Correction Exercice poutres

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\author{Boris BURGARELLA}
\title{Correction exercice fait en classe}
\begin{document}
\maketitle

\section{Ennoncé}
l'objectif de l'exercice est de calculer la flèche  de la poutre $v^*(x,P)$ en fonction de $x$ et $P$. le noeud 1 est fixé à l'aide d'une rotule et le noeud 2 est fixé à l'aide d'une rotule + glissière selon l'axe $x$.
\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[width=4.4in]{Schema.png}
    \caption{situation modélisée pour l'exercice \label{schema}}
\end{figure}
le système calculé pour la poutre colonne est visible sur la slide numéro 28 du set de transparent 11. \\
\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[width=4.6in]{pcel_eqf.eps}
\end{figure}
\section{Méthode de résolution}
\textbf{Etape 1:} Simplification du système d'équation pour l'adapter à la situation présente. Les phénomèmes entrant en jeu dans le modèle présenté sur la figure \ref{schema} sont:
\begin{itemize}
\item La flexion, car il y a une charge répartie le long de la poutre ($w$)
\item La compression, représentée par P sur le schema
\end{itemize}
le seul phénomène n'entrant pas en jeu ici est donc la fondation. Notre système d'équation peut donc être simplifié comme:
\begin{equation}
    \label{initEq}
    \left(
    \frac{EI}{L^3}
    \begin{bmatrix}
        12 & 6L & -12 & 6L \\
        6L & 4L^2 & -6L & 2L^2 \\
        -12 & -6L & 12 & -6L \\
        6L & 2L^2 & -6L & 4L^2
    \end{bmatrix} -
    \frac{P}{30L}
    \begin{bmatrix}
        36 & 3L & -36 & 3L \\
        3L & 4L^2 & -3L & -L^2 \\
        -36 & -3L & 36 & -3L \\
        3L & -L^2 & -3L & 4L^2
    \end{bmatrix}
    \right)
    \begin{pmatrix}
        v_1 \\
        \theta_1 \\
        v_2 \\
        \theta_2
    \end{pmatrix}
    = SM
\end{equation}
Avec SM le second membre de notre équation
\begin{equation}
 SM = \frac{P}{3L}
    \begin{bmatrix}
        3 & 0 & -3 \\
        -L & 2L & -L\\
        -3 & 0 & 3 \\
        L & -2L & L
    \end{bmatrix}
    \{y_i\}
    + \frac{qL}{12}
        \begin{pmatrix}
        6 \\
        L \\
        6 \\
        -L
    \end{pmatrix}
    +
     \begin{pmatrix}
        -V_1 \\
        -M_1 \\
        V_2 \\
        M_2
    \end{pmatrix}
\end{equation}
On rappelle ici que dans le cadre de la définition du système ci-dessus dans le cours, nous avons utilisé des fonctions d'ordre 2 pour l'expression des charges de compression et de fondation (voir slides \#25 ewt \#26 du set de slide 11.
Nous avons donc deux noeuds structurels (correspondant aux noeuds 1 et 2 sur la figure \ref{schema} et un noeud "virtuel" entre les deux. il y a donc trois $y$ correspondants aux ordonées des points de la poutre où $x=0$, $x=1=\frac{L}{2}$ et $x=2 = L$.
Dans notre cas, on peut se rendre compte que, la poutre étant alignée selon l'axe des x, on va avoir $y_1 = y_2 = y_3 =0$.\\

 \textbf{ATTENTION !} Il y a un piège ici dans le cas où les $y_i$ sont non nuls, en effet, ces derniers sont numérotés de façon locale dans l'élément,
ce qui signifie que $y_1$ correspond à l'ordonée du noeud $1$, mais, de façon contre-intuitive, c'est $y_3$ qui correspond au noeud $2$ et non $y_2$. (voir figure 4 sur la slide \#25 sur set de transparent 11)\\

Nous pouvons donc simplifier notre second membre, étant donné que le vecteur $\{y_i\} = \{0\}$, ce qui nous donne
\begin{equation}
 SM = \frac{qL}{12}
        \begin{pmatrix}
        6 \\
        L \\
        6 \\
        -L
    \end{pmatrix}
    +
     \begin{pmatrix}
        -V_1 \\
        -M_1 \\
        V_2 \\
        M_2
    \end{pmatrix}
\end{equation}
\textbf{Etape 2:} Application des conditions aux limites et chargements.
Nous savons, étant donné que notre poutre repose sur des rotules, et donc, que les moments $M_1$ et $M_2$ sont nuls. Une rotule est par définition fixée dans l'espace, et nous avons donc aussi  $v_1=v_2=0$. Au niveau des chargements, nous avons $P$ qui reste une inconnue du
problème, et un chargement réparti $q = w = \frac{1}{10}$. l'équation \ref{initEq} devient donc:
\begin{equation}
    \left(
    \frac{EI}{L^3}
    \begin{bmatrix}
        12 & 6L & -12 & 6L \\
        6L & 4L^2 & -6L & 2L^2 \\
        -12 & -6L & 12 & -6L \\
        6L & 2L^2 & -6L & 4L^2
    \end{bmatrix} -
    \frac{P}{30L}
    \begin{bmatrix}
        36 & 3L & -36 & 3L \\
        3L & 4L^2 & -3L & -L^2 \\
        -36 & -3L & 36 & -3L \\
        3L & -L^2 & -3L & 4L^2
    \end{bmatrix}
    \right)
    \begin{pmatrix}
        0 \\
        \theta_1 \\
        0 \\
        \theta_2
    \end{pmatrix}
    = SM
\end{equation}
avec notre second membre $SM$ qui vaut:
\begin{equation}
 SM = \frac{L}{120}
        \begin{pmatrix}
        6 \\
        L \\
        6 \\
        -L
    \end{pmatrix}
    +
     \begin{pmatrix}
        -V_1 \\
        0\\
        V_2 \\
        0
    \end{pmatrix}
\end{equation}\\

\textbf{Etape 3:} Réduction du système.\\
Comme d'habitude, nous allons maintenant réduire le système en enlevant temporairement les lignes et colonnes correspondant aux conditions aux rives essentielles connues (voir set de slide 9 pour la définition des conditions aux rives essentielles).
La version réduite de notre système est donc:
\begin{equation}
    \left(
    \frac{EI}{L^3}
    \begin{bmatrix}
        4L^2 & 2L^2 \\
         2L^2 & 4L^2
    \end{bmatrix} -
    \frac{P}{30L}
    \begin{bmatrix}
        4L^2 &  -L^2 \\
        -L^2 & 4L^2
    \end{bmatrix}
    \right)
    \begin{pmatrix}
        \theta_1 \\
        \theta_2
    \end{pmatrix}
    = \frac{L}{120}
        \begin{pmatrix}
        L \\
        -L
    \end{pmatrix}
    +
     \begin{pmatrix}
        0\\
        0
    \end{pmatrix}
\end{equation}
Il est maintenant possible de calculer $\theta_1$ et $\theta_2$, on trouve les valeurs:
\begin{equation}
\theta_1 = \frac{1}{10(3-P)} \;\;\;\; \theta_2 = \frac{1}{10(P-3)}
\end{equation}
Nos conditions aux rives essentielles sont donc maintenant toutes connues, ce qui va nous permettre de calculer l'équation de la flèche $v^*(x,P)$. \\

\textbf{Etape 4:} Calcul de $v(x).$\\
On sait que (voir cours a de multiples endroits, et notamment set de slide 11, slide \#8):
\begin{equation}
v^*(x) = \{ 1 \;\; x \;\; x^2 \;\; x^3\}
    \begin{pmatrix}
        a_0 \\
        a_1 \\
        a_2\\
        a_3
    \end{pmatrix}
\end{equation}
On sait aussi que l'on a défini $\Delta_i$ comme
\begin{equation}
\Delta_i =
    \begin{pmatrix}
        v_i \\
        \theta_i \\
        v_j \\
        \theta_j \\
    \end{pmatrix} =
    [A]
    \begin{pmatrix}
        a_0 \\
        a_1 \\
        a_2\\
        a_3
    \end{pmatrix}
\end{equation}
Autrement dit,
\begin{equation}
\Delta_i =
    \begin{pmatrix}
        v^*_i \\
        \frac{\dd v^*_i}{\dd x} \\
        v^*_j \\
        \frac{\dd v^*_j}{\dd x} \\
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 0 & 0 \\
        0 & 1 & 0 & 0 \\
        1 & L & L^2 & L^3 \\
        0 & 1 & 2L & 3L^3
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        a_0 \\
        a_1 \\
        a_2\\
        a_3
    \end{pmatrix}
\end{equation}
Ceci découle de l'écriture matricielle du système
\begin{equation}
\left\lbrace
    \begin{matrix}
        v^*(x = 0) = 1\times a_0 + 0\times a_1 + 0\times a_2 + 0\times a_3 \\
       \frac{\dd v^*}{\dd x}(x = 0) = 0\times a_0 + 1\times a_1 + 0\times a_2 + 0\times a_3 \\
        v^*(x = L) = 1\times a_0 + L\times a_1 + L^2\times a_2 + L^3\times a_3 \\
       \frac{\dd v^*}{\dd x}(x = L) = 0\times a_0 + 1\times a_1 + 2L\times a_2 + 3L^2\times a_3 \\
    \end{matrix}
\right.
\end{equation}
Nous avons donc
\begin{equation}
    [A] =
    \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 1 & 0 & 0 \\
            1 & L & L^2 & L^3 \\
            0 & 1 & 2L & 3L^3
    \end{pmatrix}
    \leftrightarrow
    [A]^{-1}=
    \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 1 & 0 & 0 \\
            \frac{-3}{L^2} & \frac{-2}{L} & \frac{3}{L^2} & \frac{-1}{L} \\
            \frac{2}{L^2} & \frac{1}{L^2} & \frac{-2}{L^3} & \frac{1}{L^2}
    \end{pmatrix}
\end{equation}
Il est maintenant possible de calculer $v^*(x,P)$ avec l'équation:
\begin{equation}
    v^*(x,P) =
    \{
        \begin{matrix}
            1 & x & x^2 & x^3
        \end{matrix}
    \}.
        \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 1 & 0 & 0 \\
            \frac{-3}{L^2} & \frac{-2}{L} & \frac{3}{L^2} & \frac{-1}{L} \\
            \frac{2}{L^2} & \frac{1}{L^2} & \frac{-2}{L^3} & \frac{1}{L^2}
    \end{pmatrix}
    .
    \begin{pmatrix}
        v_i \\
        \theta_i \\
        v_j \\
        \theta_j \\
    \end{pmatrix}
\end{equation}
Ce qui nous donne, en calculant et simplifiant:
\begin{equation}
v^*(x,P) = \frac{x(x-2)}{20(P-3)}
\end{equation}
\section{Commentaire sur l'erreur que j'ai faite au tableau}
La méthode que j'ai commencé à détailler avant de me rendre compte que je faisait fausse route est en fait la méthode à utiliser lorsque l'on cherche à calculer la réponse d'un élément pour lequel les conditions aux limites essentielles ne font pas intervenir de dérivées.
En effet, dans le cas des poutres, le vecteur $\Delta_i$ est composé de $v(x)$ ainsi que sa première dérivée $\frac{\dd v(x)}{\dd x}$. Il faut donc construire la matrice $[A]$ en fonction. Dans le cas d'éléments ne faisant pas intervenir de dérivée, $\Delta_i$ est uniquement composé des
valeurs aux noeuds. On se retrouve donc avec un système de la forme:
\begin{equation}
\left\lbrace
    \begin{matrix}
        v^*(x = 0) = 1\times a_0 + 0\times a_1 + 0\times a_2 + 0\times a_3 \\
        v^*(x = L/3) = 1\times a_0 + \frac{L}{3}\times a_1 + \frac{L^2}{9}\times a_2 + \frac{L^3}{27}\times a_3 \\
        v^*(x = 2L/3) = 1\times a_0 + \frac{2L}{3}\times a_1 + \frac{4L^2}{9}\times a_2 + \frac{8L^3}{27}\times a_3 \\
        v^*(x = L) = 1\times a_0 + L\times a_1 + L^2\times a_2 + L^3\times a_3 \\
    \end{matrix}
\right.
\end{equation}
Nous avons donc
\begin{equation}
    [A] =
    \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0 & 0 \\
            1 & \frac{L}{3} & \frac{L^2}{9} & \frac{L^3}{27} \\
            1 & \frac{2L}{3} & \frac{4L^2}{9} &  \frac{8L^3}{27} \\
            1 & L & L^2 & L^3
    \end{pmatrix}
    \leftrightarrow
    [A]^{-1}=
    \begin{bmatrix}
         1 & 0 & 0 & 0 \\
         -\frac{11}{2 L} & \frac{9}{L} & -\frac{9}{2 L} & \frac{1}{L} \\
         \frac{9}{L^2} & -\frac{45}{2 L^2} & \frac{18}{L^2} & -\frac{9}{2 L^2} \\
         -\frac{9}{2 L^3} & \frac{27}{2 L^3} & -\frac{27}{2 L^3} & \frac{9}{2 L^3}
    \end{bmatrix}
\end{equation}
On a donc bien
\begin{equation}
    \Delta_i =
    \begin{pmatrix}
        v_1 = v_{(x=0)} \\
        v_2 = v_{(x=L/3)} \\
        v_3 = v_{(x=2L/3)} \\
        v_4 = v_{(x=L)} \\
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0 & 0 \\
            1 & \frac{L}{3} & \frac{L^2}{9} & \frac{L^3}{27} \\
            1 & \frac{2L}{3} & \frac{4L^2}{9} &  \frac{8L^3}{27} \\
            1 & L & L^2 & L^3
    \end{pmatrix}.
    \begin{pmatrix}
        a_0 \\
        a_1 \\
        a_2\\
        a_3
    \end{pmatrix}
\end{equation}
\section{Note pour les curieux.ses}
L'ensemble de ce document PDF à été rédigé en \LaTeX, un language très puissant pour rédiger des documents scientifiques. Ce dernier permet facilement d'écrire de grosses équations, et permet aussi de rédiger de très gros documents sans avoir le problème de
la lourdeur des éditeurs de textes plus classiques. Pour plus d'informations, vous pouvez aller voir ce tutoriel \href https://openclassrooms.com/fr/courses/1617396-redigez-des-documents-de-qualite-avec-latex}{(cliquez ici)}très bien rédigé. Ou directement les sources de ce document
disponibles ici: [Lien à ajouter]
\includepdf[pages=-]{MathematicaExercice2.pdf}
\end{document}