Proiect dinu latex

\documentclass{amsart}

\usepackage{amsmath}%
\usepackage{amsfonts}%
\usepackage{amssymb}%
\usepackage{graphicx}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{acknowledgement}{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}{Algorithm}
\newtheorem{axiom}{Axiom}
\newtheorem{case}{Case}
\newtheorem{claim}{Claim}
\newtheorem{conclusion}{Conclusion}
\newtheorem{condition}{Condition}
\newtheorem{conjecture}{Conjecture}
\newtheorem{corollary}{Corollary}
\newtheorem{criterion}{Criterion}
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{example}{Example}
\newtheorem{exercise}{Exercise}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{notation}{Notation}
\newtheorem{problem}{Problem}
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem{remark}{Remark}
\newtheorem{solution}{Solution}
\newtheorem{summary}{Summary}
\numberwithin{equation}{section}
%--------------------------------------------------------
\begin{document}
\title[]{Proiect}
\author{Frentescu Stefan}

\maketitle

Am selectat batranii din craiova si varsta lor.
Batranii din Craiova pe care i-am chestionat sunt mult mai in varsta decat ceilalti.\\
Vom parcurge cele 5 etape de verificare a ipotezei statisticilor.
Presupunem ca media populatiei este 65 si vom verifica urmatoarea afirmatie: \emph{Batranii din craiova pe care i-am chestionat sunt mai in varsta decat ceilalti.}\\
a) \textbf{Etapa 1: Formularea ipotezei nule}
\begingroup
\huge
$$\overline{x} = \mu$$
\endgroup
\begin{align*}
&\text{media esantionului ales nu difera de }\\
&\text{media populatiei din care l-am extras}
\end{align*}

b) \textbf{Etapa 2: Formularea ipotezei alternative}
\begingroup
\huge
$$ Ha: \overline{x} > \mu $$
\endgroup
\begin{align*}
&\text{Media varstei batranilor alesi este}\\
&\text{mai mare decat media populatiei}\\
\end{align*}

c) \textbf{Etapa 3: Stabilirea nivelului de semnificatie $\alpha$ a testului statistic folosit si a gradelor de libertate\\}

Deoarece nu se cunoaste deviatia standard a populatiei vom aplica testul statistic \textbf{t}.
\begin{align*}
&df = n - 1 \\
&df = 25 - 1\\
&df = 24
\end{align*}

Valoarea testului statistic, $t$($df$,$\alpha$) $\rightarrow$ $t$(24,0.05) = 1.71\\

d) \textbf{Etapa 4: Calcularea testului statistic pentru esantionul studiat}
\begingroup
\Large
\begin{align*}
&t^* = \frac{\overline{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\\
&t^* = \frac{76-60}{\frac{10}{\sqrt{25}}}\\
&t^* = 8\\
\end{align*}
\endgroup

Deoarece $8>1.71$, rezulta ca suntem in regiunea critica, putem respinge ipoteza nula, esantionul nostru este semnificativ mai mare decat restul populatiei\\

e) \textbf{Etapa 5: Presupunem ca media populatiei este: 62}\\
\begingroup
\Large
\begin{align*}
&t^* = \frac{\overline{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\\
&t^* = \frac{62-60}{\frac{10}{\sqrt{25}}}\\
&t^* = 1
\end{align*}
\endgroup
Deoarece $1<1.71$, rezulta ca nu suntem in regiunea critica, rezulta esantionul nostru nu difera de restul populatiei.

\end{document}