Advertisement
Guest User

Untitled

a guest
May 21st, 2018
124
0
Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
text 4.23 KB | None | 0 0
  1. % --------------------------------------------------------------
  2. % This is all preamble stuff that you don't have to worry about.
  3. % Head down to where it says "Start here"
  4. % --------------------------------------------------------------
  5.  
  6. \documentclass[12pt]{article}
  7. \usepackage[utf8]{inputenc}
  8. \usepackage[margin=1in]{geometry}
  9. \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
  10. \usepackage{graphicx}
  11. \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
  12. \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
  13. \usepackage[spanish]{babel}
  14. \newenvironment{theorem}[2][Theorem]{\begin{trivlist}
  15. \item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
  16. \newenvironment{lemma}[2][Lemma]{\begin{trivlist}
  17. \item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
  18. \newenvironment{exercise}[2][Exercise]{\begin{trivlist}
  19. \item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
  20. \newenvironment{reflection}[2][Reflection]{\begin{trivlist}
  21. \item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
  22. \newenvironment{proposition}[2][Proposition]{\begin{trivlist}
  23. \item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
  24. \newenvironment{corollary}[2][Corollary]{\begin{trivlist}
  25. \item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
  26. \renewcommand\qedsymbol{}
  27. \begin{document}
  28.  
  29. % --------------------------------------------------------------
  30. % Start here
  31. % --------------------------------------------------------------
  32.  
  33. %\renewcommand{\qedsymbol}{\filledbox}
  34.  
  35. \title{Problemes Complementaris}%replace X with the appropriate number
  36. \author{Joan Salvà, Pol Gonzalez\\ %replace with your name
  37. Àlgebra Lineal Numérica} %if necessary, replace with your course title
  38.  
  39. \maketitle
  40.  
  41. \begin{exercise}[Problema]{2} %You can use theorem, proposition, exercise, or reflection here. Modify x.yz to be whatever number you are proving
  42. \end{exercise}
  43.  
  44. \begin{proof}[a]
  45. Donada $A_n$ volem trobar $b_n$ tal que $x_n=(1,1,...,1)^T$ sigui solució. Per a trobar $b_n$ calculem $A_n x_n$ i obtenim:
  46. %Note 1: The * tells LaTeX not to number the lines. If you remove the *, be sure to remove it below, too.
  47. %Note 2: Inside the align environment, you do not want to use $-signs. The reason for this is that this is already a math environment. This is why we have to include \text{} around any text inside the align environment.
  48. \[b_i = \sum_{j = 1}^{n}\frac{1}{i+j-1} \]
  49. \end{proof}
  50. \begin{proof}[b]
  51. Fent servir el nostre programa de descomposició LU en C++ i modificant-lo una mica podem calcular $R_n$ per a $n = 1\div100$. Per exemple tenim $R_{10} \approx 9.71*10^{-17}$ i $R_{30} \approx 2.11*10^{-16}$. Com podem observar i després veurem amb més claredat als gràfics, el residu de la descomposició LU no augmenta de forma dramàtica al augmentar la dimensió de la matriu. Això ens indica que la nostra descomposició LU és prou acurada.
  52. \end{proof}
  53. \begin{proof}[c]
  54. Ajudant-nos de la descomposició LU que hem fet al apartat anterior podem calcular els $E_n$ corresponents. Per exemple tenim $E_{10} \approx 0.002$ i $E_{13}$ és ja de l'ordre de 34, que és un error relatiu ridículament elevat, el que ens indica que el nostre càlcul de les solucions a partir del mètode de descomposició LU és totalment erroni, tot i que la nostra descomposició si és prou bona, com hem vist a l'apartat b.
  55. \end{proof}
  56. \begin{proof}[d]
  57. Per a visualitzar millor el explicat als apartats anteriors tenim uns gràfics en escala logarítmica comparant $E_n$ i $R_n$ :
  58. \begin{figure}
  59. \includegraphics{graficxdos.eps}
  60. \centering
  61. \caption{En el gràfic tenim $R_n$ el color blau, a $E_n$ en color vermell i en groc el nombre de condició de la matriu.}
  62. \end{figure}
  63. En aquest grafic podem veure com $E_n$ creix d'una forma exponencial mentre que $R_n$ ho fa de manera lineal. També podem veure que el creixement exponencial de $E_n$ ve donat per el també molt ràpid creixement del nombre de condició de la matriu.
  64. \end{proof}
  65. % --------------------------------------------------------------
  66. % You don't have to mess with anything below this line.
  67. % --------------------------------------------------------------
  68.  
  69. \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement