolate as i
import pylab as py

def fun(x):
    return 1./(x**2+1)

x5=linspace(0,5,5)
i5=i.BarycentricInterpolator(x5,fun(x5))
aps5=abs(fun(0.6)- i5(0.6))
print "apsolutna greška na 5 cvorova", aps5

x10=linspace(0,5,10)
i10=i.BarycentricInterpolator(x10,fun(x10))
aps10=abs(fun(0.6)- i10(0.6))
print "apsolutna greška na 10 cvorova", aps10

x20=linspace(0,5,20)
i20=i.BarycentricInterpolator(x20,fun(x20))
aps20=abs(fun(0.6)- i20(0.6))
print "apsolutna greška na 20 cvorova", aps20

x=linspace(0,5,1000)
py.plot(x,fun(x),'g')
py.plot(x,i5(x),'r')
py.plot(x,i10(x),'b')
py.plot(x,i20(x),'y')
py.show()

-Odredite Lagrangeov polinom koji interpolira funkciju zadanu tablicom
#  xi = -1, 0, 1
#  yi = 10, 5, 6
from numpy import *
from scipy import interpolate as i

x=array([-1,0,1])
y=array([10,5,6])

lpol=i.lagrange(x,y)
print lpol

-4. Aproksimirajte Lagrangeovim polinomom funkciju x*e^x.
#  Interpolirajte funkciju u čvorovima 1, 2, 3 i
#  Izračunajte relativnu pogrešku aproksimacije u čvoru 1.5.
from numpy import *
from scipy import interpolate as i
import pylab as py

def l0(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x1)*(x-x2))/((x0-x1)*(x0-x2))

def l1(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x0)*(x-x2))/((x1-x0)*(x1-x2))

def l2(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x0)*(x-x1))/((x2-x0)*(x2-x1))

def fun(x):
    return  x*exp(x) #exp(x)=e^x


def Lag(x,x0,x1,x2):
    return fun(x0)*l0(x,x0,x1,x2)+fun(x1)*l1(x,x0,x1,x2)+fun(x2)*l2(x,x0,x1,x2)

#provjera da li je vrijednost funkcije i Lagrangea u cvorovima jednaka
print fun(1.),Lag(1.,1.,2.,3.)
print fun(2.),Lag(2.,1.,2.,3.)
print fun(3.),Lag(3.,1.,2.,3.)

#racunanje relativne greske
aps=abs(fun(1.5)-Lag(1.5,1.,2.,3.))
print "apsolutna greska",aps

rel=aps/abs(fun(1.5))
print "relativna greska",rel

## crtanje polinoma i funkcije
xk=linspace(0,4,1000)
py.plot(xk,fun(xk),'g')
py.plot(xk,Lag(xk,1.,2.,3.),'r')
cv=[1.,2.,3.]#za crtanje cvorova
py.plot(cv,fun(cv),'o')#crtamo cvorove
py.show()

-4. Aproksimirajte Lagrangeovim polinomom funkciju x*e^x.
#  Interpolirajte funkciju u čvorovima 1, 2, 3 i
#  Izračunajte relativnu pogrešku aproksimacije u čvoru 1.5.
from numpy import *
from scipy import interpolate as i
import pylab as py

def l0(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x1)*(x-x2))/((x0-x1)*(x0-x2))

def l1(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x0)*(x-x2))/((x1-x0)*(x1-x2))

def l2(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x0)*(x-x1))/((x2-x0)*(x2-x1))

def fun(x):
    return  x*exp(x) #exp(x)=e^x


def Lag(x,x0,x1,x2):
    return fun(x0)*l0(x,x0,x1,x2)+fun(x1)*l1(x,x0,x1,x2)+fun(x2)*l2(x,x0,x1,x2)

#provjera da li je vrijednost funkcije i Lagrangea u cvorovima jednaka
print fun(1.),Lag(1.,1.,2.,3.)
print fun(2.),Lag(2.,1.,2.,3.)
print fun(3.),Lag(3.,1.,2.,3.)

#racunanje relativne greske
aps=abs(fun(1.5)-Lag(1.5,1.,2.,3.))
print "apsolutna greska",aps

rel=aps/abs(fun(1.5))
print "relativna greska",rel

## crtanje polinoma i funkcije
xk=linspace(0,4,1000)
py.plot(xk,fun(xk),'g')
py.plot(xk,Lag(xk,1.,2.,3.),'r')
cv=[1.,2.,3.]#za crtanje cvorova
py.plot(cv,fun(cv),'o')#crtamo cvorove
py.show()

-5. Nacrtajte grafove Lagrangeovih baza za čvorove 0, 2, 3
from numpy import *
from scipy import interpolate as i
import pylab as py

def l0(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x1)*(x-x2))/((x0-x1)*(x0-x2))

def l1(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x0)*(x-x2))/((x1-x0)*(x1-x2))

def l2(x,x0,x1,x2):
    return ((x-x0)*(x-x1))/((x2-x0)*(x2-x1))

x=linspace(-0.5,3.5,1000)
py.plot(x,l0(x,0.,2.,3.),'g')
py.plot(x,l1(x,0.,2.,3.),'b')
py.plot(x,l2(x,0.,2.,3.),'r')
py.show()

-#primjer sa slajdova predavanja za RC funkciju 1/(1+25x^2 )
from numpy import *
from scipy import interpolate as i
import pylab as py

def fun(x):
    return 1./(25*x**2+1)

x5=linspace(-1,1,5)
i5=i.BarycentricInterpolator(x5,fun(x5))
aps5=abs(fun(0.95)- i5(0.95))
rel5=aps5/abs(fun(0.95))
print "relativna greška na 5 cvorova", rel5

x10=linspace(-1,1,10)
i10=i.BarycentricInterpolator(x10,fun(x10))
aps10=abs(fun(0.95)- i10(0.95))
rel10=aps10/abs(fun(0.95))
print "relativna greška na 10 cvorova", rel10

x20=linspace(-1,1,20)
i20=i.BarycentricInterpolator(x20,fun(x20))
aps20=abs(fun(0.95)- i20(0.95))
rel20=aps20/abs(fun(0.95))
print "relativna greška na 20 cvorova", rel20

x=linspace(-1,1,1000)
py.plot(x,fun(x),'r')
py.plot(x,i5(x),'g')
py.plot(x,i10(x),'b')
py.plot(x,i20(x),'y')
py.show()

-2. Formirajte Newtonov interpolacijski polinom koji zadovoljava uvjete
#               p(0) = −1; p(2) = 2; p(6) = 3
from numpy import *

x=array([0,2.,6.])
f=zeros([3,3])

f[0,0]=-1.
f[1,0]=2.
f[2,0]=3.

f[0,1]=(f[1,0]-f[0,0])/(x[1]-x[0])
f[1,1]=(f[2,0]-f[1,0])/(x[2]-x[1])
f[0,2]=(f[1,1]-f[0,1])/(x[2]-x[0])

def npol(t,x):#u t racunamo vrijednost newtnovog polinoma, u x su cvorovi
     return f[0,0]+(t-x[0])*f[0,1]+(t-x[0])*(t-x[1])*f[0,2]

print npol(0.,x)
print npol(2.,x)
print npol(6.,x)

-3. Formirajte Newtonov interpolacijski polinom koji interpolira funkciju e^x
#   u čvorovima 2, 3, 5 i ocjenite globalnu pogrešku na intervalu.
#ne radimo procjenu nego relativnu gresku u 2.4

from numpy import *

def fun(x):
    return exp(x)

x=array([2.,3.,5.])
f=zeros([3,3])

f[0,0]=fun(x[0]) #podljeljena razlika f[x0]=vrijednosti funkcije u cvoru x0
f[1,0]=fun(x[1])
f[2,0]=fun(x[2])

f[0,1]=(f[1,0]-f[0,0])/(x[1]-x[0])
f[1,1]=(f[2,0]-f[1,0])/(x[2]-x[1])
f[0,2]=(f[1,1]-f[0,1])/(x[2]-x[0])

def npol(t,x):#u t racunamo vrijednost newtnovog polinoma, u x su cvorovi
     return f[0,0]+(t-x[0])*f[0,1]+(t-x[0])*(t-x[1])*f[0,2]

#provjera da li su iste vrijednosti fije i polinoma u cvorovima interpolacije
print npol(2.,x),fun(2.)
print npol(3.,x),fun(3.)
print npol(5.,x),fun(5.)



# relativna greska u cvoru 2.4
aps=abs(fun(2.4)-npol(2.4,x))
rel=aps/abs(fun(2.4))
print "relativna greska u cvoru 2.4 je:",rel

--#1.  Aproksimirajte linarnim splajnom funkciju x^2*sin(x) na intervalu −π, π.
#    Koristite uniformnu mreĹľu od 10, 20 i 40 numeriÄŤkih ÄŤvorova.
#    Izračunajte apsolutnu pogrešku aproksimacije u čvoru x = 1 za sva tri slučaja.
from scipy import interpolate as i #interp1d
from numpy import *
import pylab as py

def fun(x):
    return x**2*sin(x)

x10=linspace(-pi,pi,10)
y10=fun(x10)
s10lin=i.interp1d(x10,y10,kind="linear") #gotovo formiranje splinea
aps10=abs(fun(1.)-s10lin(1.))
print "apsolutna na 10 cvorova",aps10

x20=linspace(-pi,pi,20)
y20=fun(x20)
s20lin=i.interp1d(x20,y20,kind="linear")
aps20=abs(fun(1.)-s20lin(1.))
print "apsolutna na 20 cvorova",aps20

x40=linspace(-pi,pi,40)
y40=fun(x40)
s40lin=i.interp1d(x40,y40,kind="linear")
aps40=abs(fun(1.)-s40lin(1.))
print "apsolutna na 40 cvorova",aps40

x=linspace(-pi,pi,1000)
py.plot(x,fun(x), 'b')
py.plot(x,s10lin(x),'y')
py.plot(x,s20lin(x),'g')
py.plot(x,s40lin(x),'r')
py.show()


--#2. Kubičnim splajnom aproksimirajte funkciju 1/(1+5*x^2) na intervalu [−1, 1]
#   upotrebom 5, 10, 20 čvorova. Izračunajte relativnu pogrešku u čvoru
#   0.95 u sva tri sluÄŤaja.
from numpy import *
from scipy import interpolate as i
import pylab as py
def fun(x):
    return 1./(1+5*x**2)

x5=linspace(-1,1,5)
y5=fun(x5)
s5k=i.interp1d(x5,y5,kind="cubic")
aps5=abs(fun(0.95)-s5k(0.95))
rel5=aps5/abs(fun(0.95))
print "relativna na 5 cvorova",rel5

x10=linspace(-1,1,10)
y10=fun(x10)
s10k=i.interp1d(x10,y10,kind="cubic")
aps10=abs(fun(0.95)-s10k(0.95))
rel10=aps10/abs(fun(0.95))
print "relativna na 10 cvorova",rel10

x20=linspace(-1,1,20)
y20=fun(x20)
s20k=i.interp1d(x20,y20,kind="cubic")
aps20=abs(fun(0.95)-s20k(0.95))
rel20=aps20/abs(fun(0.95))
print "relativna na 20 cvorova",rel20

x=linspace(-1,1,1000)
py.plot(x,fun(x),'b')
py.plot(x,s5k(x),'y')
py.plot(x,s10k(x),'r')
py.plot(x,s20k(x),'g')
py.show()


--#2. Konstruirajte i nacrtajte interpolacijski polinom koji zadovoljava uvjete:
#                 p(1) = 1; p'(1) = 2; p(4) = 3
from numpy import *
from numpy import linalg as l
import pylab as py
from numpy.polynomial import polynomial as p

M1=array([[1,1,1],[0,1,2],[1,4,16]])
M2=array([1,2,3])

ipol=l.solve(M1,M2)

print p.polyval(1,ipol)
print p.polyval(1,p.polyder(ipol))
print p.polyval(4,ipol)

x=linspace(1,4,100)
y=p.polyval(x,ipol)
py.plot(x,y)
py.show()


--