1. Движение маятника.
Сам, но это мелочь.
2. Ускорение при равномерном движении по окружности.
Стандартно, но в школе почему-то видел другое доказательство
(какие-то геометрические построения).
3. Движение в центральном поле.
Вроде бы тоже стандартно, но сравните, например, с тем, как
это выводит Арнольд в "Математических методах классической
механики", параграф 8.А.
4. Вписанный угол.
5. Инверсия переводит окружности в окружности.
Мои изыскания. Только "алгебраическое доказательство" --- это
задачи 10 и 11 к параграфу 3 главы 4 "Алгебраической геометрии"
Шафаревича.
6. Топологическая классификация компактных поверхностей.
Обработка "Conway's ZIP Proof"
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/francisweeks.pdf
7. Dirac belt trick
Когда рассказывают про такие вещи, то часто не делают эмфазиса
на том, как они конкретно связаны с математическими фактами.
8. Цикличность конечных подгрупп мультипликативной группы поля.
В интернете прочитал. В учебниках часто видел доказательства,
использующие абелевость и ссылающиеся на теорему о строении
абелевых групп или теоремы Силова. А это рассуждение совсем
элементарное.
9. Лемма Гензеля.
10. Векторы Витта и $p$-адические числа.
Тупо переписанная Википедия:
https://en.wikipedia.org/wiki/Witt_vector
Но там хуй поймёшь этот "motivational sketch".
11. Символ Шлефли.
Я, но это мелочь.
12. Целые в квадратичных полях.
Упраженение.
13. Квадратичный закон взаимности.
Я, прочитав доказательство в последнем парагафе
John H. Conway "The sensual (quadratic) form"
и что-то в Википедии, но уверен, что это 100%
стандартно.
14. Определения непрерывности и предела.
15. Теорема Кантора-Бернштейна-Шрёдера.
Памятки.
16. Лемма Урысона.
Иллюстрации к стандартному доказательству.
17. Теорема Тихонова.
Обработка того, что прочитал где-то в сети.
18. Формулы для удвоения алгебры.
Я. Хотя такие формулы часто мелькают то тут, то
там. В книге Конвея и Смита приводятся формулы,
эквивалентные этим правилам, но записанные в
длинной страшной форме.
19. Сумма степеней выражается многочленом.
Я. Но это как бы стандартное применение индукции.
Что примечательно, так это то, что индукция тут
даёт и формулу, и доказательство.
20. Представление группы симметрий треугольника.
21. Представление диэдральной группы.
22. Представление Кокстера групп перестановок.
Стандартный материал из учебников.
23. Обратный Мура-Пенроуза.
Я, после чтения Википедии.
24. Знак перестановки.
Прочитал в учебнике. Просто всегда хотел найти
доказательство корректности определения знака, не
использующее никакой нумерации элементов множества.
25. Теоремы Силова.
Да в общем-то одно из стандартных доказательств.
26. Модулярный закон Дедекинда.
27. Diamond theorem.
28. Лемма Цассенхауза
Стандартно.
29. Строение конечных абелевых групп.
Это я попробовал переписать доказательство из первых
параграфов "Алгебры" Ленга на человеческом языке.
30. Два примера из алгебраической геометрии.
Просто иллюстрации к теоремам о пересечениях
в алг. геометрии.
31. Умножение на вырожденных кубических кривых.
Несколько разрозненных примеров в одном месте. Можно
показывать в школе.
32. Лемма Нётера о нормализации.
33. Теорема Гильберта о нулях.
Не знаю, насколько такой путь стандартен (и вообще, верен
ли он), ибо чудовищно безграмотен. Доказательство "сильной
теоремы о нулях" --- это "трюк Рабиновича", который почему-то
в учебниках расписывается в очень раскрытой и элементарной
форме.
34. Выполнения аксиом алгебры Ли.
35. Экспонента переводит лиевской действие в групповое.
Плоды моей нелюбви к сколь-нибудь длинным проверкам.
36. Умножение и коумножение.
Проще и понятнее, чем обычный способ записи в строчку с тау.
Как это соотносится со случаем, когда тау нетривиальное ---
понятия не имею.
37. Идеалы в кольце матриц над телом.
38. Формулы Френе.
Мелочи.
39. Тождества с сопряжением и мультипликативными коммутаторами.
Тождества типа Якоби --- я. Просто хотелось увидеть простые и
запоминающиеся доказательства, а не "подставьте и раскройте всё".
41. Конечно порождённые модули над областью главных идеалов.
Вроде стандартно.
42. Построение маленьких групп Матье.
Я, но на основе прочитанного в книге
John D. Dixon, Brian Mortimer "Permutation groups".